线性代数第五章 课后习题及解答

第五章课后习题及解答
1. 求下列矩阵的特征值和特征向量：
(1) ;1332⎪
⎪⎭
⎫
⎝⎛-- 解：,0731
3
3
2
2=--=--=
-λλλλλA I
2
37
3,237321-=+=
λλ ,00
13
36
37
123712
137
1⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛→→⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛=-++- A I λ 所以，0)(1=-x A I λ的基础解系为：.)371,6(T
-
因此，A 的属于1λ的所有特征向量为：).0()371,6(11≠-k k T
,00
13
36
37
12371237
12⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛→→⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛-=---+ A I λ 所以，0)(2=-x A I λ的基础解系为：.)371,6(T
+
因此，A 的属于2λ的所有特征向量为：).0()371,6(22≠+k k T
(2) ;211102113⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛--
解：2)2)(1(2
11
121
13--==------=-λλλλ
λλ A I
所以，特征值为：11=λ(单根)，22=λ(二重根)
⎪⎪⎪
⎭
⎫ ⎝⎛-→→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛------=-0001100011111121121 A I λ
所以，0)(1=-x A I λ的基础解系为：.)1,1,0(T
因此，A 的属于1λ的所有特征向量为：).0()1,1,0(11≠k k T
⎪⎪⎪
⎭
⎫ ⎝⎛-→→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----=-0001000110111221112 A I λ
所以，0)(2=-x A I λ的基础解系为：.)0,1,1(T
因此，A 的属于2λ的所有特征向量为：).0()0,1,1(22≠k k T
(3) ;311111002⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛-
解：3)2(3
1
111
1
02
-==------=-λλλλλ A I
所以，特征值为：21=λ(三重根)
⎪⎪⎪
⎭
⎫
⎝⎛-→→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=-0000001111111110001 A I λ
所以，0)(1=-x A I λ的基础解系为：.)1,0,1(,)0,1,1(T
T -
因此，A 的属于1λ的所有特征向量为：T
T k k )1,0,1()0,1,1(21-+(21,k k 为不全为零的任 意常数)。

(4) ;1000210032104321
⎪⎪
⎪
⎪
⎪
⎭
⎫
⎝⎛
解：4)1(1
2
1003
2
1
04
321
-=----------=
-λλλλλλA I 所以，特征值为：11=λ(四重根)
⎪⎪⎪⎪
⎪⎭
⎫ ⎝⎛------=-00002
000320043201A I λ 所以，0)(1=-x A I λ的基础解系为：.)0,0,0,1(T
因此，A 的属于1λ的所有特征向量为：T
k )0,0,0,1(1(01≠k )
(5) ;111122254⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛-----
解：3)1(1
1
1
12
22
54
-==--+--=
-λλλλλ A I
所以，特征值为：11=λ(三重根)
⎪⎪⎪
⎭
⎫
⎝⎛-→→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=-0001101010111322531 A I λ 所以，0)(1=-x A I λ的基础解系为：.)1,1,1(T
-
因此，A 的属于1λ的所有特征向量为：T
k )1,1,1(1-(01≠k )
(6) ;020212022⎪⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛----
解：)2)(4)(1(202120
22
+--==--=
-λλλλ
λλλ A I 所以，特征值为：11=λ(单根), 42=λ(单根), 23-=λ(单根),
⎪⎪⎪
⎭
⎫
⎝⎛→→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-0001201011202020211 A I λ
所以，0)(1=-x A I λ的基础解系为：.)2,1,2(T
--
因此，A 的属于1λ的所有特征向量为：T
k )2,1,2(1--(01≠k )
⎪⎪⎪
⎭
⎫ ⎝⎛-→→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=-0002102014202320222 A I λ
所以，0)(2=-x A I λ的基础解系为：.)1,2,2(T
-
因此，A 的属于2λ的所有特征向量为：T
k )1,2,2(2-(02≠k )
⎪⎪⎪
⎭
⎫ ⎝⎛--→→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=-0001101022202320243 A I λ
所以，0)(3=-x A I λ的基础解系为：.)2,2,1(T
因此，A 的属于3λ的所有特征向量为：T
k )2,2,1(3(03≠k )
2. 已知矩阵⎪⎪⎪
⎭
⎫ ⎝⎛----=x A 44174
147
的特征值31=λ(二重)，122=λ, 求x 的值，并求其特征向量。

