云南省临沧市2021届新高考数学第四次调研试卷含解析

云南省临沧市2021届新高考数学第四次调研试卷
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．设复数z 满足31i i z
=+，则z =（ ） A ．1122i + B ．1122-+i C ．1122i - D ．1122
i -- 【答案】D
【解析】
【分析】
根据复数运算，即可容易求得结果.
【详解】
3(1)1111(1)(1)222
i i i i z i i i i ----====--++-. 故选：D.
【点睛】
本题考查复数的四则运算，属基础题.
2．已知函数()21x f x x
-＝，则不等式121()()x x f e f e ﹣﹣＞的解集是（ ） A ．2,3⎛⎫-∞-
⎪⎝⎭ B ．2,3⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭ C ．(,0)-∞ D ．2,3⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭
【答案】B
【解析】
【分析】
由导数确定函数的单调性，利用函数单调性解不等式即可.
【详解】 函数211()x f x x x x
-==-，可得21()1f x x '=+， 0()x ∈+∞，时，()0f x '＞，()f x 单调递增，
∵12100x x e e -->>，，
故不等式121(())x x f e f e >﹣﹣的解集等价于不等式121x x e e >﹣﹣
的解集． 121x x ->-． ∴23
x <．
故选：B ．
【点睛】
本题主要考查了利用导数判定函数的单调性，根据单调性解不等式，属于中档题.
3．若1(1)z a i =+-（a R ∈），||z =
a =（ ） A ．0或2
B ．0
C ．1或2
D ．1 【答案】A
【解析】
【分析】
利用复数的模的运算列方程，解方程求得a 的值.
【详解】
由于1(1)z a i =+-（a R ∈），||z =
=0a =或2a =. 故选：A
【点睛】
本小题主要考查复数模的运算，属于基础题.
4．古希腊数学家毕达哥拉斯在公元前六世纪发现了第一、二个“完全数”6和28，进一步研究发现后续三个“完全数”分别为496，8128，33550336，现将这五个“完全数”随机分为两组，一组2个，另一组3个，则6和28恰好在同一组的概率为( )
A ．15
B ．25
C ．35
D ．110
【答案】B
【解析】
【分析】
推导出基本事件总数，6和28恰好在同一组包含的基本事件个数，由此能求出6和28恰好在同一组的概率．
【详解】
解：将五个“完全数”6，28，496，8128，33550336，随机分为两组，一组2个，另一组3个， 基本事件总数2353C 10n C ==，
6和28恰好在同一组包含的基本事件个数202123234m C C C C =+=， ∴6和28恰好在同一组的概率42105
m p n =
==． 故选：B ．
【点睛】
本题考查概率的求法，考查古典概型、排列组合等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
5．设1F ，2F 是双曲线()2222:10,0x y C a b a b
-=>>的左，右焦点，O 是坐标原点，过点2F 作C 的一条渐近线的垂线，垂足为P
．若1PF =，则C 的离心率为（ ）
A
B
C ．2
D ．3
【答案】B
【解析】
【分析】 设过点()2,0F c 作b y x a =的垂线，其方程为()a y x c b =--，联立方程，求得2
a x c
=，ab y c =，即2,a ab P c c ⎛⎫ ⎪⎝⎭
，由1PF =，列出相应方程，求出离心率. 【详解】
解：不妨设过点()2,0F c 作b y x a =的垂线，其方程为()a y x c b
=--， 由()b y x a a y x c b ⎧=⎪⎪⎨⎪=--⎪⎩解得2
a x c =，a
b y
c =，即2,a ab P c c ⎛⎫ ⎪⎝⎭， 由1PF OP =，所以有22224222226a b a a a b c c c c
c ⎛⎫⎛⎫++=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 化简得223a c =
，所以离心率=
=c e a
． 故选：B.
