空间向量及其加减运算 课件

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[正解] 如图，D→A－D→B＋B→1C－B→1B＋A→1B1－A→1B
＝B→A＋B→C＋B→B1 ＝B→D＋B→B1＝B→D＋D→D1＝B→D1.
[方法规律总结] 化简向量表达式主要是利用平行四边形 法则或三角形法则进行化简，在化简过程中遇到减法时可灵活 应用相反向量转化成加法，也可按减法法则进行运算，加减法 之间可相互转化．
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在六棱柱 ABCDEF－A1B1C1D1E1F1 中，化简A→1F1－E→F＋D→F ＋A→B＋C→C1，并在图中标出化简结果的向量．
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新知导学 2．空间向量加法适用平行四边形法则和三角形法则(多边 形法则)，多边形法则的规则是“首尾相接，_首__指__向__尾___”．
即有限多个空间向量 a1，a2，……an 相加，也可以象平面
向量那样，从某点 O 出发，逐一引向量O→ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ1＝a1，A→1A2＝a2，…， An－1An＝an，于是以所得折线 OA1A2…的起点 O 为起点，终点 An 为终点的向量O→An，就是 a1，a2，…，an 的和，即
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[方法规律总结] 1.判断向量概念的命题要抓住向量的两 个要素：大小和方向．
两个向量的模相等，则它们的长度相等，但方向不确定， 即两个向量(非零向量)的模相等是两个向量相等的必要不充分 条件．
2．熟练掌握空间向量的有关概念、向量的加减法满足的 运算法则及运算律是解决好这类问题的关键．
O→An＝O→A1＋A→1A2＋…＋An－1An＝__a_1_＋__a_2＋__…___＋__a_n ___. 用折线作向量的和时，有可能折线的终点恰恰重合到起点 上，这时的和向量等于__零__向__量____．
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3．向量减法满足三角形法则：“同始连终、指向被减”． 即以同一点 O 作始点，作O→A＝a，O→B＝b，连接终点 A，B， 则A→B＝b－a，B→A＝a－b. 也可以由向量的加法来定义：减去一个向量就等于加上这 个向量的相反向量．由此可以推出向量等式的移项方法，即将 其中任意一项___变__号_____后，从等式一端移到另一端． 4．加法的交换律，结合律在空间向量中_仍__然__成__立___．
思维导航 1．观察正方体中过同一个顶点的三条 棱所表示的三个向量O→A，O→B，O→C，它们 和以前所学的向量有什么不同？ 类比平面向量的概念与表示，如何给 出空间向量的概念与表示？
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新知导学
1．空间向量的概念及表示
(1) 与 平 面 向 量 一 样 ， 我 们 把 空 间 中 大具小有 ____方_向_ 和
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空间向量及其加减运算
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空间向量的概念与表示 温故知新 1．回顾复习平面向量的概念(定义、模、单位向量、相等 向量、相反向量等)与表示．
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空间向量的加减运算
温故知新 2．回顾复习平面向量的加减运算法则及运算律． 思维导航 2．类比平面向量加减法的意义，如何定义两个空间向量 的和与差？空间中任意两个向量总能平移到同一平面内吗？三 个呢？原平面向量加减法的运算律在空间向量中还适用吗？
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(3)_长__度__为__0___的向量叫做零向量，记为0；模为1 ____的 向量叫做单位向量．
(4)_方__向__相__同__且_模__相__等_______的向量称为相等向量．与向 量a_长__度_相__等__方__向__相_反_______的向量称为a的相反向量，－记a 为 ______.
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[解析] (1)A→A′－C→B＝A→A′－D→A＝A→A′＋A→D＝AD→′. (2)A→A′＋A→B＋B′→C′ ＝(AA→′＋A→B)＋B′→C′ ＝AB→′＋B′→C′＝AC′. 向量AD→′、AC→′如图所示．
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[解析] A→1F1－E→F＋A→B＋C→C1＋D→F ＝A→F＋F→E＋E→D＋D→D1＋D→1F1 ＝A→F1，如图．
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要准确把握空间向量加减运算法则 在长方体 ABCD－A1B1C1D1 中，化简D→A－D→B＋
B→1C－B→1B＋A→1B1－A→1B. [错解] D→A－D→B＋B→1C－B→1B＋A→1B1－A→1B ＝A→B＋C→B＋B→1B＝D→C＋D→A＋B→1B＝D→B＋D→1D＝D→1B. [辨析] 对于向量减法的三角形法则理解错误致误，如D→A
－D→B＝A→B是错误的，而应有D→A－D→B＝B→A.
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空间向量的概念辨析
下列说法中正确的是( ) A．若|a|＝|b|，则 a、b 的长度相同，方向相同或相反 B．若向量 a 是向量 b 的相反向量，则|a|＝|b| C．空间向量的减法满足结合律 D．在四边形 ABCD 中，一定有A→B＋A→D＝A→C [答案] B [分析] 给出的命题都是对向量的有关概念及加减法的理 解，解答本题应紧扣向量及其加减运算的有关概念进行．
[解析] (1)假命题，不相等的两个空间向量的模也可以相 等，只要它们的方向不相同即可．
(2)假命题，当两个向量的起点相同，终点也相同时，这两 个向量必相等，但两个向量相等却不一定有相同的起点和终点．
(3)真命题，B→A与A→B仅是方向相反，它们的长度是相等的．
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判断下列命题的真假． (1)不相等的两个空间向量的模必不相等； (2)两个空间向量相等，则它们的起点相同，终点也相同； (3)向量B→A与向量A→B的长度相等．
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空间向量的加减运算
如图，已知长方体 ABCD—A′B′C′D′，化简下列向量 表达式，并在图中标出化简结果的向量．
(1)A→A′－C→B； (2)A→A′＋A→B ＋B′→C′.
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[分析] (1) 分析题意 → 将C→B等价转化为D→A → D→A转化为－A→D → 平行四边形法则 → 得出结论 (2) 应用平行四边形法则先求A→A′＋A→B → 应用三角形法则求AB→′＋B′→C′ → 得出结论
_______的量叫做空间向量，大向小量的________叫做向量的长
度或模．
有向线段
(2)与平面向量一样，空间向量也用__A→_B_______表示．起
点|a是|或A|A→，B|终 点 是 B 的 向 量 a 也 可 以 记 作 __________. 其 模 记 作
__________|a|或||.
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[解析] |a|＝|b|，说明 a 与 b 模相等，但方向不确定，由 a 的相反向量 b＝－a，故|a|＝|b|，从而 B 正确．只定义加法具有 结合律，减法不具有结合律，一般的四边形不具有A→B＋A→D＝ A→C，只有平行四边形才能成立．故 A、C、D 均不正确．