解：123377++=++x 4=∴x
⎪⎪⎪
⎭
⎫ ⎝⎛-→→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----=-0000001441441441443 A I
所以，0)3(=-x A I 的基础解系为：.)4,0,1(,)0,1,1(T
T -
因此，A 的属于3的所有特征向量为：T
T k k )4,0,1()0,1,1(21+-(21,k k 为不全为零的任意常数)
⎪⎪⎪
⎭
⎫ ⎝⎛→→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=-00011010184415414512 A I
所以，0)12(=-x A I 的基础解系为：.)1,1,1(T
--
因此，A 的属于12的所有特征向量为：T
k )1,1,1(3--(03≠k )
3. 设21,x x 是矩阵A 不同特征值的特征向量，证明21x x +不是A 的一个特征向量。

证：（反证法）
若21x x +是A 的属于特征值λ的一个特征向量，21,x x 是A 的属于特征值21,λλ的特征向量且21λλ≠，则：
2211212121)()(x x Ax Ax x x A x x λλλ+=+=+=+
所以，0)()(2211=-+-x x λλλλ
21,x x 属于不同特征值 21,x x ∴线性无关
0,021=-=-∴λλλλ即21λλλ==与21λλ≠矛盾。

所以，21x x +不是A 的一个特征向量。

4. 设321,,x x x 分别是矩阵A 对应于互不相同的特征值321,,λλλ的特征向量，证明
321x x x ++不是A 的一个特征向量。

证：类似3题可证。

5. 证明对合矩阵A (即I A =2
)的特征值只能为1或1-.
证：0)1()1(2=-=-=-=-n I I I A I λλλλ
2
A ∴的特征值只有1.
若λ为A 的特征值，则2λ为2
A 的特征值
A ∴的特征值只能为1或1-.
6. 设A 可逆，讨论A 与*
A 的特征值(特征向量)之间的相互关系。

解：1-*=A A A
∴若,x Ax λ=则x A
x A λ
=
*
.
7. 若,1B AP P =-问：I B P I A P 2)2(1
-=--是否成立？
解：成立。

8. 已知,2001~⎪
⎪⎭
⎫
⎝⎛-=∧A 求).det(I A - 解：,~∧A 相似矩阵具有相同的特征值
)2)(1(-+=-∴λλλA I
2)21)(11()1()det(2-=-+=--=-A I I A
9. 已知,2001,23121⎪
⎪⎭
⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫
⎝⎛--=-AP P P 求.n
A 解：⎪⎪⎭
⎫ ⎝
⎛-==--n n
n n
AP P P A P 20
0)1()(1
1
⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-⋅--+-⋅--=⎪⎪⎭⎫ ⎝
⎛-=∴+++++-21111212)1(32
3)1(62)1(223)1(220
0)1(n n n n n n n n n n
n P P A
*
10. 设x AP P B ,1
-=是矩阵A 属于特征值0λ的特征向量。

证明：x P 1
-是矩阵B 对应其特
征值0λ的一个特征向量。

证：AP P B x Ax 1
0,-==λ
)()(1
0011111x P x P Ax P x APP P x P B ------====∴λλ
*
11. 设A 为非奇异矩阵，证明AB 与BA 相似。

证：A 为非奇异矩阵 1
-∴A 存在
BA A AB A =-)(1
∴AB 与BA 相似
*
12. 设,~,~D C B A 证明：.00~00⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛⎪⎪⎭⎫
⎝⎛D B C A 证：D C B A ~,~ ∴存在可逆矩阵Q P ,, 使得D CQ Q B AP P ==--1
1
,
⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝
⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛-----D B CQ Q AP
P Q P C A Q P Q P C A Q P 000000000000000011111
.00~00⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∴D B C A *13. 证明：m 阶矩阵⎪⎪⎪⎪⎪
⎭
⎫
⎝⎛=01
010 J 只有零特征值，且特征子空间是m
R 的一维子空间，并求它的基。