【点睛】
本题主要考查双曲线的概念、直线与直线的位置关系等基础知识，考查运算求解、推理论证能力，属于中档题．
6．已知等比数列{}n a 满足21a =，616a =，等差数列{}n b 中54b a =，n S 为数列{}n b 的前n 项和，则9S =（ ）
A ．36
B ．72
C ．36-
D ．36± 【答案】A
【解析】
【分析】
根据4a 是2a 与6a 的等比中项，可求得4a ，再利用等差数列求和公式即可得到9S .
【详解】
等比数列{}n a 满足21a =，616a =，所以44a ==±，又2420a a q =⋅>，所以44a =，由等
差数列的性质可得9549936S b a ===.
故选：A
【点睛】
本题主要考查的是等比数列的性质，考查等差数列的求和公式，考查学生的计算能力，是中档题.
7．若()()613x a x -+的展开式中3x 的系数为-45，则实数a 的值为（ ）
A ．23
B ．2
C ．14
D ．13
【答案】D
【解析】
【分析】
将多项式的乘法式展开，结合二项式定理展开式通项，即可求得a 的值.
【详解】
∵()()()()666131313x a x x x a x -+=+-+
所以展开式中3x 的系数为2233663
313554045C aC a -=-=-， ∴解得13
a =
. 故选：D.
【点睛】
本题考查了二项式定理展开式通项的简单应用，指定项系数的求法，属于基础题. 8．已知向量(1,2),(3,1)a b =-=-r r ，则（ ）
A ．a r ∥b r
B ．a r ⊥b r
C ．a r ∥(a b -r r )
D ．a r ⊥( a b -r r )
【答案】D
【解析】
【分析】 由题意利用两个向量坐标形式的运算法则，两个向量平行、垂直的性质，得出结论.
【详解】
∵向量a =r （1，﹣2），b =r （3，﹣1），∴a r 和b r 的坐标对应不成比例，故a r 、b r
不平行，故排除A ； 显然，a r •b =r 3+2≠0，故a r 、b r 不垂直，故排除B ；
∴a b -=r r （﹣2，﹣1），显然，a r 和a b -r r 的坐标对应不成比例，故a r 和a b -r r 不平行，故排除C ；
∴a r •（a b -r r ）＝﹣2+2＝0，故 a r ⊥（a b -r
r ），故D 正确，
本题主要考查两个向量坐标形式的运算，两个向量平行、垂直的性质，属于基础题.
9．公比为2的等比数列{}n a 中存在两项m a ，n a ，满足2132m n a a a =，则
14m n +的最小值为（ ） A ．97 B ．53 C ．43 D ．1310
【答案】D
【解析】
【分析】
根据已知条件和等比数列的通项公式，求出,m n 关系，即可求解.
【详解】
22211232,7m n m n a a a a m n +-==∴+=，
当1,6m n ==时，
1453m n +=，当2,5m n ==时，141310
m n +=， 当3,4m n ==时，1443m n +=，当4,3m n ==时，141912
m n +=， 当5,2m n ==时，14115m n +=，当6,1m n ==时，14256m n +=， 14m n +最小值为1310
. 故选:D.
【点睛】
本题考查等比数列通项公式，注意,m n 为正整数，如用基本不等式要注意能否取到等号，属于基础题.
10．设()()2141A B -，，，，则以线段AB 为直径的圆的方程是（ ）
A ．22(3)2x y -+=
B ．22(3)8x y -+=
C ．22(3)2x y ++=
D ．22(3)8x y ++= 【答案】A
【解析】
【分析】
计算AB 的中点坐标为()3,0，圆半径为r =
.
【详解】
AB 的中点坐标为：()3,0，圆半径为2
2
AB r ===， 圆方程为22(3)2x y -+=.
本题考查了圆的标准方程，意在考查学生的计算能力.
