磁矢量位资料
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A
C是积分待定常矢量
dq v J dV'
dq v K dS'
0 4
J V R dV C
0 A 4
A
K S R dS C
dq v Id l
0 4
l
Id l C R
方 向 相 同
磁矢量位参考点选择原则：
电流有限分布，参考点选在无限远处 电流无限分布，参考点选在有限远处 参考点处：A=0
例
应用磁矢位 A，求空气中一长直载流细导线的磁场。 解：设导线长为 2L,取圆柱坐标，将原点定在 导线中点处，导线沿 z 轴放置。
dz
z
eR
R
0 I L dz A AZ ez ez C L 4π R 0 I L dz e C 2 2 12 z 4π L ( z )
当L→∞时，电流区域，矢量磁位A是否有意义取决于参考点的选择。设
A0 0
则
I 2L C 0 ln ez 2 0
那么无限长直载流导线的矢量磁位为：
0 I 0 A ln e z 2
例 应用磁矢位分析两线输电线的磁场。
解：这是一个平行平面磁场。 由上例计算结果, 两导线在P点的磁矢位
v是元电荷dq的运动速度、是源 坐标r’的函数 算子对场坐标r的微分运算
0 B 4
0 dq v ' （ R ）d' [ 4
dq v ' R d' ]
A
4、磁矢量位的积分表达式
磁矢位的一般计算式：A 体元电流段: 面元电流段: 线元电流段：
0 4
dq v ' R d' C
5、用磁矢位计算磁通
穿过面S的磁通：
Φ B d S s ( A ) d S
s
根据斯托克斯定理：
Φ ( A) d S A d l
S l
l 是S曲面的的边界
其环行方向是围绕S面的右螺旋方向 用磁矢位计算磁通的优势： 将的面积分转化为线积分，某些情况下可以简化计算。
0 I 2 L A1 ln e z C1 r1 2π
y
x , y
图4.3.3 圆截面双线输电线
0 I 2 L A2 ln e z C 2 r2 2π
A A1 A2
0 I
2π
ln
r2 ez C r1
令
r1 r2 处 A 0 ，即以 yoz 平面为参考面，则 C =0
2、库仑规范
赫姆霍兹唯一性定理：
矢量场的散度 A
给定
矢量场的旋度 A
矢量场的边界条件
唯一确定矢量场
只给出了磁矢量位的旋度 A B 设
不能唯一确定 A
0 A A B A （A ） A （）
仅由旋度定义式确定的 A是多值性的! 还必须确定 A 的散度
§4.3
1、 磁矢量位的引出
回顾电位的推导： 静电场是无旋场： 根据矢量恒等式： 恒定磁场是无散场: 0
( ) 0
E
B 0
( A) 0
B A
A 称为磁矢量位(Magnetic vector potential)，单位: Wb/m（韦伯/米）
dq v eR ' R 2 d'
0 4
1 （ ） dq v ]d ' ' [ R
v 0
（f F） f F f ( F ) 可知 由矢量运算公式
1 1 1 1 （ v） ( ) v ( v ) ( ) v R R R R
AZ A ex Z e y y x
Az A 0 I y b y b B x y y 2π 2 2 2 2 x ( y b ) x ( y b ) Az A 0 I x x B y x 2 ( y b) 2 x 2 ( y b) 2 x x 2 π Bz 0 B线无z向分量
2 Ax J x
J dV Ax x 4π V R
2 Ay J y
2 Az J z
令无限远处A的量值为零（参考磁矢位），则以上各式的特解分别为
J y dV J z dV Ay Az V 4π R 4π V R 以上三个方程中的任意两个加上 A 0 ，共三个方程才能解出A的三个分量
图4.3.2 长直载流细导线的磁场
e ez e 0
0 I ln( L 2 L2 ) ln ez C 2 I 2L A 0 ln ez C ( L ) 2
z Az
B A
0
0 I Az e e 2π
r2 0 I (b x) 2 y 2 A ln e z ln e 2 2 z 2π r1 4π (b x) y
于是
0 I
由于是无限长直载流导线形成的磁场，显然，B场是平行平面场！
可以只分析 xoy平面上的B场
B A
ex x Ax
ey y Ay
ez z Az
6、真空中 A的微分方程
B 0 B A
B 0 J
A ( A) 2 A 0 J
库仑规范 A 0
2 A 0 J
当J=0时
( 泊松方程 )
( 拉普拉斯方程 )
2 A 0
在直角坐标系下， 2 A J 可以展开为
A A
是有一阶连续偏导数的标量函数
在恒定磁场中，选取 A 0 称为库仑规范
3、真空中磁矢量位与源电流的积分关系
将毕奥-沙伐定理 B
0 4
dq v eR ' R 2 d' 写成 B A 的形式
