机械刚体动力学

Fsx FRAx Fsy FRAy FRDy
M s xC FRDy
（1)
平面连杆机构的动态静力分析
§1.2 平面凸轮机构的动态静力分析
已知：凸轮和从动件的运动
求：约束反力
工作 载荷 初压 力 移动副 处的约 束反力 凸轮压 力角
摩擦 力
主对从 的法向 推力
平衡 力矩
回转副 处的约 束反力 凸轮和从动件的受力图
构件的力平衡方程可列出如下：
对从动件2
..
G ( FP 0 ks) fFR 2 x m s FR cos 0
（a) (b)
FR 2 x FR sin 0
FR (r0 s)sin FR 2 x H M 2 0 (对O点取矩）(c)
对凸轮1
0 1 xB 0 1 xs2 xB 0 0
0 0 0 1 0 ys2 yC 1 0
0 0 0 0 1 xC xs2 0 1
0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0
例1.1.1 写成标准形式为
平面连杆机构的动态静力分析
AR B
以上9个方程组成一个9元的线性方程组：
.. .. .. .. ..
..
(e)
(f)
平面连杆机构的动态静力分析
AR B
矩阵A为
1 0 q2 y 0 A 0 0 0 0 0
0 1 q2 x 0 0 0 0 0 0
1 0 p2 y 1 0 q3 y 0 0 0
..
..
①’
连杆2
P2 FRC q2 FRB J 2 2
滑块3
FRC m3 S3
..
FRCx FRBx m2 x s2 FRCy FRBy m2 y s2 ( xC xs2 ) FRCy ( yC ys2 ) FRCx
②’
..
化为标量式为：
FRCx m3 x s3 FRDy FRCy m3 y s3 0
..
..
（wk.baidu.com)
M d ——为作用于原动件上的平衡力矩。
平衡力矩的定义是：为维持原动构件按假想的理想运动规律运 动（如等速回转运动）所需施加于原动构件上的驱动力矩。
将上述（a）、（b）、（c）三个矢量方程组展开成标量 式，有：
FR 2 x FR1x m2 x S 2 F2 x FR 2 y FR1 y m2 y S 2 F2 y p2 x FR 2 y p2 y FR 2 x q2 x FR1 y q2 y FR1x M d J 2 2 M 2
. ..
对许多自动机械中的凸轮机构来说，机械的工作载荷并 不大，而惯性载荷占了压倒地位。与惯性载荷相对应的这一 部分平衡力矩可称为动态力矩，若忽略摩擦，可简化为：
m .. . Md s s

所以，对高速凸轮，若需要降低输入轴上的动态力矩，选择 从动件运动规律时应注意速度和加速度的乘积。
求解一次上述线性方程组，只能求得机构某一位置的各运动副 中的反力和平衡力矩。要求得在机构的一个运动周期中运动副反 力和平衡力矩的变化情况，则需要将机构的运动周期离散化，得 到一系列的机构离散位置。
平面连杆机构的动态静力分析
平面连杆机构的动态静力分析
一、构件的惯性力和惯性力矩 二、平面连杆机构的动态静力分析 三、机构的摆动力和摆动力矩 在研究机器的振动中，我们对运动副中由于惯性载荷引 起的那部分约束反力更为重视，因为在高速下惯性载荷占主 要成分，而且惯性载荷是周期性波动的，是引起振动的主要 激励。
..
..
m4 y S 4 F4 y
..
J 4 4 M 4
..
T
矩阵B为9X1的已知列阵，包含了机构所受的外力和惯性力、惯 性力矩。
R FR1x FR1 y FR 2 x FR 2 y FR 3 x FR 3 y FR 4 x FR 4 y Md
T
矩阵R为9X1的未知量列阵，包含了机构各运动副中的反力和作 用于原动构件上的平衡力矩。
0 1 p2 x 0 1 q3 x 0 0 0
0 0 0 1 0 p3 y 1 0 q4 y
0 0 0 0 1 p3 x 0 1 q4 x
0 0 0 0 0 0 1 0 p4 y
0 0 0 0 0 0 0
0 0 1 0 0 0 0 1 0 p4 x 0
4
..
i 2 4
..
M S [ J i i mi ( xsi y si ysi x si )]
i 2
4
..
..
..
例1.1.1
平面连杆机构的动态静力分析
曲柄1
FRB FRA 0 质心在回转中心 P 1 FRB M d 0 曲柄作等速回转
FRC FRB m2 S2 P2 FRC q2 FRB J 2 2
..
③’ ( xB xs2 ) FRBy ( yB ys2 ) FRBx
J2 2
..
例1.1.1 写成标准形式为 则矩阵A为
平面连杆机构的动态静力分析
AR B
④
1 1 0 0 1 0 0 0 yB 0 0 1 A 0 0 0 0 0 yB ys2 0 0 0 0 0 0
.. ..
..
(d)
FR 3 x FR 2 x m3 x S 3 F3 x FR 3 y FR 2 y m3 y S 3 F3 y p3 x FR 3 y p3 y FR 3 x q3 x FR 2 y q3 y FR 2 x J 3 3 M 3 FR 4 x FR 3 x m4 x S 4 F4 x FR 4 y FR 3 y m4 y S 4 F4 y p4 x FR 4 y p4 y FR 4 x q4 x FR 3 y q4 y FR 3 x J 4 4 M 4
..
..
由此可求得作用于凸轮上的平衡力矩
M d (r0 s ) tan G FP 0 ks m s 1 f tan
.
根据凸轮机构压力角与基圆半径的关系
ds s tan (r0 s)d (r0 s)
可求得
s G FP 0 ks m s Md 1 f tan
FR1y FR cos 0
FR1x FR sin 0
M d FR (r0 s)sin 0
(对O点取矩）
(d) (e) (f)
式中：
M d ——作用于凸轮上维持其等速回转的平衡力矩
s

