六年级上册数学.8 数学广角——数与形第2课时 数与形(2)

第2课时数与形（
2）
▶教学内容
教科书P107例2，完成教科书P110~111“练习二十二”中第4～8*题。

▶教学目标
1.在学习过程中引导学生探索研究数与形之间的联系，寻找规律，发现规律，学会利用图形来解决一些有关数的问题。

2.让学生经历猜想与验证的过程，体会数形结合、归纳推理、极限等基本数学思想。

▶教学重点
探索数与形之间的联系，寻找规律，并利用图形来解决有关数的问题。

▶教学难点
让学生经历探索规律及验证规律的过程。

▶教学准备
课件。

▶教学过程
一、直接导入，揭示课题
师：同学们，上节课我们探究了图形中隐藏的数的规律，今天我们继续研究有关数与图形之间的联系。

［板书课题：数与形（2）］
【设计意图】直奔主题，简洁明了，有利于学生清楚本节课学习的内容和方向。

二、探索发现，学习新知
1.教师与学生比赛算题。

师：上节课计算竞赛，老师赢了，本节课，我还想跟你们比赛，你们还敢挑战吗？（敢！）
师：你们知道1
2
+
1
4
等于多少吗？(
3
4
)那
1
2
+
1
4
+
1
8
等于多少呢？
学生尝试计算，教师直接给出答案7
8。

师：只要按照这个分子是1，分母依次扩大到2倍的规律写下去，不管有多少个分数相加，我都能立马算出结果。

师：有的同学不相信是吗？咱们试试就知道。

为了方便，我请我们班计算最快的同学跟我一起算，看看结果是否相同。

谁来出题？
学生出题，师生竞赛。

【学情预设】学生会按照以上算式中的规律，出以下题：
在学生出题后，教师都能立刻算出结果，并且是正确的，学生感到很惊奇。

【教学提示】
也会有聪明的学生能迅速发现规律，很快得出结果。

这个时候教师就要转换角色，问问学生为什么算这么快。

师：知道我为什么算得那么快吗？因为我有一件神秘的法宝，你们想知道吗？
【设计意图】一方面，教师通过与学生比赛计算速度，且每次教师胜利，使学生产
生好奇心，再通过幽默的语言，吸引学生的注意力，激发学生的学习兴趣和求知欲；另
一方面，为接下来学习例题做好铺垫。

2.借助正方形探究计算方法。

教师边说边用课件出示一个正方形。

师：让我们来把这个正方形变一变，聪明的同学们一定能看明白是怎么回事了。

（1）进行演示讲解。

①演示
1
2
+
1
4。

师：用一个正方形表示“1”，先取它的一半就是正方形的
1
2
（涂红），再取剩下
部分的一半就是正方形的
1
4
（涂黄）。

师：想一想，正方形中表示
1
2
+
1
4
的涂色部分与空白部分和整个正方形之间有什么
关系呢？（涂色部分等于“1”减去空白部分）空白部分占正方形的几分之几？（
1
4
）
那么涂色部分还可以怎么算呢？（1-
1
4
）也就是说
1
2
+
1
4
=1-
1
4。

②继续演示
1
2
+
1
4
+
1
8。

师：谁知道除了通分，还可以怎么算？
根据学生回答，板书
1
2
+
1
4
+
1
8
=1-
1
8。

【教学提示】
课件演示时，开
始慢一点，等学生理
解后可以加速。

③演示
1
2
+
1
4
+
1
8
+
1
16。

师：那么计算
1
2
+
1
4
+
1
8
+
1
16
就可以得到什么？
1
2
+
1
4
+
1
8
+
1
16
=1-
1
16
（2）初步发现规律。

师：看到这儿，你发现什么规律了吗？
【学情预设】学生发现，从
1
2
开始，后面分数的分母依次是前一个分数分母的2
倍，把这些分数加起来，和等于1减去最后一个分数。

(3)总结规律。

师小结：按照这样的规律往下加，不管加到几分之一，只要用1减去这个几分之一
就可以得到答案了。

师：这个法宝怎么样？谁来说说它好在哪里？你学会了吗？
(4)尝试练习。

课件出示习题。

【设计意图】将复杂的数量运算转化为简单的图形面积计算，转繁为简，化难为易，
引导学生探索数与图形的联系，让学生体会到数形结合、归纳推理的数学思想方法。

3.知识提升，探索发现。

(1)感受极限思想。

课件出示教科书P107例2。

【教学提示】
学生尝试练习课
件呈现的算式，口答
就行。

适时追问怎么
算的，促进学生运用
规律。

师：刚才我们已经从
12一直加到了116384，如果我继续加，加到1131072
，得数等于多少？(113310711072)再接着加，一直加到12097152，得数等于多少？(2097151
2097152
)随着
不断继续加，你发现得数越来越大，无数个这样的数相加，和会是多少呢？这时候你心中有没有一个大胆的猜想？
【学情预设】猜想：这样一直加下去，得数会不会就等于1了？
师：想象一下，如果我们在刚才加的过程中在正方形上不断涂色，那空白部分的面积会发生怎样的变化？涂色部分的面积呢？
【学情预设】空白部分的面积会越来越小，涂色部分的面积会越来越大。

