高一立体几何总复习超经典

1．若某几何体三视图（单位：cm）如图所示，则此几何体的体积等于
A. 18
B. 21
C.4
D.28
2．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）
A. 16+8π
B. 8+8π
C. 16+16π
D. 8+16π
6．一个多面体的三视图如图所示，则该多面体的体积为（）
A．B．C．6D．7
7．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的各条棱中，最长的棱的长度为（）
A．6B．6C．4D．4
8．已知一个棱长为2的正方体，被一个平面截后所得几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（）
A．8B．C．D．
9．若某几何体的三视图（单位：cm）如图所示，则该几何体的体积等于（）
A．10cm3B．20cm3C．30cm3D．40cm3
10．如图是某几何体的三视图，则该几何体的体积为（）
A．1B．C．D．
11．一个直棱柱被一个平面截去一部分后所剩几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为
A．9B．10C．11D．
12．某四面体的三视图如图所示，正视图、侧视图、俯视图都是边长为1的正方形，则此四面体的外接球的体积为
A．B．3πC．D．π
13．已知一个几何体的三视图及有关数据如图所示，则该几何体的体积为（）
A．2B．C．D．
14．一四面体的三视图如图所示，则该四面体四个面中最大的面积是（）
A．2B．C．D．
15．已知以下三视图中有三个同时表示某一个三棱锥，则不是该三棱锥的三视图是（）A．
B．C．D．
17．一个棱锥的三视图如图所示，则该棱锥的体积为（）
A．28B．24C．72D．36 19．如图所示是一个几何体的三视图，则这个几何体外接球的表面积为（）
A．8πB．12πC．16πD．48π
20．已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）
21．若某几何体的三视图（单位：cm）如图所示，其中左视图是一个边长为2的正三角形，则这个几何体的体积是
A．2cm2B．cm3C．3cm3D．3cm3
22．某四面体的三视图如图所示．该四面体的六条棱的长度中，最大的是（）
A. 2
B. 2
C. 2
D.
21．棱长都为的四面体的四个顶点在同一球面上，则此球的表面积为（）
A．3πB．4πC．3D．6π
22．点A、B、C、D在同一球面上，AB=BC=，AC=2，若四面体ABCD的体积的最大值为，则这个球的表面积为（）
A．B．8πC．D．
23．如图，已知长方体ABCD﹣A1B1C1D1的体积为6，∠C1BC的正切值为，当AB+AD+AA1的值最小时，长方体ABCD﹣A1B1C1D1外接球的表面积（）
A．10πB．12πC．14πD．16π
24．一个三棱锥的三视图如图所示，其中正视图和侧视图是全等的等腰三角形，则此
三棱锥外接球的表面积为（）
A．B．9πC．4πD．π
25．三棱锥A﹣BCD中，AD⊥平面BCD，AD=1，△BCD是边长为2的等边三角形，则该几何体外接球的表面积为（）
A．B．C．D．
26．如图，在△ABC中，AB=BC=，∠ABC=90°，点D为AC的中点，将△ABD沿BD折起到△PBD的位置，使PC=PD，连接PC，得到三棱锥P﹣BCD，若该三棱锥的所有顶点都在同一球面上，则该球的表面积是（）
A．πB．3πC．5πD．7π
27．三棱锥S﹣ABC及其三视图中的正视图和侧视图如图所示，则该三棱锥S﹣ABC的外接球的
表面积为（）
A．32πB．C．D．π
28．已知三棱锥A ﹣BCD 的四个顶点A 、B 、C 、D 都在球O 的表面上，AC ⊥平面BCD ，BC ⊥CD ，且AC=，BC=2，CD=，则球O 的表面积为（ ）
A ．12π
B ．7π
C ．9π
D ．8π
例3. 在底面边长为2的正方体容器中，放入大球，再放入一个小球，正好可以盖住盖子（小球与大球都与盖子相切）， 求小球的半径。

（4）球的外接与内切问题
例5. 求边长为1的正四面体的外接球的表面积和内切球的体积。

练习：1. 求底面边长为1，侧棱长为2的正三棱锥的外接球的体积和内切球的表面积。

2. 三棱锥O-ABC 的三条侧棱两两垂直，且长度分别为3,4,4 ； 求它的外接球和内切球的半径。

1. 半径为R 的球“紧贴”在墙角处，则球心到墙角顶点的距离为 （ ） A. R B. R 2 C. R 3 D 。

