初中数学专题复习近似数与有效数字(含答案)

近似数与有效数字
学习目标
1．使学生理解近似数和有效数字的意义；
2．给一个近似数，能说出它精确到哪一位，它有几个有效数字；
3．通过说出一个近似数的精确度和有效数字，培养学生把握数学文字语言，准确理解概念的能力；
4．通过近似数的学习，向学生渗透精确与近似的辩证思想.
知识讲解
1．一个近似数，四舍五入到哪一位，就说这个近似数精确到哪一位．换句话说这个近似数最末一个数字所处数位就是它的精确度．如:74.90是精确到百分位．
2．对于一个写成 10n
a ⨯用科学记数法写出的数，则看数a 的最末一位在原数中所在数位．如： 62.046710⨯,即2046700,所以 62.046710⨯精确到百位．
3．确定有效数字应注意：有效数字是指从左起第一个不是零的数字起，到精确到的数位止的所有数字．从左起第一个不是零的数字左边的零不是有效数字，而从这个数往右的零不论在中间还是末尾都是有效数字.如：0.250有三个有效数字2，5，0．
4．取近似数，应看要求精确到的数位的下一位数字，然后按四舍五入的总原则取近似值，而不看其它数位上的数．如:3.994精确到十分位是4.0．
5．科学记数法形式 10n a ⨯写出的数取近似值往往容易出错，按四舍五入原则取值后，舍掉的整数位应补上0，然后把这个数用科学记数法表示出来．
典型例题
例1 判断下列各数，哪些是准确数，哪些是近似数：
(1)初一(2)班有43名学生，数学期末考试的平均成绩是82.5分；
(2)某歌星在体育馆举办音乐会，大约有一万二千人参加；
(3)通过计算，直径为10cm 的圆的周长是31.4cm ；
(4)检查一双没洗过的手，发现带有各种细菌80000万个；
(5)1999年我国国民经济增长7.8％．
解：(1)43是准确数．因为43是质数，求平均数时不一定除得尽，所以82.5一般是近似数；
(2)一万二千是近似数；
(3)10是准确数，因为3.14是π的近似值，所以31.4是近似数；
(4)80000万是近似数；
(5)1999是准确数，7.8％是近似数．
说明：1．在近似数的计算中，分清准确数和近似数是很重要的，它是决定我们用近似计算法则进行计算，还是用一般方法进行计算的依据．
2．产生近似数的主要原因：
(1)“计算”产生近似数．如除不尽，有圆周率π参加计算的结果等等；
(2)用测量工具测出的量一般都是近似数，如长度、重量、时间等等；
(3)不容易得到，或不可能得到准确数时，只能得到近似数，如人口普查的结果，就只能是一个近似数；
(4)由于不必要知道准确数而产生近似数．
例2 下列由四舍五入得到的近似数，各精确到哪一位？各有哪几个有效数字？
10
(1)38200 (2)0.040 (3)20.05000 (4)4×4
分析：对于一个四舍五入得到的近似数，如果是整数，如38200，就精确到个位；如果有一位小数，就精确到十分位；两位小数，就精确到百分位；象0.040有三位小数就精
10=40000，只有一个有效数字4，确到千分位；象20.05000就精确到十万分位；而4×4
则精确到万位．有效数字的个数应按照定义计算．
解：(1)38200精确到个位，有五个有效数字3、8、2、0、0．
(2)0.040精确到千分位(即精确到0.001)有两个有效数字4、0．
(3)20.05000精确到十万分位(即精确到0.00001)，有七个有效数字2、0、0、5、0、0、0．
10精确到万位，有一个有效数字4．
(4)4×4
说明：(1)一个近似数的位数与精确度有关，不能随意添上或去掉末位的零．如
20.05000的有效数字是2、0、0、5、0、0、0七个．而20.05的有效数字是2、0、0、5四个．因为20.05000精确到0.00001，而20.05精确到0.01，精确度不一样，有效数字也不同，所以右边的三个0不能随意去掉．
(2)对有效数字，如0.040，4左边的两个0不是有效数字，4右边的0是有效数字．
(3)近似数40000与4×104有区别，40000表示精确到个位，有五个有效数字4、0、0、0、0，而4×104表示精确到万位，有1个有效数字4．
例3 下列由四舍五入得到的近似数，各精确到哪一位？各有几个有效数字？
(1)70万(2)9.03万(3)1.8亿(4)6.40×105
分析：因为这四个数都是近似数，所以
(1)的有效数字是2个：7、0，0不是个位，而是“万”位；
(2)的有效数字是3个：9、0、3，3不是百分位，而是“百”位；
(3)的有效数字是2个：1、8，8不是十分位，而是“千万”位；
(4)的有效数字是3个：6、4、0，0不是百分位，而是“千”位．
解：(1)70万. 精确到万位，有2个有效数字7、0；
(2)9.03万.精确到百位，有3个有效数字9、0、3；
(3)1.8亿.精确到千万位，有2个有效数字1、8；
(4)6.40×105.精确到千位，有3个有效数字6、4、0．
