常用几何体的内切外接球

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3.已知侧棱和底面边长都是3 2 的正四棱锥，则其外接球的半径是多少？
解答
依题意得，该正四棱锥的底面对角线的长为 3 2× 2＝6，高为
3 22－12×62＝3， 因此底面中心到各顶点的距离均等于3，所以该正四棱锥的外接球的 球心即为底面正方形的中心，其外接球的半径为3.
思维升华
空间几何体与球接、切问题的求解方法 (1)求解球与棱柱、棱锥的接、切问题时，一般过球心及接、切点作截 面，把空间问题转化为平面图形与圆的接、切问题，再利用平面几何 知识寻找几何中元素间的关系求解. (2)若球面上四点P，A，B，C构成的三条线段PA，PB，PC两两互相垂 直，且PA＝a，PB＝b，PC＝c，一般把有关元素“补形”成为一个球 内接长方体，利用4R2＝a2＋b2＋c2求解.
解答
由题意可知，此正方体的体对角线长即为其外接球的直径，正方体的 棱长即为其内切球的直径. 设该正方体外接球的半径为R，内切球的半径为r. 又正方体的棱长为 4，故其体对角线长为 4 3， 从而 V 外接球＝43πR3＝43π×(2 3)3＝32 3π， V 内切球＝43πr3＝43π×23＝323π.
③若球与正方体的各棱相切，则 2R 2a
(2)若长方体的同一顶点的三条棱长分别为a，b，c，外接球的半径为R， 则2R＝ a2＋b2＋c2 .
(3)正四面体棱长为a，其外接球的半径： 内切球的半径： 球心的位置：
外接球的半径与内切球的半径之比：
引申探究 1.已知棱长为4的正方体，则此正方体外接球和内切球的体积各是多少？
2.已知棱长为a的正四面体，则此正四面体的表面积S1与其内切球的表 面积S2的比值为多少？ 解答
正四面体的表面积为 S1＝4·43·a2＝ 3a2，
其内切球半径 r 为正四面体高的14，即 r＝14·36a＝126a，
因此内切球表面积为
S2＝4πr2＝π6a2，则SS12＝
π3aa22＝6
π
3 .
常见几何体的内切、外接球
①若球为正方体 的外接球 2R 3a
若球为正方体的内切球，则 2R=a
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③若球与正方体 的各棱相切，则
2R 2a
知识拓展 1.几个与球有关的切、接常用结论 (1)正方体的棱长为a，球的半径为R，
①若球为正方体的外接球 2R 3a
②若球为正方体的内切球，则 2R=a