11．在101()2x x -
的展开式中，4x 的系数为( ) A ．-120
B ．120
C ．-15
D ．15 【答案】C
【解析】
【分析】 写出101()2x x -展开式的通项公式1021101()2
r r r r T C x -+=-，令1024r -=，即3r =，则可求系数． 【详解】
101()2x x -的展开式的通项公式为101021101011()()22
r r r r r r r T C x C x x --+=-=-，令1024r -=，即3r =时，系数为33101()152C -=-．故选C 【点睛】
本题考查二项式展开的通项公式，属基础题．
12．下列命题为真命题的个数是（ ）（其中π，e 为无理数）
32>；②2ln 3π<；③3ln 3e <. A ．0
B ．1
C ．2
D ．3
【答案】C
【解析】
【分析】
对于①中，根据指数幂的运算性质和不等式的性质，可判定值正确的；对于②中，构造新函数()2ln ,03
f x x x =->，利用导数得到函数为单调递增函数，进而得到()()f f e π>，即可判定是错误的；对于③中，构造新函数()ln ,0f x e x x x =->，利用导数求得函数的最大值为()0f e =，进而得到()30f <，即可判定是正确的.
【详解】
由题意，对于①中，由239,() 2.2524e ==
=，可得 2.25e >，根据不等式的性质，32>成立，所以是正确的；
对于②中，设函数()2ln ,03f x x x =-
>，则()10f x x '=>，所以函数为单调递增函数， 因为e π>，则()()f f e π>
又由()221ln 10333f e e =-
=-=>，所以()0f π>，即2ln 3
π>，所以②不正确； 对于③中，设函数()ln ,0f x e x x x =->，则()1e e x f x x x -'=-=， 当(0,)x e ∈时，()0f x '>，函数()f x 单调递增，
当(,)x e ∈+∞时，()0f x '<，函数()f x 单调递减，
所以当x e =时，函数取得最大值，最大值为()ln 0f e e e e =-=，
所以()3ln330f e =-<，即ln33e <，即3ln 3e <
，所以是正确的. 故选：C.
【点睛】
本题主要考查了不等式的性质，以及导数在函数中的综合应用，其中解答中根据题意，合理构造新函数，利用导数求得函数的单调性和最值是解答的关键，着重考查了构造思想，以及推理与运算能力，属于中档试题.
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．如图，AB 是圆O 的直径，弦,BD CA 的延长线相交于点,E EF 垂直BA 的延长线于点F ．求证：2··AB BE BD AE AC =-
【答案】证明见解析．
【解析】
试题分析：,,,A D E F 四点共圆，所以BD BE BA BF ⋅=⋅，又△ABC ∽△AEF ，所以AB AC AE AF =，即AB AF AE AC ⋅=⋅，得证．
试题解析：
A ．连接AD ，因为A
B 为圆的直径，所以AD BD ⊥，
又EF AB ⊥，则,,,A D E F 四点共圆，
所以BD BE BA BF ⋅=⋅．
又△ABC ∽△AEF ，
所以AB AC AE AF
=，即AB AF AE AC ⋅=⋅， ∴()2BE BD AE AC BA BF AB AF AB BF AF AB ⋅-⋅=⋅-⋅=⋅-=．
14．已知点()0,1A -是抛物线22x py =的准线上一点，F 为抛物线的焦点，P 为抛物线上的点，且PF m PA =，若双曲线C 中心在原点，F 是它的一个焦点，且过P 点，当m 取最小值时，双曲线C 的离心率为______.
【答案】21+
【解析】
【分析】
由点A 坐标可确定抛物线方程，由此得到F 坐标和准线方程；过P 作准线的垂线，垂足为N ，根据抛物线定义可得PN m PA =，可知当直线PA 与抛物线相切时，m 取得最小值；利用抛物线切线的求解方法可求得P 点坐标，根据双曲线定义得到实轴长，结合焦距可求得所求的离心率.
