测量误差及数据处理方法

范 围
置信概率（真值落在确定
范围内的概率）
N — N N 2 — N 2
N 3 — N 3
68.3%
95.4% 99.7%
P
通常将 3 称为随机 误差的极限误差。
3 2 0 2 3
δ
§ 1.2测量结果误差估算及评定方法
3 不确定度
3.1定义：它是对测量结果可信赖程度
f 2 2 f 2 2 f 2 2 uN ( ) ux ( ) u y ( ) uz x y z
uN ln f 2 2 ln f 2 2 ln f 2 2 Eu ( ) ux ( ) uy ( ) uz N x y z
以上两公式应牢记，并注意应用技巧
§ 1.5 有效数字及其运算
4、混合运算规则 当进行加减乘除混合运算 时，应按加减规则、乘除规 则和函数运算规则逐步计算， 最后得到计算结果。
§ 1.5 有效数字及其运算
3 不确定度和测量结果
的数字化整规则 （1）不确定度的有效位数1~2位 本书约定不确定度只保留1位。 相对不确定度1~2位。 尾数采用 四舍 六入 五凑偶 （2）最佳值或测量值末位与不确 定度对齐。
1 K


N
i 1
K
i
N
§ 1.2测量结果误差估算及评定方法
2 标准偏差（均方根差）

标准偏差是一个描述测量结果离散程度 的参量。用它来评定随机误差有以下优 点： 1）稳定性，σ值随K(测量次数)变化较小。 2）它以平方计值，与个别误差的符号无 关，能反映数据的离散程度。 3）与最小二乘法吻合。
§ 1.2测量结果误差估算及评定方法
1算术平均偏差
对某一物理量N进行K次测量，得N1，N2，…， Ni，……，Nk，则算术平均值为
1 1 k N N1 N 2 N i N k N i K K i 1
算术平均偏差为
1 N1 N N 2 N N i N N k N K
①已定系统误差：必须修正 例如电表、螺旋测微计的零位误差； ②未定系统误差：要估计出分布范围 如：螺旋测微计制造时的螺纹公差等。
注意：多次测量求平均并不能消除系统误差。因 为在测量条件不变时，其有确定的大小和符号。
§ 1.1测量与误差概念
（2）随机误差
a. 随机误差是指在同一量的多次测量过程中， 其大小与符号以不可预知方式变化的测量误差的 分量。 随机误差的特征是随机性。

