【教案】用平均数,众数和中位数分析数据集中趋势

用平均数，众数和中位数分析数据集中趋势
【本讲教育信息】
一、教学内容：
用平均数、中位数、众数来判断数据的集中趋势
二、教学重点、难点
重点：平均数、加权平均数、中位数、众数的概念。

难点：用平均数、中位数、众数来比较两组数据的集中趋势。

具体教学内容
1、平均数
一般地，如果有n个数据 x1, x2, x3…x n，那么就是这组数据的算术平均数。

用表示，读作“x拔”。

即：
2、加权平均数
一般地，如果在n个数据中，x1出现f1次，x2出现f2次，…x k出现f k次（这里f1+f2+…+f k=n），那么根据算术平均数公式，这n个数据的平均数可以表示为：在这个公式中，f1, f2,…f k分别表示数据x1, x2,…,x k出现的次数，或者表示x1,
x2,…, x k在总结果中的比重，称其为各数据的权（或权重），叫做这几个数据的加权平均数。

3、中位数
将一组数据按大小顺序依次排列后，位于正中间的一个数据或正中间两个数据的平均数叫做这组数据的中位数。

注：一组数据按大小顺序排列为x1, x2, x3, …, x n, 则当n为奇数时，中位数为第个数；
当n为偶数时，中位数为第个数和第个数的平均数。

4、众数
在一组数据中，出现次数最多的数据叫做这组数据的众数。

注：如果一组数据中有两个数据出现次数相同并且都是最大，那么这两个数据都是这组数据的众数。

当一组数据有较多数据并且互不重复时，那么这组数据没有众数。

5、数据的集中趋势的代表
为了描述一组数据的集中趋势，可以用平均数、中位数和众数来代表，这三个统计量各有特点。

（1）平均数的大小与一组数据里每一个数据均有关系，其中任何数据的变动都会相应引起平均数的变动。

（2）中位数仅与数据的排列位置有关，即当一组数据按从小到大（或从大到小）的顺序排列，最中间的数据即为中位数。

因此，某些数据的变动对它的中位数没有影响。

当一组数据的个别数据变动较大时，可用中位数来描述数据的集中趋势。

（3）众数着眼于对数据出现次数的考察，众数的大小只与这组数据中的部分数据相关。

当一组数据中有不少数据多次重复出现时，其众数往往被我们关注。

6、普查和抽样调查。

普查：为了一定的目的而对考察对象进行全面调查。

抽样调查：从总体中抽取部分个体进行调查。

注：（1）普查的优缺点
优点：因为对需考察的对象都进行了调查，所以得出的结论是精确的。

缺点：①有时考察对象太多，限于时间、人力、物力，不能或没有必要进行普查
②有时考察带有破坏性，不宜于做普查。

（2）抽样调查的优缺点
优点：调查范围小、节省时间和人力、物力。

缺点：不如普查结果精确。

7、调查中的相关概念
总体：为了一个特定的目的所要考察的对象的全体叫做总体。

样本：为了一个特定的目的所考察的一部分对象叫样本。

个体：为了一个特定的目的所考察的每一个对象叫个体。

8、用样本估计总体
从总体中抽取样本，通过对样本的整理、分析，去估计总体情况，样本容量越大，样本对总体的估计也就越精确。

【典型例题】
例1 有6个数，它们的平均数是12，再添加一个数5，则这7个数的平均数是。

分析：本题考查平均数的运算，平均数等于一组数据的总和除以这组数据的个
数，题中数据总和为12×6+5=77，所以7个数的平均数是，故答案为11。

例2 已知数据a，b，c的平均数是8，那么根据a+1, b+2, c+3的平均数是：。

分析：本题考查对平均数意义的理解，根据题意，数据a，b，c的平均数为，即a+b+c=24。

又因为数据a+1, b+2, c+3的平均数等于
，将a+b+c=24代入得，，故a+1, b+2, c+3的平均数为10。

例3 某单位举行歌咏比赛，分两场举行，第一场8名参赛选手的平均成绩为88分，第二场4名参赛选手的平均成绩为94分，那么这12名参赛选手的平均成绩是分。

分析：本题考查加权平均数的计算，每场比赛选手的人数是权，所以这12人的平均成绩是分，故答案为90。

的人数y。

分析：解答本题的关键是利用平均数和权的意义列出方程组，根据题意，题中有两个相等关系：各成绩人数的和等于20，20人的平均成绩为82分。

解：根据题意，得
解这个方程组得
故成绩为80分的有5人，成绩为90分的有7人。

分析：本题需比较两人成绩的平均数、中位数和众数来衡量两人成绩水平情况。

解：甲运动员的成绩的众数是10.8，中位数是10.85
平均数为
乙运动员成绩的众数是10.9，中位数是10.85。

平均数为
从两人成绩的众数看，甲的成绩好于乙的成绩。

从两人成绩的中位数看，两人的成绩相同。

从两人成绩的平均数看，乙的成绩好于甲的成绩。

例 6 某村为了对甲、乙两名村干部进行年度考核，召开了一次答辩及民主测评会。

乡政府派出A、B、C、D、E五位评委对答辩进行评价，并从村中选出20名村民代表参加民主投票，结果如下所示。

答辩得分按“去掉一个最高分和一个最低分再取平均分”的方法确定。

民主测评得分二“优秀”票数×5分+“良好”票数×3+“一般”票数×1 综合得分二答辩得分×（1-a）+民主评测得分×a（0.5≤a≤0.8）
（1）当a=0.6时，甲和乙的综合得分分别是多少？
（2）甲的综合得分高时，a在什么范围？乙的综合得分高时，a在什么范围？
分析：本题综合考查加权平均数，不等式等知识，在解答时需结合表中信息进行分析。