师：一直往下加，和的得数越来越接近什么数？最终得数是1吗？你有什么方法来验证？
【学情预设】学生提出用圆和线段来帮助验证，若没有学生提出，教师自己提出。

(2)利用线段图直观感受相加之和等于“1”。

师：教科书上有两幅图，我们一起来看看。

（出示课件）
师：你能看懂这两幅图的意思吗？请你想一想，然后告诉大家你的想法。

【学情预设】学生会推导出：这些分数不断加下去，总和就是1。

师：他们的想法对吗？
【学情预设】同学们利用直观图，并结合算式，看出了
12+14+18+116+132+1
64
+…的值越来越接近1。

其实，当次数趋于无限时，这些分数的和就是1。

教师根据学生的回答进行板书。

【设计意图】利用数与形的结合，让学生直观体会极限的数学思想，并让学生经历猜想得数等于“1”，到数形结合证明得数等于“1”的过程，激发学生的学习兴趣，培养学生探索新知的精神。

4.迁移提升。

（1）交流感受。

师：对于这种借用图形来帮助我们解决问题的方法，你有什么感受？
【学情预设】“数”与“形”有着紧密的联系，在一定条件下可以相互转化。

当用数形结合的方法解决问题时，会发现许多难题的解决变得很简单。

（2）举一反三。

【教学提示】
“无限”的概念非常抽象，学生不易
理解。

演示时，引导学生边观察，边想象。

师：其实在以前的学习中，我们也常用到数形结合的数学方法帮助我们解题，你能想到哪些例子吗？
【学情预设】学生可能有困难，教师举例：一年级加法，分数的认识，复杂的路程问题，线段图等。

（出示课件）
师：这些都是数形结合的方法。

【设计意图】让学生体会“数形结合”是数学学习中常用的方法。

三、巩固练习,综合应用
1.课件展示教科书P110“练习二十二”第4题。

（1）学生小组合作，研讨解答。

【学情预设】本题渗透着比例思想，对于学生来说，有一定的难度，教师要适当提示。

（2）展示交流。

师：这道题跟我们以前学习的行程问题相同吗？需要知道速度和时间吗？
引导学生发现狗的速度是人的速度的2倍，用比例的知识解答。

2.课件展示教科书P110“练习二十二”第5题。

（1）学生仔细读图，尝试解答。

（2）展示交流。

师：这几个图中哪个是描述妈妈的行程的？你是怎么知道的？
【学情预设】学生可能根据整幅图进行判断，也可能只根据其中的一段进行判断。

3.课件展示教科书P111“练习二十二”第6题。

（1）全班读题，学生独立思考，尝试解答。

（2）指名回答，要求学生说出解题思路。

（3）根据学生回答情况，连线（课件动态演示）。

（4）结合连线图得出：小刚一共下了2盘，分别和小林、小强下的。

【设计意图】让学生进一步体会数形结合的直观性和变难为易的特点。

【教学提示】
先让学生说说以前用到的数形结合，再课件呈现。

如果学生一下子说不出来，给时间学生讨论一下。

【教学提示】
此题更多的是数学思考，首先要让学生自主发现问题中的关键点，再让学生交流，在交流过程中感悟比例思想。

4.课件展示教科书P111“练习二十二”第7题。

（1）学生独立在教科书上接着写。

（2）全班交流，集体订正。

5.课件展示教科书P111“练习二十二”第8*题。

（1）学生看图思考。

（2）师生交流。

师：（a＋b）2＝a2＋2ab＋b2吗？说说你是怎么知道的。

【学情预设】学生会说这个大正方形的面积有两种不同的算法，两种算法的结果是相等的。

四、课堂小结
师：这节课你们有什么收获？
师小结：在解决数学问题时，常用数与形结合的方式来思考，这样既利用了形的直观，又利用了数的细微。

因此，数与形有着十分密切的联系。

我们在今后解决数学问题时，要合理地把数与形结合起来考虑。

▶板书设计
数与形（2）
1 2+
1
4
+
1
8
+
1
16
+
1
32
+
1
64
+…=1
▶教学反思
本节课学生对于1
2
+
1
4
+
1
8
+
1
16
+
1
32
+
1
64
+…这个算式的结果等于1不好理解，学生
一直争论“它只是越来越接近1，结果离1还是有那么一点点距离。

