凸函数的性质及其应用

凸函数的性质及其应用

杨贞标 （2008051136）

（黔南民族师范学院数学系,贵州 都匀 558000）

摘 要:凸函数是重要的函数,是证明不等式的重要工具,是运筹学的理论基础之一.本文给出了凸函数

的多种定义,几何意义,性质及其应用.

关键词:凸函数;Jensen 型不等式;凸规划

The Properties and Applications of Convex Function

YANG Zhen-biao (2008051136)

(Departmen of Mathematics, Qiannan Normal College for Nationalities, Duyun 558000, Guizhou)

Abstract: Convex Function is an important function, which is an important tool of proving inequally, It is

also one of the basic theories to the operational research. In this paper it includes some different definitions, the geometric meaning ,properties and the applications.

Keywords: Convex Function; Jensen Type Inequality; Convex Programming

凸函数是一类非常重要的函数,在证明不等式和非线性规划中有着广泛的应用.本文中首先给出凸函数的多种定义,凸函数的几何意义及其性质,并将凸函数推广到Jensen 型不等式和n 维欧式空间上. 1 凸函数的定义

定义1 如果函数()f x 在[],a b 上连续,对[],a b 上任意不同的两点1x ,2x 有

1212()()

(

)22

x x f x f x f ++≤

则称函数()f x 是[],a b 上的凸函数.

定义 2 设f 为定义在区间I 上的函数,若对I 上的任意两点1x ,2x 和任意实数(0,1)λ∈总有

1212[(1)]()(1)()f x x f x f x λλλλ+-≤+-

则称函数f 是I 上的凸函数.

定义3 如果函数()f x 在[],a b 上连续,任意123,,[,]x x x a b ∈且123x x x <<有

31212131

()()

()()f x f x f x f x x x x x --≤--

则称函数()f x 是[],a b 上的凸函数.

定义4 如果函数()f x 在[],a b 上连续,在(,)a b 上可导,对0,[,]x x a b ∀∈有

'000()()()()f x f x x x f x ≥-+

则称函数()f x 是[],a b 上的凸函数.

定义 5 如果函数()f x 在[],a b 上连续,在(,)a b 上二次可导且''()0f x ≥,则称函数()f x 是[],a b 上的凸函数.

定义6 设()f X 为定义在n 维欧氏空间n E 中某个凸集c R 上的函数.若对任何实数(01)∂<∂<以及c R 中的任意两点(1)X 和()2X 恒有

(1)(2)(1)(2)[(1)]()(1)()f X X f X f X ∂+-∂≤∂+-∂

则称函数()f X 是定义在c R 上是凸函数.

注:①若函数()f x 为凸函数,则()f x -为凹函数.

②将上述定义中的≥或≤改为>或<,则是严格凸函数的定义.

2 凸函数的几何意义

设函数()f x 为凸函数,图如(图一)所示. 令123x x x <<则有

32212133131

x x x x

x x x x x x x --=

+-- 由定义2与定义3有

32212133131

()(

)x x x x

f x f x x x x x x --=+-- 3221133131

()()x x x x

f x f x x x x x --<

+--

即

313221213132

()()()()

()()f x f x f x f x f x f x x x x x x x ---<<---

上式说明了凸函数的几何意义.弦AB 的斜率小于弦AC 的斜率,弦AC 的斜率小于弦BC 的斜率.

即AB AC BC k k k <<.

(图一) 3 凸函数的性质

性质1 若函数()f x 为区间[,]a b 上的凸函数,则对于0t >,有()tf x 在[,]a b 上也是凸函数.

证明: 因为()f x 是区间[,]a b 上的凸函数.

所以对于(0,1)λ∀∈和[]12,,x x a b ∀∈有

1212[(1)]()(1)()f x x f x f x λλλλ+-≤+-

对上式两端同时乘以(0)t t >得

1212[(1)]()(1)()tf x x t f x tf x λλλλ+-≤+-

所以()tf x 在[,]a b 上是凸函数.

性质2 若函数()f x 与()g x 均为区间[,]a b 上的凸函数,则函数()()f x g x +在区间[,]a b 上也是凸函数.

证明:因为函数()f x 与()g x 在区间[,]a b 上均为凸函数. 所以取12,[,]x x a b ∀∈和(0,1)λ∀∈有