【详解】
()0,1A Q 是抛物线22x py =准线上的一点 2p ∴=
∴抛物线方程为24x y = ()0,1F ∴，准线方程为1y =-
过P 作准线的垂线，垂足为N ，则PN PF =
PF m PA =Q PF
PN
m PA PA ∴==
设直线PA 的倾斜角为α，则sin m α=
当m 取得最小值时，sin α最小，此时直线PA 与抛物线相切
设直线PA 的方程为1y kx =-，代入2
4x y =得：2440x kx -+= 216160k ∴∆=-=，解得：1k =± ()2,1P ∴或()2,1-
∴双曲线的实轴长为()
221PA PF -=，焦距为2AF =
∴双曲线的离心率
1e =
=
1
【点睛】 本题考查双曲线离心率的求解问题，涉及到抛物线定义和标准方程的应用、双曲线定义的应用；关键是能够确定当m 取得最小值时，直线PA 与抛物线相切，进而根据抛物线切线方程的求解方法求得P 点坐标. 15．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ,11a =,22a =,22,21,2,2,n n n
a n k k N a a n k k N *+*⎧+=-∈=⎨=∈⎩,则满足20193000m S ≤≤的正整数m 的所有取值为__________．
【答案】20,21
【解析】
【分析】
由题意知数列{}n a 奇数项和偶数项分别为等差数列和等比数列,则根据n 为奇数和n 为偶数分别算出求和公式,代入数值检验即可.
【详解】
解: 由题意知数列{}n a 的奇数项构成公差为2的等差数列,
偶数项构成公比为2的等比数列,
则()1212212[112(1)]22212
k k k k k S k ---++-+=+--=; ()122212[112(1)]22212k k k S k k k +-++-+=+--=.
当10k =时, 0192121021122S =+-=,1201221022146S =+-=.
当11k =时, 1212121122167S =+-=,2221221124215S =+-=.
由此可知,满足20193000m S ≤≤的正整数m 的所有取值为20,21.
故答案为: 20,21
【点睛】
本题考查等差数列与等比数列通项与求和公式,是综合题,分清奇数项和偶数项是解题的关键.
16．在ABC ∆中，点D 在边AB 上，且2DA BD =u u u r u u u r ，设CA a =u u r r ，CB b =u u u r r ，则CD =u u u r ________（用a r ，b
r 表示） 【答案】1233
a b +r r
【解析】
【分析】
结合图形及向量的线性运算将CD uuu r 转化为用向量,CA CB u u u r u u u r 表示，即可得到结果．
【详解】
在CAD ∆中CD CA AD =+u u u r u u u r u u u r ，因为2DA BD =u u u r u u u r
， 所以2CD CA AB 3
=+u u u r u u u r u u u
r ，又因为AB CB CA =-u u u r u u u r u u u r ， 所以2212()33331233
CD CA AB CA CB CA a b CA CB =+=+-==++u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r r r ． 故答案为：1233
a b +r r 【点睛】
本题主要考查三角形中向量的线性运算，关键是利用已知向量为基底，将未知向量通过几何条件向基底转化．
三、解答题：共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．已知数列{}n a 为公差为d 的等差数列，0d >，44a =，且1a ，3a ，9a 依次成等比数列，2n a n b =.
（1）求数列{}n b 的前n 项和n S ；
（2）若1
2n n n n b c S S +=⋅，求数列{}n c 的前n 项和为n T . 【答案】（1）122n n S +=-（2）211222
n +-- 【解析】
【分析】
（1）利用等差数列的通项公式以及等比中项求出公差1d =，从而求出2
2n a n n b ==，再利用等比数列的
前n 项和公式即可求解.
（2）由（1）求出n c ，再利用裂项求和法即可求解.
【详解】
（1）44a =，且1a ，3a ，9a 依次成等比数列，2319a a a ∴=， 即：()()()2
44345d d d -=-+，0d >Q ，1d ∴=， n a n ∴=，22n a n n b ∴==，
()
12122212n n n S +-∴==--；
（2）111111
211
n n n n
n n n n n n n n n b b S S c S S S S S S S S ++++++-=
===-⋅⋅⋅Q ，
212231111111111111222
n n n n n S S S S S S S S S +++∴=
-+-++-=-=--L . 【点睛】
本题考查了等差数列、等比数列的通项公式、等比数列的前n 项和公式、裂项求和法，需熟记公式，属于基础题.