解：0==-m J I λλ
J ∴只有零特征值。

⎪⎪⎪
⎪
⎪
⎭
⎫
⎝⎛--=-01010 J
0=-∴Jx 的基础解系为：.)0,,0,1(T
14. 若A I +可逆，A I -不可逆，那么，关于A 的特征值能做出怎样的断语？
解：A I + 可逆，A I -不可逆
0,0=-≠+∴A I A I
∴1-不是A 的特征值，1是A 的特征值。

15. 若,0)det(2
=-A I 证明: 1或1-至少有一个是A 的特征值。

证：A I A I A I -+=-=)det(02 0=+∴A I 或0=-A I
∴1或1-至少有一个是A 的特征值。

16. 在第1题中，哪些矩阵可对角化？并对可对角化的矩阵A , 求矩阵P 和对角矩阵∧, 使得
.1∧=-AP P
解：由矩阵可对角化的条件及第1题的求解过程易知：(1), (6)可对角化。

(1) ).237
3,2373(,37137166-+=∧⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛+-=diag P (2) ).2,4,1(,212221122-=∧⎪⎪⎪
⎭
⎫
⎝⎛---=diag P
17. 主对角元互不相等的上（下）三角形矩阵是否与对角阵相似（说明理由）？
解：可以，因为有n 个互不相等的特征值。

18. 设n 阶矩阵A 的2n 个元素全为1，试求可逆矩阵,P 使AP P 1
-为对角阵，并写出与A 相似的对角阵。

解：
1
112121)(000
0111)(),,(1
111
111
11)
(),,(11
1
111111
--=-=++-------=++---------=
-n n n n n r r r r n r r r r A I λλλ
λλλλλλλλλ
所以，特征值为：n =1λ(单根)，02=λ(1-n 重根)
⎪⎪⎪
⎪⎪⎪
⎭
⎫
⎝⎛---→→⎪⎪⎪⎪
⎪⎭⎫
⎝
⎛---------=-0000
1100
10101001
11111
1111
n n n A nI
所以，0)(=-x A nI 的基础解系为：.)1,,1,1(T
⎪⎪
⎪
⎪
⎪
⎭
⎫
⎝⎛→→⎪⎪⎪
⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---------=-000000111
111111111 A
所以，0=-Ax 的基础解系为：.)1,0,,0,1(,,)0,,0,1,1(T
T
--
所以，,100101
0101
110011⎪⎪⎪⎪⎪
⎪⎭
⎫
⎝
⎛---=
P 与A 相似的对角阵为：
).0,,0,(1 n diag AP P =-
19. 已知4阶矩阵A 的特征值为11=λ(三重)，;32-=λ对应于1λ的特征向量有
,)1,1,1,0(,)0,1,1,1(,)0,0,1,1(321T T T x x x --=--=-=对应于2λ的特征向量为
.)1,1,0,0(4T x -=问：A 可否对角化？如能对角化，求出A 及n A (n 为正整数)。

解：容易验证，321,,x x x 线性无关，所以，可对角化。

令,1100111001110011⎪⎪⎪
⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛------=P 则,10110011110011011
⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫
⎝⎛--------=-P ,304441440010
00
0131
111⎪⎪⎪
⎪
⎪⎭⎫
⎝
⎛---=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-P P A
.)3(0)3(1)3(1)3(11)3(1)3(100100
00131
111⎪⎪⎪⎪
⎪
⎭
⎫
⎝
⎛
--------+--+-=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-n n
n
n n n
n
n P P A
20. 设三阶矩阵A 有二重特征值,1λ如果
T T T T x x x x )1,1,0(,)0,1,1(,)1,0,1(,)1,0,1(4321-==--==都是对应于1λ的特征向量，问A
可否对角化？
解：⎪⎪⎪
⎭
⎫ ⎝⎛-→→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=000011000111101111000111),,,(4321 x x x x
所以，31,x x 线性无关。

