第三章-行波法(1)

第三章 行波法

§3.1 达朗贝尔公式（P150-152） 1．确定下列初值问题的解

（1）()()20,,00,,01tt xx t u a u u x u x -=== 解：因为

()()0,1x x ϕψ== 由达朗贝尔公式有： ()()()

()1,2

2x at x at

x at x at u x t d a ϕϕψαα+--++=

+⎰ =t

（2）()()220,,0sin ,,0tt xx t u a u u x x u x x -=== 解：因为

()()2sin ,x x x x ϕψ== 由达朗贝尔公式有： ()()()

()1,2

2x at

x at

x at x at u x t d a ϕϕψαα+--++=

+

⎰ =223

1sin cos 626x at x at a t a ⎡⎤+

+⎣⎦ =2231

sin cos 3x at x t a t ++

（3）()()230,,0,,0tt xx t u a u u x x u x x -=== 解：因为

()()3,x x x x ϕψ== 由达朗贝尔公式有： ()()()

()1,2

2x at x at

x at x at u x t d a ϕϕψαα+--++=

+⎰

=

()()1

cos cos 122x at x at

x at x at e d a α+---+++⎰

=1cos cos x at e t -+

2．求解无界弦的自由振动，设弦的初始位移为()x ϕ，初始速度为()'a x ϕ-。 解：该问题的数学模型为：

()()()()

2'

,,0,0,,0tt xx t u a u x t u x x u x a x ϕϕ⎧=-∞<<+∞>⎪

⎨==-⎪⎩ 由达朗贝尔公式：

()()()

()'1,2

2x at

x at

x at x at u x t a d a ϕϕϕαα+--++=

+-⎰=()x at ϕ- 2．求解弦振动方程的古沙问题

()()()()()(),,,,tt xx u u u x x x x u x x x x ϕψ=⎧

⎪

-=-∞<<+∞⎨⎪=-∞<<+∞⎩

解：该方程的通解为：

()()()12,u x t f x t f x t =++- （1） 令：t x =-

()()()1202x f f x ϕ=+

令： t x =

()()()1220x f x f ψ=+

令2y x =，则有：

()()()()1221

0202y f y f y f y f ψϕ⎧⎛⎫=- ⎪⎪⎪⎝⎭

⎨

⎛⎫⎪=- ⎪⎪⎝⎭⎩

所以：

()()1102x t f x t f ψ+⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，()()2202x t f x t f ϕ-⎛⎫

-=- ⎪⎝⎭

()()()12,0022x t x t u x t f f ψϕ+-⎛⎫⎛⎫

=+-+⎡⎤ ⎪ ⎪⎣⎦⎝⎭⎝⎭

又 ()()121

(0)(0)002f f ϕψ+=+⎡⎤⎣

⎦ 所以古沙问题解为：

()()()00,222x t x t u x t ϕψψϕ++-⎛⎫⎛⎫=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭

3．求解无限长理想传输线上电压和电流的传播情况。设初始电压分布为

cos A kx cos kx 。 解： 无限长理想传输线电流方程为

xx tt I a I 2=，(),cos I x t kx =，(),0sin t k

I x A kx L

=

因为：()cos x kx ϕ=

，()sin k

x A kx L

ψ= 由达朗贝尔公式有电流分布： ()()()

()1,2

2x at

x at

x at x at I x t d a ϕϕψαα+--++=

+⎰

()cos k x at - 其中：21a LC

= 同理：无线长理想传输线电压电流方程为： 2

tt xx V a V =，(),0V x =cos A kx ，(),0t V x x = 其解为：

(),cos ()V x t A k x at =-

5．细圆椎杆的纵振动方程为：22tt xx x u a u u x ⎛

⎫=+ ⎪⎝

⎭，试求其通解。

（提示：令()(),,v x t xu x t =） 解：令()(),,v x t xu x t =，则()1

(,),u x t v x t x

=

代入原微分方程化简整理为

2tt xx v a v =

则有通解为

()()()12,v x t f x at f x at =++- 故原方程的通解：

()()()121

,u x t f x at f x at x

=

++-⎡⎤⎣⎦ 6．试求出方程

22

222

111x u x u x h x a h t

⎡⎤∂∂∂⎛⎫⎛⎫-=-⎢⎥ ⎪ ⎪∂∂∂⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦ 通解为：()[()()]()12,/u x t f x t f x t h x =++--，其中：h 为已知常数。若

()()()(),0,,0,t

u x x x u x x x ϕψ=-∞<<+∞⎧⎪⎨=-∞<<+∞⎪⎩，求其特解。

解：原方程变形为：

212110xx tt x x x u u u h a h h ⎛⎫

⎛⎫----= ⎪ ⎪⎝⎭

⎝⎭ （1）

令 ()()(),,u x t w x v x t =

于是：x x x u w v wv =+，2xx xx x x xx u w v w v wv =++，t t u wv =，tt tt u wv = 代入（1）式得：

222222211211tt xx x x xx x x x x a x a wv a wv a w w v a w w v h h h h h h ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-+--

+-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