18．如图，在四棱锥P —ABCD 中，四边形ABCD 为平行四边形，BD ⊥DC ，△PCD 为正三角形，平面PCD ⊥平面ABCD ，E 为PC 的中点．
（1）证明：AP ∥平面EBD ； （2）证明：BE ⊥PC ．
【答案】（1）见解析（2）见解析 【解析】 【分析】
（1）连结AC 交BD 于点O ，连结OE ，利用三角形中位线可得AP ∥OE ，从而可证AP ∥平面EBD ； （2）先证明BD ⊥平面PCD ，再证明PC ⊥平面BDE ，从而可证BE ⊥PC ． 【详解】
证明：（1）连结AC 交BD 于点O ，连结OE 因为四边形ABCD 为平行四边形 ∴O 为AC 中点， 又E 为PC 中点， 故AP ∥OE ，
又AP ⊄平面EBD ，OE ⊂平面EBD 所以AP ∥平面EBD ；
（2）∵△PCD 为正三角形，E 为PC 中点 所以PC ⊥DE
因为平面PCD ⊥平面ABCD ， 平面PCD I 平面ABCD ＝CD ，
又BD ⊂平面ABCD ，BD ⊥CD ∴BD ⊥平面PCD
又PC ⊂平面PCD ，故PC ⊥BD
又BD I DE ＝D ，BD ⊂平面BDE ，DE ⊂平面BDE 故PC ⊥平面BDE 又BE ⊂平面BDE ， 所以BE ⊥PC ． 【点睛】
本题主要考查空间位置关系的证明，线面平行一般转化为线线平行来证明，直线与直线垂直通常利用线面垂直来进行证明，侧重考查逻辑推理的核心素养.
19．在ABC V 中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且22ccosB a b =+． （1）求角C 的大小；
（2）若函数()2sin 2cos 2()6f x x m x m R π⎛
⎫=++∈ ⎪⎝
⎭图象的一条对称轴方程为2C x =且
6
25
f α⎛⎫= ⎪⎝⎭，求(2)cos C α+的值．
【答案】（1）23C π=（2）7
225
cos
C α+=-（） 【解析】 【分析】
（1）由已知利用三角函数恒等变换的应用，正弦定理可求1
cosC 2
=-
，即可求C 的值．
（2）利用三角函数恒等变换的应用，可得()()f x m 1cos2x =++，根据题意，得到
()2πf 0f 3⎛⎫= ⎪⎝⎭，解得m 2=-，得到函数的解析式，进而求得πsin α6⎛
⎫- ⎪⎝
⎭的值，利用三角函数恒等变换
的应用可求()cos 2αC +的值． 【详解】
（1）由题意，根据正弦定理，可得2sinCcosB 2sinA sinB =+，
又由()A B C π=-+，所以 ()sin sin sin cos cos sin A B C B C B C =+=+， 可得2sinCcosB 2sinBcosC 2cosBsinC sinB =++，即2sinBcosC sinB 0+=， 又因为()0,B π∈，则sin 0B >， 可得1cosC 2=-
，∵()0,C π∈，∴2π
C 3
=． （2）由（1）可得()()f x 2sin 2x 1mcos2x 2sin2xcos 2cos2xsin mcos2x =++=++
()
m1cos2x
=++，
所以函数()
f x的图象的一条对称轴方程为
π
x
3
=，
∴()
2π
f0f
3
⎛⎫
= ⎪
⎝⎭
，得()
4π4π
m1m1cos
33
+=++，即m2
=-，
∴(
)π
f x cos2x2sin2x
6
⎛⎫
=-=-
⎪
⎝⎭
，
又
απ6
f2sinα
265
⎛⎫⎛⎫
=-=
⎪ ⎪
⎝⎭⎝⎭
，∴
π3
sinα
65
⎛⎫
-=
⎪
⎝⎭
，
∴()2
2ππππ7
cos2αC cos2αcos2α-cos2α2sinα1
336625
⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫
+=+=-=--=--=-
⎪ ⎪ ⎪ ⎪
⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭
．
【点睛】
本题主要考查了三角函数恒等变换的应用，正弦定理在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．
20．已知抛物线2
:2(0)
C y px p
=>的焦点为F，直线l交C于,A B两点（异于坐标原点O）.