R 2
一．选择题（共21小题）
1．已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1，则过点A与AB、BC、CC1所成角均相等的直线有（）A．1条 B．2条 C．4条 D．无数条
2．如图，平面PAB⊥平面α，AB⊂α，且△PAB为正三角形，点D是平面α内的动点，ABCD 是菱形，点O为AB中点，AC与OD交于点Q，I⊂α，且l⊥AB，则PQ与I所成角的正切值的最小值为（）
A．B．C．D．3
3．如图，点E为正方形ABCD边CD上异于点C，D的动点，将△ADE沿AE翻折成△SAE，使得平面SAE⊥平面ABCE，则下列说法中正确的有（）
①存在点E使得直线SA⊥平面SBC；
②平面SBC内存在直线与SA平行
③平面ABCE内存在直线与平面SAE平行；
④存在点E使得SE⊥BA．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
4．设三棱柱ABC﹣A1B1C1的侧棱与底面垂直，∠BCA=90°，BC=CA=2，若该棱柱的所有顶点都在体积为的球面上，则直线B1C与直线AC1所成角的余弦值为（）A．B．C．D．
5．已知异面直线a与b所成的角为50°，P为空间一点，则过点P与a、b所成的角都是300的直线有且仅有（）
A．1条 B．2条 C．3条 D．4条
6．已知矩形ABCD，AB=1，BC=．将△ABD沿矩形的对角线BD所在的直线进行翻折，在翻折过程中（）
A．存在某个位置，使得直线AC与直线BD垂直
B．存在某个位置，使得直线AB与直线CD垂直
C．存在某个位置，使得直线AD与直线BC垂直
7．在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E，F分别为棱AA1，CC1的中点，则在空间中与三条直线A1D1，EF，CD都相交的直线（）
A．不存在B．有且只有两条C．有且只有三条D．有无数条
8．正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，M，N，Q分别是棱D1C1，A1D1，BC的中点，点P在对角线BD1上，给出以下命题：
①当P在BD1上运动时，恒有MN∥面APC；
②若A，P，M三点共线，则=；
③若=，则C1Q∥面APC；
④若过点P且与正方体的十二条棱所成的角都相等的直线有m条；过点P且与直线AB1和A1C1所成的角都为60°的直线有n条，则m+n=7．
其中正确命题的个数为（）
A．1 B．2 C．3 D．4
9．如图，四面体OABC的三条棱OA，OB，OC两两垂直，OA=OB=2，OC=3，D为四面体OABC 外一点．给出下列命题．
①不存在点D，使四面体ABCD有三个面是直角三角形
②不存在点D，使四面体ABCD是正三棱锥
③存在点D，使CD与AB垂直并且相等
④存在无数个点D，使点O在四面体ABCD的外接球面上
其中真命题的序号是（）
A．①②B．②③C．③D．③④
10．如图，在平行四边形ABCD中，AB=a，BC=1，∠BAD=60°，E为线段CD（端点C、D除外）上一动点，将△ADE沿直线AE翻折，在翻折过程中，若存在某个位置使得直线AD与BC垂直，则a的取值范围是（）
A．（，+∞） B．（，+∞） C．（+1，+∞）D．（+1，+∞）
二．填空题（共9小题）
22．如图，已知平面四边形ABCD，AB=BC=3，CD=1，AD=，∠ADC=90°，沿直线AC将△ACD 翻折成△ACD′，直线AC与BD′所成角的余弦的最大值是．
23．三棱柱ABC﹣A1B1C1中，底面边长和侧棱长都相等，∠BAA1=∠CAA1=60°，则异面直线AB1与BC1所成角的余弦值为．
24．如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1，则下列四个命题：
①P在直线BC1上运动时，三棱锥A﹣D1PC的体积不变；
②P在直线BC1上运动时，直线AP与平面ACD1所成角的大小不变；
③P在直线BC1上运动时，二面角P﹣AD1﹣C的大小不变；
④M是平面A1B1C1D1上到点D和C1距离相等的点，则M点的轨迹是过D1点的直线，其中真命题的编号是．（写出所有真命题的编号）
立体几何中的向量方法
1．空间向量的坐标表示及运算
(1)数量积的坐标运算
设a ＝(a 1，a 2，a 3)，b ＝(b 1，b 2，b 3)，
则①a ±b ＝(a 1±b 1，a 2±b 2，a 3±b 3)；
②λa ＝(λa 1，λa 2，λa 3)；
③a ·b ＝a 1b 1＋a 2b 2＋a 3b 3.
