椭圆及其性质

第十章圆锥曲线

本章知识结构图

第一节椭圆及其性质

考纲解读

1. 了解圆锥曲线的实际背景及其在刻画现实世界和解决实际问题中的作用

2. 掌握椭圆的定义，标准方程，几何图形及其简单性质

3. 了解椭圆的简单应用

4. 理解数形结合的思想命题趋势研究

椭圆是圆锥曲线的重要内容，高考主要考查椭圆的基本性质，椭圆方程的求法，椭圆定义的运用和椭圆中各个量的计算，尤其是对离心率的求解，更是高考的热点问题，在各种题型中均有题型

预测2019年高考对本节考查内容为：

（1）利用标准方程研究几何性质，尤其是离心率的求值及取值范围问题

（2）利用已知条件求出椭圆的方程，特别是与向量结合求方程更是重点.椭圆的定义，标准方程和几何性质及直线相交问题的考查以中档题目为主，每年高考分值大多保持

在5分.

知识点精讲

、椭圆的定义

平面内与两个定点％ F2的距离之和等于常数2a （2a -| F1F2|）的点的轨迹叫做椭圆, 这两个

定点叫做椭圆的焦点，两焦点的距离叫做椭圆的焦距，记作2c，定义用集合语言表示为：C P ||PF i | |PF2 |=2a（2a |=2c ■ 0）?

注明：当2a=2c时，点的轨迹是线段；

当2a :: 2c时，点的轨迹不存在.

二、椭圆的方程、图形与性质

2 2 2

非=2c （c =a -b ）

离心率

准线方程

点和椭圆 的关系

2 2

1

x o y o a 2 b 2

2

X = a （不考）

c

'外

« = 1二点（x 0,y 0）在椭圆丿

上 ::1

2

2 p 1

［外

J ' X 0 =1二点（x o ,y 。）在椭圆 上 内

a b~

K

1

切线方程

切点弦所 在 的直线方 程

焦点三角 形面积

一$ + =1（帆，y o ）为切

点）

y o y x o x

笃 0； -1（（x 0, y o ）为切

点）

对于过椭圆上一点（x o , y o ）的切线方程，只需将椭圆方程中 x 2换为X o X ， y 2换为

y o y 便得

+ yo_y =1（点（xo, yo ）在椭

圆外） a b

+_x °x = 1（点（x o , y o ）在椭圆外） a b

2b 2

①COS^ = ---- -1,日max =N RBF 2,（ B 为短轴的端

1 2 tl

② S 止冃F 2 =2「1r 2Sin^=b tan — = \ C|yo1

，焦点在x 轴上（- F ） c | x o |,焦点

在y 轴上

（恥）min 二b 2

（恥）max =a 2

当P 点在长轴端点时， ③ 当P 点在短轴端点时， 焦点三角形中一般要用到的关系是 |

| +| MF 2 | = 2a （2a>2c ）

1

S PF 1F ^ |PF 1||PF 2|S in F 1PF 2）

1 2 2

|F I F 2〔|PF I |2 |PF 2|2 -2|PF I ||PF 2|COS RPF ? 焦距

-2

a

c

1—（ove<1）

° A

题型归纳及思路提示

题型136 椭圆的定义与标准方程

思路提示

(1)定义法：根据椭圆定义，确定a2,b2的值，

再结合焦点位置，直接写出椭圆方程.

(2)待定系数法：根据椭圆焦点是在x轴还是y轴上，设出相应形式的标准方程，然

后根据条件列出a, b,c的方程组，解出a2,b2，从而求得标准方程.

注意：①如果椭圆的焦点位置不能确定，可设方程为

Ax2 By2=1(A 0, B 0, A = B).

2 2 2 2

②与椭圆——=1共焦点的椭圆可设为—y 1(k i、-m,k'- n,m = n).

m n m k n k

2 2 2 2

③与椭圆x y^ =1(a b 0)有相同离心率的椭圆，可设为一 2 y^ - k1(匕• 0，

a b a b

、、X2 y2

焦点在X轴上)或二2 =k2( k20，焦点在y轴上).

a b

一•椭圆的定义与标准方程的求解

例10.1 动点P到两定点F,(-4,0), F2(4,0)的距离之和为10,则动点P的轨迹方程是

2

x A. 16

丄=1 2 2 x y “

B.

1

25 9

C.

2 2 25 16

D.

2

—1

100 36

变式1 求焦点的坐标分别为 斤（-4,0）, F 2（4,0），且

过点

的椭圆的方程

变式2 已知点P 在以坐标轴为对称轴的椭圆上，点 P 到两焦点的距离分别为

2、5 3

过点P 作长轴的垂线恰好过椭圆的一个焦点，求此椭圆的方程

例10.2 在厶ABC，已知A(_2,0), B(2,0)，动点C使得△ ABC的周长为10,则动点C的轨迹方程为 __________ .

变式1已知动圆P过定点A(£,0)，且与圆B:(x-3)2• y2 =64相切，求动圆圆心

P的轨迹方程.