（1）若直线l过点F,12
OA OB
⋅=-
u u u r u u u r
，求C的方程；
（2）当0
OA OB
⋅=
u u u r u u u r
时，判断直线l是否过定点，若过定点，求出定点坐标；若不过定点，说明理由. 【答案】（1）28
y x
=（2）直线l过定点(2,0)
p
【解析】
【分析】
【详解】
设1122
(,),(,)
A x y
B x y.
（1）由题意知(,0)
2
p
F，
22
12
12
(,),(,)
22
y y
A y
B y
p p
.设直线l的方程为()
2
p
x ty t
=+∈R，
由
22
2
y px
p
x ty
⎧=
⎪
⎨
=+
⎪⎩
得22
20
y pty p
--=，则222
440
p t p
∆=+>，
由根与系数的关系可得2
1212
2,
y y pt y y p
+==-，
所以
22
2
12
12
2
3
44
y y
OA OB y y p
p
⋅=+=-
u u u r u u u r
.
由12
OA OB
⋅=-
u u u r u u u r
，得2
3
12
4
p
-=-，解得4
p=.
所以抛物线C 的方程为2
8y x =.
（2）设直线l 的方程为(,0)x ny m n m =+∈≠R ，
由22y px x ny m
⎧=⎨=+⎩得2220y pny pm --=，由根与系数的关系可得122y y pm =-， 所以222
1212121222
(2)2044y y pm OA OB x x y y y y pm p p -⋅=+=
+=-=u u u r u u u r ，解得2m p =. 所以直线l 的方程为2()x ny p n =+∈R ，
所以0OA OB ⋅=u u u r u u u r
时，直线l 过定点(2,0)p .
21．已知抛物线Γ：y 2＝2px （p ＞0）的焦点为F ，P 是抛物线Γ上一点，且在第一象限，满足FP =u u u r
（2，
（1）求抛物线Γ的方程；
（2）已知经过点A （3，﹣2）的直线交抛物线Γ于M ，N 两点，经过定点B （3，﹣6）和M 的直线与抛物线Γ交于另一点L ，问直线NL 是否恒过定点，如果过定点，求出该定点，否则说明理由． 【答案】（1）y 2＝4x ；；（2）直线NL 恒过定点（﹣3，0），理由见解析. 【解析】 【分析】
（1）根据抛物线的方程，求得焦点F （2
p
，0），利用FP =u u u r （2，
，表示点P 的坐标，再代入抛物线方程求解.
（2）设M （x 0，y 0），N （x 1，y 1），L （x 2，y 2），表示出MN 的方程y 01014x y y y y +=
+和ML 的方程y 02
02
4x y y y y +=+，
因为A （3，﹣2），B （3，﹣6）在这两条直线上，分别代入两直线的方程可得y 1y 2＝12，然后表示直线NL 的方程为：y ﹣y 1124y y =+（x 2
14
y -），代入化简求解.