(2)共线与垂直的坐标表示
设a ＝(a 1，a 2，a 3)，b ＝(b 1，b 2，b 3)，
则a ∥b ⇔a ＝λb ⇔a 1＝λb 1，a 2＝λb 2，a 3＝λb 3(λ∈R )，
a ⊥
b ⇔a·b ＝0⇔a 1b 1＋a 2b 2＋a 3b 3＝0(a ，b 均为非零向量)．
(3)模、夹角和距离公式
设a ＝(a 1，a 2，a 3)，b ＝(b 1，b 2，b 3)，
则|a |＝a·a ＝a 21＋a 22＋a 23，
cos 〈a ，b 〉＝a·b |a||b|＝a 1b 1＋a 2b 2＋a 3b 3a 21＋a 22＋a 23·b 21＋b 22＋b 23
. 设A (a 1，b 1，c 1)，B (a 2，b 2，c 2)，
则d AB ＝|AB →|＝a 2－a 12＋b 2－b 12＋c 2－c 12.
2．立体几何中的向量方法
(1)直线的方向向量与平面的法向量的确定
①直线的方向向量：l 是空间一直线，A ，B 是直线l 上任意两点，则称AB →为直线l 的方向向量，与AB →平行的
任意非零向量也是直线l 的方向向量．
②平面的法向量可利用方程组求出：设a ，b 是平面α内两不共线向量，n 为平面α的法向量，则求法向
量的方程组为⎩⎪⎨⎪⎧ n·a ＝0，n·b ＝0.
(2)用向量证明空间中的平行关系
①设直线l 1和l 2的方向向量分别为v 1和v 2，则l 1∥l 2(或l 1与l 2重合)⇔v 1∥v 2.
②设直线l 的方向向量为v ，与平面α共面的两个不共线向量v 1和v 2，则l ∥α或l ⊂α⇔存在两个实数x ，y ，使v ＝x v 1＋y v 2.
③设直线l 的方向向量为v ，平面α的法向量为u ，则l ∥α或l ⊂α⇔v ⊥u .
④设平面α和β的法向量分别为u 1，u 2，则α∥β⇔u 1∥u 2.
(3)用向量证明空间中的垂直关系
①设直线l 1和l 2的方向向量分别为v 1和v 2，则l 1⊥l 2⇔v 1⊥v 2⇔v 1·v 2＝0.
②设直线l 的方向向量为v ，平面α的法向量为u ，则l ⊥α⇔v∥u .
③设平面α和β的法向量分别为u 1和u 2，则α⊥β⇔u 1⊥u 2⇔u 1·u 2＝0.
1、点面距的求法
如图，设AB 为平面α的一条斜线段，n 为平面α的法向量，则B 到平面α的距离d ＝|AB →·n |
|n |
.
2、异面直线间的距离
d =
(12,l l 是两异面直线，其公垂向量为n ，C D 、分别是12,l l 上任一点，d 为12,l l 间
的距离). 3、直线
AB 与平面所成角sin
||||
AB m
arc AB m β⋅=(m 为平面α的法向量).
4、利用法向量求二面角的平面角定理：设21,n n 分别是二面角βα--l 中平面βα,的法向量，则21,n n 所成的角就是所求二面角的平面角或其补角大小（21,n n 方向相同，则为补角，21,n n 反方，则为其夹角）.
二面角l α
β--的平面角cos
||||m n arc m n θ⋅=或cos ||||
m n
arc m n π⋅-（m ，n 为平面α，β的法向量）.
