福州一中2019届高三上期数学期考试卷及解答

福州一中2018—2019学年第一学期第二学段模块考试

高三数学（理科）期末考试试卷

（考试时间：120分钟 试卷满分：150分） （注意：不得使用计算器，并把答案写在答案卷上）

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1.已知全集为实数集,集合{}{}

230,21,x A x x x B x =-<=>,则B ∩(∁R A)=( ) .A (][),03,-∞⋃+∞ .

B (]0,1 [).3,

C +∞ [).1,

D +∞

2.若

为虚数单位，则（ ） .

A .

B .

C .

D 3.右图是在北京召开的第24届国际数学家大会的会标，会标是根据我国古代数学家赵爽弦图设计的.已知图中直角三角形两条直角边的长分别为2和3，若从会标内随机取一点，则该点取自白色区域的概率

为（ ） .

A 13

.B 113

.

C 19 .D

2

25 4.已知0,a >且1a ≠，则1b a >是(1)0a b ->的 （ ）

.A 充分而不必要条件 .B 必要而不充分条件 .C 充要条件 .D 既不充分也不必要条件

5.已知等比数列{}n a 的公比是正数，n S 为数列{}n a 的前n 项和，且34a =，5228,S S -=，则其公比是（ ）

.2A .B 4 .

C .3D

6.函数x x x y sin 11ln +⎪⎫

⎝⎛+-=的图象大致为( )

i 21i

i

-=+13

22

i -3122i +3322

i -31

22i -

7.若双曲线()22

2210,0x y a b a b

-=>>

的渐近线与圆(()2211x y +-=相切，则此双曲线的

离心率为（ ）

.A 53

B .

C .

D 2

8.已知三棱锥的三视图如图所示，则它的外接球表面积 为 ( )

.16A π .B 4π .C 8π .D 2π

9.已知F 是椭圆22

22:1(0)x y C a b a b

+=>>的右焦点，点A 是椭圆上位于第一象限内的一点，

O 为坐标原点，2OA OF OF ⋅=uu r uuu r uuu r

，则直线OA 的方程是( )

1

.2A y x =

.B y x =

.C y =

.D y x =

10.已知数列{}n a 满足12=

(1)2n n n a a a ++=-(-1)，，n S 为数列{}n a 的前n 项和，则2019S = .1009A - .1010B -

.1011C - .1008D - ( )

11.如图所示，在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，点

,E F 分别是棱1,BC CC 的中点，P 是侧面11BCC B 内一点，

若1A P ∥平面

AEF ，则线段1A P 长度的取值范围是( ) .

A ⎡⎢⎣⎦ .

B ⎣ .

C .

D 12.

设168

k a ==a 的值进行估算，则下列结论正确的是 ( ) .A (22,23)a ∈ .B (24,25)a ∈ .C (25,26)a ∈ .D (26,27)a ∈

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13.若1

tan()43

απ-=-，则cos 2α=_________.

14.在ABC ∆中，3,2,120AB AC BAC ==∠=。，2BD DC =uu u r uuu r

，则AB AD ⋅=uu u r uuu r ________.

15.设函数()sin cos f x a x b x =+，其中,a b R ∈，0ab ≠，若()()6

f x f π

≥对一切x R ∈恒成

立，则函数()f x 的单调递增区间是 ．

16.已知1a >,且指数函数x y a =与对数函数log a y x =有两个交点，则a 的取值范围是 ．

三、解答题：满分70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17.(本小题满分12分)

已知数列{}n a 的前n 项的和为n S ，3

1.2

n n S a =- (Ⅰ)求数列{}n S 的通项公式； (Ⅱ)判断数列+1n n S S ⎧⎫

⎨

⎬⎩⎭

的单调性，并证明. 18．(本小题满分12分)

如图，四边形PDCE 为矩形，ABCD 为梯形，平面PDCE ⊥平面ABCD ，M 为PA 中点，90ADC BAD ∠=∠=。

，12AB AD CD ===.

(Ⅰ)求证：AC ∥平面MDE ；

(Ⅱ)求直线MD 与平面PBC 所成角的正弦值． 19.(本小题满分12分)

设O 为坐标原点，动圆P 过定点(4,0)M , 且被y 轴截得的弦长是8. (Ⅰ)求圆心P 的轨迹C 的方程；

(Ⅱ)设,A B 是轨迹C 上的动点，直线,OA OB 的倾斜角之和为4

π，求证：直线AB 过定点.

20．(本小题满分12分)

如图，港珠澳大桥连接珠海（A 点）、澳门（B 点）、香港（C 点）．线段AB 长度为)(10km ，线段BC 长度为)(40km ，且60ABC ∠=.澳门（B 点）与香港（C 点）之间有一段海底隧道，连接人工岛E 和人工岛F ，海底隧道是以O 为圆心，

半径)R km =

的一段圆弧EF ，从珠海点A 到人工岛E 所在的直线AE 与圆O 相切，切点为点E ，记,[,)62

AEB ππ

θθ∠=∈.

(Ⅰ)用θ表示AE 、EF 及弧长»EF

； (Ⅱ)记路程AE 、弧长»EF

及、BE FC 四段长总和为l ，当θ取何值时，l 取得最小值？