【详解】
（1）由抛物线的方程可得焦点F （2p
，0），满足FP =u u u r （2，
）的P 的坐标为（22
p +，
，P 在
抛物线上，
所以（
2＝2p （22
p
+
），即p 2+4p ﹣12＝0，p ＞0，解得p ＝2，所以抛物线的方程为：y 2＝4x ； （2）设M （x 0，y 0），N （x 1，y 1），L （x 2，y 2），则y 12＝4x 1，y 22＝4x 2，
直线MN 的斜率k MN
1010221010
104
4
y y y y y y x x y y --=
==
--+，
则直线MN 的方程为：y ﹣y 0104y y =+（x 20
4
y -
），
即y 01
01
4x y y y y +=
+①，
同理可得直线ML 的方程整理可得y 02
02
4x y y y y +=
+②，
将A （3，﹣2），B （3，﹣6）分别代入①，②的方程
可得01010202122126y y y y y y y y +⎧
-=⎪+⎪⎨+⎪-=⎪+⎩
，消y 0可得y 1y 2＝12，
易知直线k NL 124y y =+，则直线NL 的方程为：y ﹣y 1124y y =+（x 214
y -），
即y 124y y =
+x 1212y y y y ++，故y 12
4y y =+x 1212y y ++， 所以y 12
4
y y =
+（x+3），
因此直线NL 恒过定点（﹣3，0）． 【点睛】
本题主要考查了抛物线的方程及直线与抛物线的位置关系，直线过定点问题，还考查了转化化归的思想和运算求解的能力，属于中档题.
22．如图AB 是圆O 的直径，PA 垂直于圆O 所在的平面，C 为圆周上不同于,A B 的任意一点
（1）求证：平面PAC ⊥平面PBC ；
（2）设24,PA AB AC D ===为PB 的中点，M 为AP 上的动点（不与A 重合）求二面角A BM C --的正切值的最小值 【答案】（1）见解析（216
【解析】 【分析】
（1）推导出AC BC ⊥，PA BC ⊥，从而BC ⊥平面PAC ，由面面垂直的判定定理即可得证．
（2）过A 作Ax AB ⊥，以A 为坐标原点，建立如图所示空间坐标系，设(0,0,)(0,4]M t t ∈，利用空间向量法表示出二面角的余弦值，当余弦值取得最大时，正切值求得最小值； 【详解】
（1）因为PA O ⊥e ，BC ⊂面O e
PA BC ∴⊥
BC AC ⊥Q ，AC PA A ⋂=，AC ⊂平面PAC ，PA ⊂平面PAC ， BC ∴⊥平面PAC ，
又BC ⊂平面PBC ，
∴平面PAC ⊥平面PBC ；
（2）过A 作Ax AB ⊥，以A 为坐标原点，建立如图所示空间坐标系， 则(0,0,0),(3,1,0),(0,4,0)A C B ，设(0,0,)(0,4]M
t t ∈，
(3,3,0),(0,4,)BC BM t =-=-u u u r u u u u r
则平面AMB 的一个法向量为(1,0,0)m =u r
设平面BMC 的一个法向量为(,,)n x y z =r
则00
n BC n BM ⎧⋅=⎨⋅=⎩u u u v v u u u u v v ，即33040x y y tz ⎧-=⎪⎨-+=⎪⎩，令3x =，43,1,n t ⎛⎫∴= ⎪⎝⎭r
如图二面角A BM C --的平面角为锐角，设二面角A BM C --为θ，
则234
cos 124m n t m n
θ⋅==-+⋅u r r
u r r ，
4t ∴=时cos θ取得最大值，最大值为
155
，则tan θ最小值为16
3
【点睛】
本题考查面面垂直的证明，利用空间向量法解决立体几何问题，属于中档题.
23．已知12(),100(1)F F -，
，分别是椭圆22
22:1,(0)x y C a b a b
+=>>的左焦点和右焦点，椭圆C
的离心率为A
B 、是椭圆
C 上两点，点M 满足12BM BA =u u u u r u u u r . (1)求C 的方程；
(2)若点M 在圆221x y +=上，点O 为坐标原点，求OA OB ⋅u u u r u u u r
的取值范围.