又因为剩余的那个特征值是单根，所以A 可对角化。

21. 已知.2223⎪
⎪⎭
⎫
⎝⎛--=A (1) 求k
A A A ,,5
4(k 为正整数)。

(2) 若,1
1)(6
34+-=x x x
x x f 求).(A f 解：(1) 0)1)(2(2
2
2
3
=-+=--+=
-λλλλλA I
所以，特征值为：21-=λ(单根)，12=λ(单根)
⎪
⎪⎭
⎫
⎝⎛-→⎪⎪⎭⎫
⎝⎛--=-002142211A I λ 所以，0)(1=-x A I λ的基础解系为：.)1,2(T
⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛-→→⎪⎪⎭⎫
⎝⎛--=-001212242 A I λ 所以，0)(2=-x A I λ的基础解系为：.)2,1(T
令,122131,21,12211⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛-=∧⎪⎪⎭⎫
⎝⎛=-P P 则：.1
-∧=P P A 所以，,12222243,410
10211
55144⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛--=∧=⎪⎪⎭⎫ ⎝
⎛--=∧=--P P A P P A .)2(2)
2(2)2(2)2(13121121
⎪⎪⎭⎫
⎝⎛------+-+-=∧=+++-k k k k k
k
P P A (2) .320640
6401280)(610⎪⎪⎭
⎫
⎝
⎛--=--=I A A A f 22. 设,20004200003
4004
3⎪⎪⎪⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛-=A 求k A (k 为正整数)。

(提示：按对角块矩阵求k
A .)
解：令,2042,344321⎪
⎪⎭⎫
⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=A A 则,0021⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=A A A 从而，.0021⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛=k k
k A A A .0253
4
4
3
21=-=+---=
-λλλλA I
所以，特征值为：.5,521-==λλ
⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛-→→⎪⎪⎭⎫ ⎝
⎛--=-002184
42
51 A I 所以，0)5(1=-x A I 的基础解系为：.)1,2(T
⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛→→⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=--0012244851 A I 所以，0)5(1=--x A I 的基础解系为：.)2,1(T
-
令,5005,2112
1⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛-=∧⎪⎪⎭⎫ ⎝
⎛-=P 则,
1
111-∧=P P A ⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛---+-+--=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=∧=---------1111111111
11
)5(45)5(2)5(2)5(2)5(2)5()5(42112)5(0
05211251k k k k k k k k k k
k
k
P P A
⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-200220421021 ⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∴-200210212002102120421
⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=∴-k
k k k
k k
k A 20
2422002102112 ⎪⎪⎪⎪
⎪⎭
⎫
⎝⎛---+-+--=∴---------k
k k
k k k k k k k k k
k A 20002420000)5(4)5()5(2)5(200
)5(2)5(2)5()5(4111111111
23. 对5.2节例1的矩阵,A 求正交矩阵,T 使AT T 1
-为对角阵。

解：借助5.2节例1的求解过程，对1x 单位化，对232221,,x x x 构成的线性无关向量组利用施密特正交化方法进行处理，即得所求的正交矩阵为：
.2222,0001212
3216
36
22163612
12
1
636121
⎪⎪
⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝
⎛-
-
-=-AT T T
24. 对下列实对称矩阵,A 求正交矩阵T 和对角矩阵,∧使:1
∧=-AT T
(1) ;324202423⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛ (2) ;110143031⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-- (3) ;122210201⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛-
(4) ;0041001441001400⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫
⎝⎛ (5) .1333313333133331⎪⎪⎪⎪
⎪
⎭
⎫
⎝⎛------------ (1) 解：
)8()1(3
24224
2
32=-+=--------=-λλλλ
λλA I
所以，特征值为：11-=λ(二重根)，82=λ(单根)
⎪⎪⎪
⎭
⎫ ⎝⎛→→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---------=-0000002124242124241 A I λ
所以，0)(1=-x A I λ的基础解系为：T
T x x )1,0,1(,)0,2,1(21-=-=
用施密特正交化方法得：
T
T )45
5,452,454(,)0,52,51(
21-=-=ηη⎪⎪⎪
⎭
⎫ ⎝⎛--→→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛------=-0001201015242824252 A I λ
所以，0)(2=-x A I λ的基础解系为：T
)2,1,2(
单位化得：T
)32,31,32(
所以，.811,03
245
5314525
2324545
1⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=∧⎪⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝
⎛-
-=T (2) , (3), (4), (5)类似(1)可求解。