三种成角
(1)异面直线所成的角的范围是⎝ ⎛⎦⎥⎤0，π2； (2)直线与平面所成角的范围是⎣
⎢⎡⎥⎤0，π2； (3)二面角的范围是[0，π]． 易误警示
利用平面的法向量求二面角的大小时，当求出两半平面α、β的法向量n 1，n 2时，要根据向量坐标在图形中观察法向量的方向，从而确定二面角与向量n 1，n 2的夹角是相等，还
是互补，这是利用向量求二面角的难点、易错点．
双基自测
1．如果平面的一条斜线与它在这个平面上的射影的方向向量分别是a ＝(1,0,1)，b ＝(0,1,1)，那么，这条斜线与平面所成的角是( )． A ．90° B．30° C．45° D．60°
2．(人教A 版教材习题改编)已知两平面的法向量分别为m ＝(0,1,0)，n ＝(0,1,1)，则两平面所成的二面角的大小为( )． A ．45° B ．135° C ．45°或135°
D ．90°
3．(2011·德州月考)已知向量m ，n 分别是直线l 和平面α的方向向量、法向量，若cos 〈m ，n 〉＝－1
2，
则l 与α所成的角为( )．
A ．30° B．60° C．120° D．150°
4．在如图所示的正方体A 1B 1C 1D 1­ABCD 中，E 是C 1D 1的中点，则异面直线DE 与AC 夹角的余弦值为( )． A ．－1010
B ．－120
C.120
D.1010
5．如图所示，在三棱柱ABC ­A 1B 1C 1中，AA 1⊥底面ABC ，AB ＝BC ＝AA 1，∠ABC ＝90°，点E 、F 分别是棱AB 、
BB 1的中点，则直线EF 和BC 1所成的角是________．
考向一求异面直线所成的角
【例1】►(2011·上海高考改编)已知ABCD­A1B1C1D1是底面边长为1的正四棱柱，高AA1＝2，求
(1)异面直线BD与AB1所成角的余弦值；
(2)四面体AB1D1C的体积．
【训练1】(2011·全国高考)已知正方体ABCD­A1B1C1D1中，E为C1D1的中点，则异面直线AE与BC所成角的余弦值为________．
考向二利用向量求直线与平面所成的角
【例2】►如图所示，已知点P在正方体ABCD­A′B′C′D′的对角线BD′上，∠PDA＝60°.
(1)求DP与CC′所成角的大小；
(2)求DP与平面AA′D′D所成角的大小．
【训练2】 (2010·辽宁)已知三棱锥P ­ABC 中，PA ⊥平面ABC ，AB ⊥AC ，PA ＝AC ＝1
2AB ，N 为AB 上一点，AB
＝4AN ，M ，S 分别为PB ，BC 的中点． (1)证明：CM ⊥SN ；
(2)求SN 与平面CMN 所成角的大小．
考向三 利用向量求二面角
【例3】►(2011·全国新课标)如图，四棱锥P ­ABCD 中，底面ABCD 为平行四边形，∠DAB ＝60°，AB ＝2AD ，
PD ⊥底面ABCD .
(1)证明：PA ⊥BD ；
(2)若PD ＝AD ，求二面角A ­PB ­C 的余弦值．
【训练3】如图，在四棱锥P­ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，AP＝AB＝2，BC＝22，E，F 分别是AD，PC的中点．
(1)证明：PC⊥平面BEF；
(2)求平面BEF与平面BAP夹角的大小．
１．如图，正三棱柱ABC—A1B1C1中，D是BC的中点，AA1=AB=1.
（I）求证：A1C//平面AB1D；
（II）求二面角B—AB1—D的大小；
（III）求点c到平面AB1D的距离.
（立体几何）
1．（2013浙江（理））如图,在四面体BCD A -中,⊥AD 平面BCD ,22
,2,==⊥BD AD CD BC .M 是AD
的中点,P 是BM 的中点,点Q 在线段AC
上,且
QC AQ 3=.
(1)证明://PQ 平面BCD ; (2)若二面角D BM C
--的大小为060,求BDC ∠的大小.
2、四棱锥中，中，,为的中点. (1)求的长; (2)求二面角的正弦值.
P ABCD -
PA ABCD ⊥底面AF PB ⊥2,4,3
BC CD AC ACB ACD π
===∠=∠=
F
PC PA B AF D -
-。