”于是教师通过课件演示，出示一个圆和一条线段，根据分数的意义表示出这些分数，使学生直观地看到最终的结果是“1”，另外还有反推的方法。

但这个结果是教师强加给学生的，还有些学生不是很理解。

由此也可以看出，小学生对于“极限”思想还是难以接受，还需要进一步渗透。

▶作业设计
见“状元成才路”系列丛书《创优作业100分》对应课时作业P65第二题。

二、六（1）班同学从学校出发，乘车0.5小时，来到离学校6km远的科技馆，参观1小时，出馆后休息0.5小时，然后乘车0.5小时返回学校。

下面四幅图中，第( )幅描述了六（1）班同学的这一活动行程。

(填序号)
参考答案
二、③
知识技能（72分）
一、我会填。

（每空1分，共28分）
1.修一条长9km的公路，如果12天修完，平均每天修全长的（），平均每天修（）km。

2.（）的是27；60kg是（）kg的；300t比（）t少。

3.（）没有倒数；（）的倒数是它本身；1.5的倒数是（）。

4.（）∶7= =9÷（）=
5.一项工程，甲队独做要10天完成，乙队独做要15天完成。

甲、乙两队工作效率的比是（）。

如果两队合做，（）天就能完成工程的。

6.下图中空白部分的面积与阴影部分的面积之比是（）。

7.在里填上“>”“<”或“=”。

8.如果路路家在学校西偏南40°方向上，距离是300m，那么学校在路路家（）偏（）（）°方向m处。

9.某县今年出生的男、女婴人数比是5∶4，男婴的出生人数是女婴的，女婴的出生人数占出生总人数的。

已知这个县今年出生的女婴比男婴少820人，那么这个县今年出生的婴儿一共有（）名。

10.有一根长 m的绳子，第一次截下它的，还剩m；第二次又截下 m，最后还剩下（）m。

11.五年级同学收集了165个易拉罐，六年级同学比五年级同学多收集了，五年级同学比四年级同学少收集了。

六年级同学收集了个易拉罐，四年级同学收集了（）个易拉罐。

二、我会判。

（对的画“√”，错的画“×”）（每题1分，共5分）
1.一个数除以真分数，商一定比这个数大。

（）
2.25g食盐溶解到100g水里，食盐占盐水的。

（）
3.甲数比乙数多，则乙数比甲数少。

（）
4. m∶2cm化简后是40∶1。

（）
5.羽毛球队的人数增加后，再减少，现在的人数和原来的人数相等。

（）
三、我会选。

（将正确答案的序号填在括号里）（每题1分，共5分）
1.下列各数量关系中，把甲看作单位“1”的是（）。

A.乙的等于甲
B.甲的等于乙
C.甲是乙的
2.一条公路，甲走了全长的，再走6km到达公路的中点，这条公路长（）km。

A.9
B.18
C.36
3.一架飞机从某机场向南偏东40°方向飞行1500km，原路返回时这架飞机要向（）方向飞行1500km。

A.南偏西40°
B.东偏南40°
C.北偏西40°
4.一辆汽车小时行驶30km。

照这样的速度，这辆汽车小时能行驶（）km。

A.54
B.90
C.150
5.甲、乙、丙三人赛跑，甲比乙快，乙比丙慢，甲、乙、丙的速度比是（）。

A.4∶1∶4
B.5∶4∶3
C.15∶12∶16
四、我会算。

（共26分）
1.直接写得数。

（4分）
2.化简下列各比，并求出比值。

（4分）
3.下面各题怎样算简便就怎样算。

（12分）
4.解方程。

（6分）
五、我会做。

（共8分）
1.根据下图填一填：小玲从家出发往（）偏（）（）°方向走600m 到达书店，再往（）偏（）45°方向走（）m到达电影院。

小明从公园出发，往（）偏（）（）°方向走（）m到达电影院。

（5分）
2. 博物馆在书店西偏北30°方向400m处，请在图中画出博物馆的
生活应用（28分）
六、解决问题。

（共28分）
2.一个等腰三角形的顶角与一个底角的度数之比是1∶2，这个三角形的顶角是多少度？（5分）
3.首阳水果店运进的香梨比苹果少8筐，运进的香梨筐数是苹果的。

首阳水果店运进香梨和苹果各多少筐？（6分）
4.一款电视机原来每台售价3800元，第一次降价后，第二次在第一次降价的基础上又降价。

现在该款电视机每台的售价是多少元？（5分）
5.一项工程，甲队单独做5天可完成，乙队单独做4天可完成。

甲队工作1天后乙队才开始工作，甲、乙两队合做还需要多少天完成？（6分）
甲、乙两人各走了一段路，甲走的路程比乙少，乙用的时间比甲多。

甲、乙两人的速度比是多少？（10分）。