1 e R2 ( R 0) R R
B 0 4
C是积分待定常矢量
dq v J dV'
dq v K dS'
0 4
J V R dV C
0 A 4
A
K S R dS C
dq v Id l
0 4
l
Id l C R
方 向 相 同
磁矢量位参考点选择原则：
电流有限分布，参考点选在无限远处 电流无限分布，参考点选在有限远处 参考点处：A=0
例
应用磁矢位 A，求空气中一长直载流细导线的磁场。 解：设导线长为 2L,取圆柱坐标，将原点定在 导线中点处，导线沿 z 轴放置。
dz
z
eR
R
0 I L dz A AZ ez ez C L 4π R 0 I L dz e C 2 2 12 z 4π L ( z )
当L→∞时，电流区域，矢量磁位A是否有意义取决于参考点的选择。设
A0 0
则
I 2L C 0 ln ez 2 0
那么无限长直载流导线的矢量磁位为：
0 I 0 A ln e z 2
例 应用磁矢位分析两线输电线的磁场。
解：这是一个平行平面磁场。 由上例计算结果, 两导线在P点的磁矢位
v是元电荷dq的运动速度、是源 坐标r’的函数 算子对场坐标r的微分运算
0 B 4
0 dq v ' （ R ）d' [ 4
dq v ' R d' ]
A
4、磁矢量位的积分表达式
磁矢位的一般计算式：A 体元电流段: 面元电流段: 线元电流段：
0 4
dq v ' R d' C
5、用磁矢位计算磁通
穿过面S的磁通：
Φ B d S s ( A ) d S
s
根据斯托克斯定理：
Φ ( A) d S A d l
S l
l 是S曲面的的边界
其环行方向是围绕S面的右螺旋方向 用磁矢位计算磁通的优势： 将的面积分转化为线积分，某些情况下可以简化计算。
0 I 2 L A1 ln e z C1 r1 2π
y
x , y
图4.3.3 圆截面双线输电线
0 I 2 L A2 ln e z C 2 r2 2π
A A1 A2
0 I
2π
ln
r2 ez C r1
令
r1 r2 处 A 0 ，即以 yoz 平面为参考面，则 C =0
2、库仑规范
赫姆霍兹唯一性定理：
矢量场的散度 A
给定
矢量场的旋度 A
矢量场的边界条件
唯一确定矢量场
只给出了磁矢量位的旋度 A B 设
不能唯一确定 A
0 A A B A （A ） A （）
仅由旋度定义式确定的 A是多值性的! 还必须确定 A 的散度
§4.3
1、 磁矢量位的引出
回顾电位的推导： 静电场是无旋场： 根据矢量恒等式： 恒定磁场是无散场: 0
( ) 0
E
B 0
( A) 0
B A
A 称为磁矢量位(Magnetic vector potential)，单位: Wb/m（韦伯/米）
dq v eR ' R 2 d'
0 4
1 （ ） dq v ]d ' ' [ R
v 0
（f F） f F f ( F ) 可知 由矢量运算公式
1 1 1 1 （ v） ( ) v ( v ) ( ) v R R R R
AZ A ex Z e y y x
Az A 0 I y b y b B x y y 2π 2 2 2 2 x ( y b ) x ( y b ) Az A 0 I x x B y x 2 ( y b) 2 x 2 ( y b) 2 x x 2 π Bz 0 B线无z向分量
2 Ax J x
J dV Ax x 4π V R
2 Ay J y
2 Az J z
令无限远处A的量值为零（参考磁矢位），则以上各式的特解分别为
J y dV J z dV Ay Az V 4π R 4π V R 以上三个方程中的任意两个加上 A 0 ，共三个方程才能解出A的三个分量
图4.3.2 长直载流细导线的磁场
e ez e 0
0 I ln( L 2 L2 ) ln ez C 2 I 2L A 0 ln ez C ( L ) 2
z Az
B A
0
0 I Az e e 2π
r2 0 I (b x) 2 y 2 A ln e z ln e 2 2 z 2π r1 4π (b x) y
于是
0 I
由于是无限长直载流导线形成的磁场，显然，B场是平行平面场！
可以只分析 xoy平面上的B场
B A
ex x Ax
ey y Ay
ez z Az
6、真空中 A的微分方程
B 0 B A
B 0 J
A ( A) 2 A 0 J
库仑规范 A 0
2 A 0 J
当J=0时
( 泊松方程 )
( 拉普拉斯方程 )
2 A 0
在直角坐标系下， 2 A J 可以展开为
A A
是有一阶连续偏导数的标量函数
在恒定磁场中，选取 A 0 称为库仑规范
3、真空中磁矢量位与源电流的积分关系
将毕奥-沙伐定理 B
0 4
dq v eR ' R 2 d' 写成 B A 的形式
1 e R2 ( R 0) R R
B 0 4