25. 设A 是n 阶实对称矩阵，且,2
A A =证明存在正交矩阵,T 使得
).0,,0,1,,1,1(1
diag AT T =-
证：设x 是A 的对应于特征值λ的一个特征向量，则：x Ax λ=
2A A = x x A Ax x 2
2λλ===∴
x 为非零向量 2
λλ=∴ 1=∴λ或0
A 为实对称矩阵 ∴存在正交矩阵,T 使得).0,,0,1,,1,1(1
diag AT T =-
*
26. 设n 阶实对称矩阵A 的特征值),,,2,1(0n i i =≥λ证明存在特征值非负的实对称矩阵
B , 使得.2B A =
证：A 为实对称矩阵 ∴存在正交阵T 使得1
21-⎪⎪⎪⎪⎪
⎭
⎫ ⎝⎛=T T A n λλλ
取,1
2
1
-⎪⎪⎪⎪⎪⎭
⎫
⎝
⎛=T T B n λλλ
则B 满足条件。

*
27. 设A 为n 阶实对称幂等矩阵,)(),(2
r A r A A ==试求).2det(I A -
解: r n r A I --=-λλλ)1( (求解过程参考p240例4)
.2)1(2)12()1(2)1()2det(r n n r n r n n A I I A ---=--=--=-∴
补充题
28. 设多项式0011
1,)(λa x a x a x a x f n n n n ++++=-- 是矩阵A 的一个特征值，x 是A 对应
于0λ的特征向量。

证明)(0λf 是)(A f 的特征值，且x 仍是)(A f 对应于)(0λf 的特征向量。

证：x I a A a A a A a x A f n n n n )()(011
1++++=--
x a Ax a x A a x A a n n n n 011
1++++=--
x a x a x a x a n n n n 0011
010++++=--λλλ =x f )(0λ
∴)(0λf 是)(A f 的特征值，且x 仍是)(A f 对应于)(0λf 的特征向量
29. 设,32)(,~3
I A A A f B A -+=证明：).(~)(B f A f
证：B A ~ ∴存在可逆矩阵P 使得B AP P =-1
P B f P P P AP P AP P I B B B f )(32)(32)(1
11313----=-+=-+=
∴).(~)(B f A f
30. 设,)(44⨯=ij a A 已知0是A 的二重特征值，1是A 的(一重)特征值，求矩阵A 的特征多项式).det(A I -λ
解：∑∑=ii
i
a
λ
∴A 的所有特征值为：0(二重根)，1(单根)，
14
1
-∑=i ii
a
(单根)
)1)(1()det(4
1
2
∑=+-
-=-∴i ii
a
A I λλλλ
31. 设n 阶矩阵A 的每行元素之和皆为1，问：能否至少求得A 的一个特征值？
解：设),,,(1n A αα =则：
⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=++1111 n αα 即：⎪⎪⎪⎪
⎪⎭
⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛111111),,(1 n αα
所以，A 的一个特征值为1.
32. 设n λλλ,,,21 是矩阵n n ij a A ⨯=)(的n 个特征值，证明：
∑∑∑====n i n
j ji
ij
n i i
a
a 11
1
2
.λ
证： n λλλ,,,21 是矩阵n n ij a A ⨯=)(的n 个特征值
22221,,,n λλλ ∴是2
A 的n 个特征值
2
1
2A n
i i
=∴
∑=λ
的主对角元之和 =∑∑==n i n
j ji ij a a 11
.
33. 设x BA AB ,=是A 对应于特征值0λ的特征向量，证明：0λV Bx ∈(A 的特征子空间)
证：x Ax BA AB 0,λ==
)()()()()(00Bx x B Ax B x BA x AB Bx A λλ=====∴
0λV Bx ∈∴
34. 证明: 若n 阶矩阵A 有n 个互不相同的特征值，则BA AB =的充要条件是A 的特征向量也是B 的特征向量。

