二次型化为标准型的三种方法

f
(x1, x2,..., xn )
a11
x121
2x1
a12 a11
x2
...
a1n a11
xn
a
x2
22 2
...
2a2n xn2
配方
...... ann xn2
a11 x1
a12 a11
x2
...
a1n a11
xn
2
1
a11
a12x2 a13x3 ... a1n xn
B
1
2. 若二次型中不含有平方项，但是 aij 0
(i j),则先作可逆线性变换
2
a
22
x
2 2
...
2a2n xn2
...... ann xn2
y1
令
x1
a12 a11
x2
...
y2 x2
a1n a11
xn
...
yn xn
改写上述关系得到：
x1
y1
a12 a11
y2
...
x2 y2
a1n a11
yn
...
xn yn
它是非退化的,代入后
f
x1, x2,..., xn
(2)如果存在，如何求C?
定理 任何一个二次型都可以通过非退化线性 替换 化为标准形。
证 : 设f (x1, x2,..., xn ) a11x12 2a12x1x2 ... 2a1nx1xn
a
x2
22 2
...
2a2n x2xn
......
annxn2
(1)若aii不全为零,设a11≠0 则上式可写成
x1
x1
xxx2222xxx3332222xxx22222x344xx32去324掉4xx2配x2 3x方3 后多出来的项
x1 x2 x3 2 x2 2x3 2.
令
y1 y2
x1 x2 x2 2x3
x3
x1 x2
y1 y2 y2 2 y3
y3
y3 x3
x3 y3
§2 二次型化为标准型的三种方法
对于二次型f(x1, x2, , xn ) X T AX (AT A), 一个最基本的问题是找一个可逆(非退化)线性
替换X=CY化f为只含平方项的简单形式
g(y1, y2,
,yn )
d1y12
d2y
2 2
dn
y
2 n
,
上式称为f的标准型.
问题：(1)非退化得线性替换X CY 是非存在？
2x1x2
2x1x 3
2x
2 2
4x2x3
x
2 3
化为标准形
解:配方化简
x12
2x1x2
2x1x3
2x
2 2
4x2x3
x
2 3
x12 2x1(x2 x3) (x2 x3)2 (x2 x3)2 2x22 4x2x3 x32
x1 x2 x3 2 x22 2x2x3
x1 x2 x3 2 x2 x3 2 x32
a11y12
a2' 2y
2 2
2a2' 3y2y3
...
2a
' 2n
y
2yn
a3' 3y
2 3
...
2a
' 3n
y
3yn
......
对y2,y3,…,yn的二次型.
an' n
y
2 n
当aii'不全为零时,继续上述方法.否则用下述(2) (2)若a ii=0 (i=1,2,…,n),但至少有一个aij≠0,
2an1,nyn1yn
y12的系数2a12 0, 再用(1)化简.
反复使用(1)与(2),可以在有限步内将二次型 化为标准形. 因为 x=Cy, |C|≠0 y=Dz,|D|≠0
则 x=(CD)z, |CD|=|C||D|≠0 也是非退化线性替换.
以上做法中,每一步都是非退化线性替换.
因此可以找到一个非退化线性替换化为二 次型为标准形.
定理 对任意对称阵A,存在可逆阵C使得CTAC 为对角阵. 即任何对称矩阵合同于一个对角阵.
上述定理的证明实绩上给出了一种化二次 型为标准型的方法：配方法.
拉格朗日配方法的步骤
1. 若二次型含有 xi 的平方项，则先把含有 xi 的乘积项集中，然后配方，再对其余的变量同 样进行，直到都配成平方项为止，经过非退化线 性变换，就得到标准形 .
1 2 1
1 1 0
C
0
1
1 且 |C | 1 0
可验证 0 0 1
1 0 0 1 1 1 1 1 0
CT AC
1
1
0
1
2
2
0
1
1
0 1 1 1 2 1 0 0 1
1 1 1 1 1 0 1 0 0
0
1
1
0
0 0 1 0
1 0
1 1
0
0
1 0
0
令
y1
y2
x1
x2 x2
x x3
3
y3 x3
即
x1 x2
wk.baidu.com
y1 y2
y2 y3
x3 y3
1 1 0 C 0 1 1 1 0
00 1
代入可得标准形为
y12
y
2 2
y
2 3
1 0 0
它的矩阵为
B
0
1
0
0 0 1
1 1 1
原二次型矩阵
A 1
2
2
非退化线性替换矩阵为
设a12≠0,则
f (x1, x2,..., xn ) 2a12x1x2 2a13x1x3 ... 2a1nx1xn
2a23x2x3 ... 2a2nx2xn ...... 2an1,n xn1xn
令
x1 y1
x
2 x3
y1 y 2 y3
...
xn y n
它是非退化线性的替换,代入后
x1 1 1 1 y1 x2 0 1 2 y2
x3 0 0 1 y3
f x12 2x22 5x32 2x1x2 2x1x3 6x2x3
y12 y22 .
所用变换矩阵为
1
C 0
1 1
1 2,
C 1 0.
0 0 1
例2 将二次型
x12
例1 化二次型 f x12 2 x22 5 x32 2 x1 x2 2 x1 x3 6 x2 x3
为标准形,并求所用的变换矩阵.
解
含有平方项
含有 x1的项配方
f x12 2x22 5x32 2x1 x2 2x1 x3 6x2 x3
x12 2x1 x2 2x1 x3 2x22 5x32 6x2 x3
f (x1, x2,..., xn ) 2a12y1(y1 y2) 2a13y1y3 ... 2a1ny1yn
2a23(y1 y2)y3 ... 2a2n (y1 y2)yn ......
2an1,nyn1yn
2a12y12 2a12y1y2 2(a13 a23)y1y3 ... 2(a1n a2n )y1yn 2a23y2y3 ... 2a2ny2yn ......