——从动件位移，是凸轮转角的函数，是一个已知量 ——表征摩擦力方向的量，与从动件速度方向有关： 当
§1-1 平面连杆机构的动态静力分析
一、构件的惯性力和惯性力矩
mi 平面机构中作一般平面运动的构件会产生一个惯性力 .. 一个惯性力矩 J i i
mi , J i ——分别为构件的质量和对质心的转动惯量。
si 和
..
si , i
..
..
——分别为构件质心的加速度和构件的角加速度。
概述
FR 3 FR 2 m3 S 3 F3 ( p3 FR 3 ) (q3 FR 2 ) J 3 3 M 3
..
..
（b)
构件4：
FR 4 FR 3 m4 S 4 F4 ( p4 FR 4 ) (q4 FR 3 ) J 4 4 M 4
第一篇 机械刚体动力学
基本假设：研究对象为刚体
第一章 机构的动态静力分析
当机械的速度很高时，构件的惯性力不能再被忽略。 根据达朗贝尔原理，可将惯性力计入静力平衡方程来求出 为平衡静载荷和动载荷而需在驱动构件上施加的输入力或力矩， 以及各运动副中的反作用力。——这种分析方法称为动态静力 分析
已知机构的运动状态和工作阻力，求解平衡力矩、各运动 副反力及其变化规律。——动力学逆问题
二、平面连杆机构的动态静力分析
忽略运动副中的摩擦
mI , J I
SI
..
——分别为构件的质量和对质心的转动惯量 ——质心的加速度矢量
I
..
——角加速度矢量 ( p F ) (q F
I Ri I
FRi FRi 1 FI mI S I
Ri 1 ) M I J I I ..
平面连杆机构的动态静力分析
摆动力为机构所有运动构件惯性力之合力，它 与折算的基点O的选取无关； 摆动力矩为机构所有运动构件的惯性载荷对点 O的合力矩，它与基点的选取有关。
对于图1.1.2所示之四杆机构，摆动力和摆动力矩可分别写 为：
Fsx mi x si
Fsy mi y si
i 2
矩阵A为一9X9的已知方阵，其元素与构件的质心位置有关。
.. B m2 x S 2 F2 x m2 y S 2 F2 y
..
J 2 2 M 2
..
m3 x S 3 F3 x
..
m3 y S 3 F3 y
..
J 3 3 M 3 m4 x S 4 F4 x
平面连杆机构的动态静力分析
AR B
..
（1.1.3）’
..
B 0 0 0 m2 xs2
R FRAx FRAy FRBx
m2 ys2
FRBy
J 2 2
FRCx
..
m3 xs3
FRDy
..
0
T
FRCy
（k)
Md
T
两个坐标轴方向的 摆动力为
对A点的摆动力矩 为
s 0, 1
.
；当
s 0, 1
.
由上述6个方程组成一个线性方程组，可求解出6个未 知量：
M d , FR 2 x , M 2 , FR , FR1x , FR1y
例如，可解出凸轮作用于从动件的法向推力
FR G FP 0 ks m s cos f sin
.. ..
连杆2
滑块3
FRC m3 S3
..
例1.1.1 曲柄1
平面连杆机构的动态静力分析
FRB FRA 0 P 1 FRB M d 0
FRC FRB m2 S2
..
..
FRBx FRAx 0 FRBy FRAy 0 xB FRBy yB FRBx M d 0
..
pI ri S I qI ri 1 S I
根据上述公式可写出平面铰链四杆机构中各构件的力平衡 方程： 构件2：
FR 2 FR1 m2 S 2 F2 ( p2 FR 2 ) (q2 FR1 ) M d J 2 2 M 2
..
..
（a)
构件3：
..
（1.1.3）
..
B 0 0 0 m2 xs2
R FRAx FRAy FRBx
m2 ys2
FRBy
J 2 2
FRCx
..
m3 xs3
FRDy
..
0
T
FRCy
Md
T
A、B已知，R未知
包含了机构各运动副中的反力和 作用于原动件上的平衡力矩
例1.1.1 写成标准形式为