证：(充分性)
不妨设n x x x ,,,21 是A 的n 个线性无关的特征向量(因为，A 有n 个互不相同的特征
值，所以，必可取出这样的n x x x ,,,21 )
A 的特征向量也是
B 的特征向量
∴n x x x ,,,21 也是B 的n 个线性无关的特征向量
令),,,,(21n x x x P =则21
11,∧=∧=--BP P AP P (21,∧∧为对角形矩阵)，则
BAP P ABP P 112211--=∧∧=∧∧=
所以，BA AB =
(必要性)
BA AB = ∴由33题可知：若x 是A 对应于特征值i λ的特征向量，则i V Bx λ∈
A 有n 个互不相同的特征值 i V λ∴是一维的特征子空间
x 为i V λ中的非零向量 ∴存在,i k 使得x k Bx i =即x 也是B 的特征向量。

35. 设B A ,皆为n 阶矩阵，.)(B I -=λλϕ证明：)(A ϕ可逆的充要条件为B 的任一特征值
都不是A 的特征值。

(提示：设),())(()(21n B I λλλλλλλλϕ---=-= 利用μ不是A 的特征值时，
,0≠-I A μ讨论0)(≠A ϕ的充分必要条件。

)
证：设)()()(1n B I λλλλλλϕ--=-= , 则)()()(1I A I A A n λλϕ--=
所以，0)(≠A ϕ的充要条件是n i I A i ,,1,0 =≠-λ即i λ(n i ,,1 =)都不是A 的特征值。

36. 证明反对称实矩阵的特征值是0或纯虚数。

证：设A 为反对称实矩阵，则.A A T
-= 设x 是A 对应于特征值λ的一特征向量，即.x Ax λ=
x x Ax x x A x x A x x Ax T
T T T T T T λ-=-===)()(
x x x x x Ax T
T T λλ==)()(
0>x x T
λλ-=∴
λ∴是0或纯虚数
37. 已知n
R 中两个非零的正交向量).,,,(),,,,(2121n n b b b a a a ==βα
证明：矩阵βαT
A =的特征值全为0，且A 不可对角化。

证：βα, 为两个非零正交实向量 0=∴T
βα
0)(2===ββααββααT
T T T A
2
A ∴的特征值全为0
若λ为A 的特征值，则2λ为2
A 的特征值
A ∴的特征值全为0
1)(=A r 0=-∴Ax 的基础解系中含n n <-1个向量
A ∴不可对角化
38. 设,),,,(21n n R a a a ∈= α且),,,2,1(0n i a i =≠试求矩阵ααT
A =的特征值，并求
可逆矩阵,P 使AP P 1-成对角形。

解：1)(=A r ∴0是A 的特征值且是A 的特征方程的1-n 重根。

A 的所有特征值之和等于其主对角元之和
∑=∴
n
i i
a
1
2是A 的特征方程的单根
A a
A n
i i
∑==
1
22
0)(
1
2=-∴∑=A A I a
n
i i
A ∴的每列向量都是0)(
1
2=-∑=x A I a n
i i 的解
),,,2,1(0n i a i =≠
∴可取T
n a a a ),,,(21 为0)(
1
2=-∑=x A I a n
i i 的一个基础解系
⎪⎪
⎪
⎪
⎪
⎭
⎫
⎝⎛→→⎪⎪⎪⎭⎫
⎝⎛=000000
2122
1
12121
n n n n n a a a a a a a a a a a a a A
0=-∴Ax 的一个基础解系为：T n T a a a a ),0,,0,(,,)0,,0,,(112--
∴可取.0
0112
21
⎪⎪
⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛--=a a a a
a a a P n
n 39. 已知⎪⎪⎪
⎭
⎫
⎝⎛---=2135
212b a A 的一个特征向量.)1,1,1(T -=ξ (1) 确定b a ,及ξ对应的特征值；(2) A 能否相似于对角矩阵？说明理由。