说明：较大的数取近似值时，常用×万，×亿等等来表示，这里的“×”表示这个近似数的有效数字，而它精确到的位数不一定是“万”或“亿”．对于不熟练的学生，应当写出原数之后再判断精确到哪一位，例如9.03万=90300，因为“3”在百位上，所以9.03万精确到百位．
例4 用四舍五入法，按括号里的要求对下列各数取近似值．
(1)1.5982(精确到0.01) (2)0.03049(保留两个有效数字)
(3)3.3074(精确到个位) (4)81.661(保留三个有效数字)
分析：四舍五入是指要精确到的那一位后面紧跟的一位，如果比5小则舍，如果比5大或等于5则进1，与再后面各位数字的大小无关．
(1)1.5982要精确到0.01即百分位，只看它后面的一位即千分位的数字，是8＞5，应当进1，所以近似值为1.60．
(2)0.03049保留两个有效数字，3左边的0不算，从3开始，两个有效数字是3、0，再看第三个数字是4＜5，应当舍，所以近似值为0.030．
(3)、(4)同上．
解：(1)1.5982≈1.60 (2)0.03049≈0.030
(3)3.3074≈3 (4)81.661≈81.7
说明：1.60与0.030的最后一个0都不能随便去掉．1.60是表示精确到0.01，而1.6表示精确到0.1．对0.030，最后一个0也是表示精确度的，表示精确到千分位，而0.03只精确到百分位．
例5 用四舍五入法，按括号里的要求对下列各数取近似值，并说出它的精确度(或有效数字)．
(1)26074(精确到千位) (2)7049(保留2个有效数字)
(3)26074000000(精确到亿位) (4)704.9(保留3个有效数字)
分析：根据题目的要求：
(1)26074≈26000；(2)7049≈7000;(3)26074000000≈26100000000;(4)704.9≈705
(1)、(2)、(3)题的近似值中看不出它们的精确度，所以必须用科学记数法表示．
解：(1)26074=2.6074×104≈2.6×104，精确到千位，有2个有效数字2、6．
(2)7049=7.049×103≈7.0×103，精确到百位，有两个有效数字7、0．
(3)26074000000=2.6074×1010≈2.61×1010，精确到亿位，有三个有效数字2、6、1．
(4)704.9≈705，精确到个位，有三个有效数字7、0、5．
说明：求整数的近似数时，应注意以下两点：
(1)近似数的位数一般都与已知数的位数相同；
(2)当近似数不是精确到个位，或有效数字的个数小于整数的位数时，一般用科学记数法表示这个近似数．因为形如a×10n(1≤a＜10，n为正整数＝的数可以体现出整数的精确度．
例6 指出下列各问题中的准确数和近似数，以及近似数各精确到哪一位？各有几个有效数字？
(1)某厂1998年的产值约为1500万元，约是1978年的12倍；
(2)某校初一(2)班有学生52人，平均身高约为1.57米，平均体重约为50.5千克；
(3)我国人口约12亿人；
(4)一次数学测验，初一(1)班平均分约为88.6分，初一(2)班约为89.0分．
分析：对于四舍五入得到的近似数，如果是整数，就精确到个位；若有1位小数，就精确到十分位，如近似数89.0就精确到十分位．若去掉末位的“0”成为89，则精确到个位了，这就不是原来的精确度了，故近似数末位的零不能去掉．
解：(1)1998和1978是准确数．近似数1500万元，精确到万位，有四个有效数字；近似数12精确到个位，有两个有效数字．
(2)52是准确数．近似数1.57精确到百分位，有3个有效数字；近似数50.5精确到十分位，有3个有效数字．
(3)近似数12亿精确到亿位，有两个有效数字．
(4)近似数88.6和89.0都精确到十分位，都有3个有效数字．
说明：在大量的实际数学问题中，都会遇到近似数的问题．使用近似数，就有一个近似程度的问题，也就是精确度的问题．
一般地，一个近似数，四舍五入到哪一位，就说这个近似数精确到哪一位．这时，从左边第一个不是0的数字起，到精确到的数位(这个数位上的数字若是0也得算)止，所有的数字，都叫做这个数的有效数字．
反馈练习
1. 由四舍五入得到的近似数0.600的有效数字是（）
A. 1个
B. 2个
C. 3个
D. 4个
2. 用四舍五入法取近似值，
3.1415926精确到百分位的近似值是_________，精确到千分
位近似值是________．
3. 用四舍五入法取近似值，0.01249精确到0.001的近似数是_________，保留三个有效
数字的近似数是___________．
4. 用四舍五入法取近似值，396.7精确到十位的近似数是______________；保留两个有效数字的近似数是____________．
5. 用四舍五入法得到的近似值0.380精确到_____位，48.68万精确到___位．
答案：1. C 2. 3.14，3.142． 3. 0.012，0.0125．
4. 400，4.0×102．
5. 千分，百．。