【答案】（1）22
154
x y +=；
（2）1111,45⎡⎫--⎪⎢⎣⎭. 【解析】 【分析】
（1）根据焦点坐标和离心率，结合椭圆中,,a b c 的关系，即可求得,,a b c 的值，进而得椭圆的标准方程. （2）设出直线AB 的方程为y kx m =+，由题意可知M 为AB 中点.联立直线与椭圆方程，由韦达定理表示出1212,x x x x +，由判别式>0∆可得2254k m +>；由平面向量的线性运算及数量积定义，化简
OA OB ⋅u u u r u u u r 可得2114
OA OB AB ⋅=-u u u r u u u r u u u
r ，代入弦长公式化简；由中点坐标公式可得点M 的坐标，代入圆的方
程2
2
1x y +=，化简可得
()
2
2
2
254
2516
k m
k +=
+，代入数量积公式并化简，由换元法令21t k =+，代入可得
()()()
20812051259t t OA OB t t -⋅=-⨯
--u u u r u u u r
，再令1
s t =及52s ω=-，结合函数单调性即可确定1625950ωω
++的取值范围，即确定()()()
20851259t t t t ---的取值范围，因而可得OA OB ⋅u u u r u u u r
的取值范围.
【详解】
（1）12(),100(1)F F -，
，分别是椭圆22
22:1,(0)x y C a b a b
+=>>的左焦点和右焦点， 则1c =，椭圆C
则1c e a a =
==
解得a =， 所以222514b a c =-=-=，
所以C 的方程为22
154
x y +=.
（2）设直线AB 的方程为y kx m =+，点M 满足12
BM BA =u u u u r u u u r ，则M 为AB 中点，点M 在圆22
1
x y +=上，设()()1122,,,A x y B x y ，
联立直线与椭圆方程2215
4y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，化简可得()
222
54105200k x kmx m +++-=，
所以212122
2
10520,,54
54
km m x x x x k k --+=
=
++
则()()()
2
2
2
104545200km k m ∆=-⨯+⨯->，化简可得2254k m +>，
而()()
OA OB OM MA OM MB ⋅=+⋅+u u u r u u u r u u u u r u u u r u u u u r u u u r
2OM OM MB MA OM MA MB =+⋅+⋅+⋅u u u u r u u u u r u u u r u u u r u u u u r u u u r u u u r 22OM MB =-u u u u r u u u r
2114
AB =-u u u
r
由弦长公式代入可得
2
2111144OA OB AB ⋅=-=-u u u r u u u r u u u
r
2
2
211454k k ⎛+
=-⨯ ⎪+⎝
⎭
M 为AB 中点，则()121222
254,,22
54
54
M M k x x b x x km
m x y k k +++-====++
点M 在圆22
1x y +=上，代入化简可得
()
2
2
2
254
2516
k m
k +=
+，
所以()
22222
154180454
k k m OA OB k ++-⋅=-⨯⨯+u u u r u u u r ()()()()2222
12012120542516k k k k ++=-⨯++ 令2
1t k =+，则()
()()
20812051259t t OA OB t t -⋅=-⨯
--u u u r u u u r
，1t ≥，
令1,01s s t
=<≤，则
()()()()()8
2020820819512595259525t t s t
t t s s t t -
--==----⎛⎫⎛⎫-- ⎪⎪
⎝
⎭⎝⎭ ()
()()
4525259s s s -=
--
令[)52,3,5s ωω=-∈，则52
s ω
-=
， 所以()()()()()4521616
25
5259559950
s s s ωωωωω
-==
--++++， 因为()25
950f ωωω
=+
+在[)3,5ω∈内单调递增，所以
1643,25
2516950ωω
⎛⎤∈ ⎥
⎝⎦
+
+，
即()()()20843,512592516t t t t -⎛⎤
∈ ⎥--⎝⎦
所以()()()2081111120,5125945t t OA OB t t -⎡⎫
⋅=-⨯
∈--⎪⎢--⎣⎭
u u u r u u u r
【点睛】
本题考查了椭圆的标准方程求法，直线与椭圆的位置关系综合应用，由韦达定理研究参数间的关系，平面向量的线性运算与数量积运算，弦长公式的应用及换元法在求取值范围问题中的综合应用，计算量大，属于难题.。