解：(1)由0)(=-ξλA I 求解得：.0,3,1=-=-=b a λ
(2) 0)1(3=+=-λλA I ∴特征值为：11-=λ(三重根)
2)(=--A I r ∴11-=λ只有一个线性无关的特征向量
∴A 不能与对角矩阵相似
40. 设,01351⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛---=a c b c a
A 已知,1=A 且*A 有一特征值，0λ其特征向量,
)1,1,1(T
x --=试求c b a ,,及.0λ
解：0,1λ=A 是*A 的一特征值，T
x )1,1,1(--=是对应的一特征向量
x Ax 0
1
λ=
∴
由0)1
(
=-x A I λ及,1=A 可得到.3,4,10-===-=b c a λ
41. 设,5334111⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛---=y x A 已知A 有3个线性无关的特征向量，且21=λ是其二重特征值，
求,P 使∧=-AP P 1
(对角矩阵)。

解： A 有3个线性无关的特征向量 A ∴可对角化
∴属于21=λ的线性无关的特征向量有两个 1)(1=-∴A I r λ
2,2-==∴y x
设另一特征值为,2λ则541222++=++λ
62=∴λ
⎪⎪⎪
⎭
⎫
⎝⎛-→→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=-0000001113332221111 A I λ
0)(1=-∴x A I λ的一基础解系为：T
T )1,0,1(,)0,1,1(-
⎪⎪⎪
⎭
⎫ ⎝⎛--→→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=-00023
01111332221152 A I λ 0)(2=-∴x A I λ的一基础解系为：T
)3,2,1(-
∴可取,310201111⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=P 则⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛=∧=-6000200021AP P
42. 设T n T n b b b a a a ),,,(,),,,(2121 ==βα均为非零向量，已知.,0T T A αββα==试
求：(1) ;2
A (2) A 的特征值与特征向量。

解：(1) 0=βαT 0)(==∴T
T T βααβ 0)(2===∴T T T T A βαβααβαβ (2) 0=A ∴0是A 的特征值
⎪⎪⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛→→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=000000211111 n n n n n b b b b a b a b a b a A 0=∴Ax 的一基础解系为：
.),0,,0,(,,)0,,0,,0,(,)0,,0,,(11132121T n n T T b b x b b x b b x -=-=-=- ∴0至少是1-n 重特征值。

设另一特征值为,λ则：
00011=++=+++n n b a b a λ
0=∴λ
∴0是A 的特征方程的n 重根。

A ∴的特征值为0. 特征向量为：
T n n T T b b k b b k b b k ),0,,0,()0,,0,,0,()0,,0,,(11132121-++-+-- (n k k k ,,,21 为不全为零的任意常数)。

下列43~46题为选择题。

43. 已知n 2,,6,4,2 是n 阶矩阵A 的n 个特征值，则行列式).(3C I A =-
;3!2)(n n A -⋅ );32(531!)!32)((-⋅⋅⋅⋅=-n n B ;!)!32()(--n C
).32(975)(+⋅⋅⋅⋅n D 解：!)!32()23()43)(23()1(3)1(3--=----=--=-n n A I I A n n
44. 已知n 阶矩阵A 的行列式1,0λ≠A 为A 的一个特征值，则E A +*2
)((E 为单位矩阵)必有特征值).(B ;1))((21+A A λ ;1))((21+λA
B ;)1)((21A
C λ+ .)1)((21λA
D +
45. 若B A ,均为n 阶矩阵，且,~B A 则).(D
;)(B E A E A -=-λλ )(B A 与B 有相同的特征值和特征向量;
;~)(2B AB C )(D 对于任意常数,t 均有.~B tE A tE --
46. 已知⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=x A 10100002与⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛-=10000002y B 相似，则).(A
;1,0)(==y x A ;1,0)(-==x y B ;0)(==y x C .1)(==y x D 解：相似矩阵有相同的特征值。

由特征值的性质有：.;1202B A y x =-+=++。