解：（1）甲的答辩得分为
民主测评得分为
甲综合得分（当a=0.6时）
乙的答辩得分为：
民主测评得分为：
乙综合得分为（当a=0.6时）
（2）甲的综合得分为：92(1-a)+80a=92-12a
乙的综合得分为：89(1-a)+82a=89-7a
当甲的综合得分高时，有：92-12a>89-7a
解此不等式得：.
又因为0.5≤a≤0.8，所以a的取值范围是：5≤a<0.6。

当乙的综合得分高时，有：92-12a<89-7a.
解此不等式，得：
又因为0.5≤a≤0.8，所以a的取值范围是：0.6<a≤0.8.
例7 一次数学考试考生约为2万名，从中抽取5000名学生的数学成绩进行分析，在这个问题中，样本指的是（）
A、5000
B、5000名考生的数学成绩
C、12万名考生的数学成绩
D、5000名考生
分析：解答本题的关键是准确理解和掌握样本的意义。

在本题中，12万名学生的数学成绩是总体，每个学生的数学成绩是个体，5000名考生的数学成绩是总体的一个样本，样本容量为5000，故答案为B。

例8 S市区某居民小区共有800户家庭，有关部门准备对该小区的自来水管网系统进行改造，为此，需了解该小区的自来水用水情况，该部门通过随机抽样，调查了其中的30户家庭，已知这30户家庭共有87人。

（1）这30户家庭平均每户人（精确到0.1人）。

（3）根据上述数据，试估计该小区的日用水量。

（精确到1m3）
分析：解答本题的关键是求出样本平均数，并利用样本的平均数估计总体的平均数。

解：（1）87÷30=2.9（人）
（2）这30户家庭月用水总量为
人均日用水量为：
（3）
估计该小区每天需要使用404m3自来水。

【模拟试题】
一. 选择题
1. 某青年足球队12名队员的年龄情况如下表所示，则出现的次数最多
2. 如果一组数据85，x，80，90的平均数是85，那么x＝（）
A. 84
B. 85
C. 86
D. 90
3. 一次考试某试题的得分情况如下表所示（该题的满分是4分），则x＝
A. 15%
B. 10%
C. 20%
D. 25%
二. 填空题
1. 南京长江大桥连续7天的车流量（每天过桥车辆次数）分别如下表所示（单位：千辆/日），则以此估计平均车流量为__________千辆/日，这是__________
合格的产品有285个，则不合格率为__________。

3. 七年级（1）班有学生50人，他们的数学成绩统计结果是：90分8人，83分11人，74分10人，65分16人，56分3人，49分2人，则全班同学的数学成绩平均分为__________，及格率（60分以上为及格）是__________，优秀人数为（80分以上为优秀）____________________。

4. 如图，第27届奥运会金牌扇形统计图，已知金牌总数为301枚，则中国的金牌数为__________，美国的金牌数为__________。

（取整数）
三. 解答题
看图回答下面的问题：
（1）护士每隔几小时给病人量一次体温？
（2）这个病人的体温最高是多少摄氏度？最低是多少摄氏度？（3）他在12时的体温是多少摄氏度？
（4）他的体温在哪段时间里下降的最快？哪段时间里比较稳定？（5）从体温看，这个病人的病情是在恶化还是在好转？
（1）该商场本年销售额最高的是几月份？
（2）该商场10月份比9月份销售额增加了多少？
（3）该商场月销售额突破千万元大关是在几月份？
（4）以下判断错误的是（）
A. 该商场2月份销售额为825万元。

B. 该商场8月份销售额大大高于7月份。

C. 该商场11月份销售额比10月份多2万元。

D. 该商场销售额呈逐月递增趋势。

（5）如果你是商场经理，应该从几月份开始大量进货。

（6）请以季度为单位绘制适当的统计图。

3. 某工程队接受一项任务，原计划从2002年10月初至2003年9月底12个月完成，施工后3个月，实行倒记时，提高工作效率，施工情况如图所示，那么按提高后的工效继续做完全部工程可提前多少时间？
【试题答案】
一、选择题
1. A
2. B
3. D
二、填空题
1. 8.5；抽样
2. 5%
3. 73.58；90%；19人
4. 27枚；39枚
三、解答题
1. （1）4小时
（2）最高是39.1摄氏度；最低是37.6摄氏度。

（3）38.2℃
（4）18时～22时；10时～14时较稳定。

（5）从体温上看，这个病人应该在好转。

2. （1）12月份（2）139万元
（3）6月份（4）D （5）略。