§ 1.5 有效数字及其运算
2 有效数字运算规则
１、加减运算 尾数对齐：在小数点后所应 保留的位数与诸量中小数点 后位数最少的一个相同。
例： 33.2+3.22=36.4 12.567-1.23=11.34
1.2345+5.11-2.141=4.20
§ 1.5 有效数字及其运算
２、乘除运算 位数取齐：诸量相乘除，结 果的有效数字位数，一般与 各个量中有效数字位数最少 的一个相同。
测量结果
N真 N （单位） u
相对不确定度 u u E u 100% N N
约定：在我们的实验中u取一位有效数字。 注意： N 的末位和u对齐。 例：
I＝ 10.0 0.5 μ A
§ 1.3直接测量结果误差估算及评定方法
§1.3 直接测量结果误差估算及评定
1 单次测量误差估算及评定
§1.2 测量结果误差估 算及评定方法
对测量结果评定的三种方法： （1）算术平均偏差 （2）标准偏差（均方根偏差） （3）不确定度
§ 1.2测量结果误差估算及评定方法
根据统计理论，我们将多次测量的 算术平均值 N 作为真值的最佳近似。
在对测量结果进行评定时，我们约 定系统误差和粗大误差已经消除、 修正或可以忽略，只考虑随机误差， 其服从正态分布。
I＝3.10 0.05μ A
§ 1.3直接测量结果误差估算及评定方法
有以上例题可见，仪器误差一般用如下 方法确定： 1）仪器已经标明了误差，如千分尺。 2）未标明时，可取仪器及表盘上最小刻 度的一半作为单次测量的允许误差，如 例1。 3）电学仪器 ins 量程 精度级别 %
§ 1.3直接测量结果误差估算及评定方法
测量误差 及 数据处理方法
南京理工大学 物理实验中心
§ 1.1测量与误差概念
§1.1测量与误差概念
1 测量
测量是物理实验的基础。 测量就是用一定的测量工具或仪器，通过一 定的方法，直接或间接地得到所需要的量值。 依照测量方法的不同可将测量分为两大类： （1） 直接测量 （2） 间接测量 问题：我们接触过哪些测量？哪些是直接测量？ 哪些是间接测量？
σ大 0 δ
§ 1.1测量与误差概念
（3）粗大误差
a.定义：明显超出规定条件下预期的误差。 b.产生原因：错误读数、仪器有缺陷、环境干 扰等。 c.应避免出现粗大误差。如出现粗大误差，应 分析粗大误差产生的原因。处理数据时，剔除 异常数据。
§ 1.1测量与误差概念
精密度、正确度与准确度（又称精
f 2 2 f 2 2 f 2 2 N ( ) x ( ) y ( ) z x y z
N
ln f 2 2 ln f 2 2 ln f 2 2 ( ) x ( ) y ( ) z N x y z
§ 1.4 间接测量结果误差估算及评定
3 不确定度的传递公式
确度）
这三个名词分别用来反映随机误差、 系统误差和综合误差的大小。
§ 1.1测量与误差概念
4 测量结果表示
（1）绝对误差：N N测 N真
测量结果： N N测 N (单位) （2）相对误差：
绝对误差 相对误差 真值 N E 100% N真
§ 1.2测量结果误差估算及评定方法
N N uN (单位)
§ 1.5 有效数字及其运算
§1.5 有效数字及其运算
1 有效数字的含义
有效数字是由准确数字（若干位） 和可疑数字（一位）构成，这样就能 够正确而有效地表示测量结果。
§ 1.5 有效数字及其运算
注意：
表示小数位数的“0”不是有效数字；数 字中间和尾部的“0”是有效数字； 数字尾部的“0”不能随意舍弃或添加； 有效数字位数与十进制单位的变换无关； 推荐用科学记数法：K×10n ，1≤K＜10。
§ 1.6 数据处理方法
§1.6 常用数据处理方法
数据处理是一个对数据进行加工的过 程。常用的数据处理方法有以下三类： 1.列表法
2.作图法 3.数学方法（逐差法、最小二乘法等）
§ 1.6 数据处理方法
▲列表法
各个栏目标明 名称和单位 标题：说明表 例：用读书显微镜测量圆环直径 附加说明：实 格内容 验仪器、条件 测量圆环直径D 等 原始数据
§ 1.4 间接测量结果误差估算及评定
4 间接测量结果和不确定度评 定的基本步骤
（1）计算各直接测量物理量的值和它们的不 确定度；即N＝f(x,y,z)中的x,y,z和ux,uy,uz。 （2）根据不确定度的传递公式计算间接测量 量的不确定度。uN或uN/N，保留1位。 （3）求出间接测量量N＝f(x,y,z)，N的末位与 不确定度所在位对齐； （4）写出结果
ins uj K
注意：在我们的实验中一般取K≈1，即
u j ins
§ 1.2测量结果误差估算及评定方法
不确定度的合成（方和根合成法）
u
N u
2
2 j
u
N u
2
2 j
请记住这一公式！
§ 1.2测量结果误差估算及评定方法
3.3 用不确定度表示测量结果
§ 1.2测量结果误差估算及评定方法
（1）测量列的实验标准差
N
N
K i 1
i
N
2
K 1
（2）平均值的标准偏差
N N K
N
K i 1
i
N
2
K K 1
算术平均值的标准偏差反映了算术平均值在真值附近 涨落的大小。
§ 1.2测量结果误差估算及评定方法
如果对某一物理量只测量一次，则常以测量仪 器误差来评定测量结果的误差。 例1：用直尺测桌子长度，L＝1200.0 0.5mm 例2：用50分度游标卡尺测工件长度， L＝10.00 0.02mm 例3：用量程为10μA，精度等级为0.5的电流表， 单次测量某一电流3.10 μA ，则 μj ＝ΔI＝10 μA×0.5％＝0.05 μA
b. 产生原因：实验条件和环境因素无规则的起 伏变化，引起测量值围绕真值发生涨落的变化。 例如：实验时温度的随机波动、螺旋测微计测 力在一定范围内随机变化、读数时的视差影响。
§ 1.1测量与误差概念
c.消除方法：使用统计方法
随机误差的特点：大量的随机误差服从正态分布。 ①单峰性：绝对值小的误差出现的概率比绝对值大的误差出现的 概率大。 ②对称性：多次测量时分布对称，即绝对值相等的正负误差出现 的概率相同。因此取多次测量的平均值有利于消减随机误差。 ③有界性：在一定的测量条件下，误差的绝对值不超过一定的界 限。 P σ小
若 N = f (x,y,z)，则
f f f N x y z x y z
若对N = f (x,y,z)取对数，则可得到
N ln f ln f ln f x y z N x y z
§ 1.4 间接测量结果误差估算及评定
2 标准偏差的传递公式
§ 1.1测量与误差概念
2 误差
1、误差的定义： 测量误差=测量值-真值 即 ΔN = N测 －N真
这个误差的定义反映了测量值偏离真实 值的大小和方向。
§ 1.1测量与误差概念
2、误差来源
（1） 仪器误差 （2） 环境误差 （3） 测量方法误差
（4） 人员误差
§ 1.1测量与误差概念
3 误差分类及其消除方法
直径Di/mm 5.998 5.995 5.996 5.996 5.992 5.994 5.994 5.995
§ 1.6 数据处理方法
▲作图法
优点：能形象直观地显示物理量之间的函数关系
例： 1.11×2.0=2.2
3.248 ÷ 1.61=2.02
§ 1.5 有效数字及其运算
3、某些常见函数运算的有效位数 （1）对数函数 y=lnx, y=logx 计算结果尾数的位数取得与真数的 位数相同； （2）指数函数 y=ax 结果的有效数字，可与指数的小数 点后的位数相同； （3）三角函数按角度的有效位数来定； （4）常数的有效位数可以认为是无限 的，运算中应多取1位；
的评定。它表示了被测量的真值以一 定概率落在某个量值范围内 （ N u ，N u）。
不确定度小，表示误差的可能值小，测量的可信赖程度就高； 不确定度大，表示误差的可能值大，测量的可信赖程度降低。
§ 1.2测量结果误差估算及评定ห้องสมุดไป่ตู้法
3.2 不确定度的分类和估算
不确定度分为两类。
A类分量：用统计方法求出，即σ(N)或σ(N)。 B类分量：用其他方法得出。物理实验中通常 使用仪器的极限误差除以相应的置信系数K。
2 多次测量结果的误差估算及评定
处理步骤：
1、求平均值 N 。 2、求σ和 u。
N
N
K i 1
i
N
2
K 1
2
u
3、表示结果：
N
2 ins
N N u （单位）
§ 1.4 间接测量结果误差估算及评定
§1.4间接测量结果误差的估算 及评定
1 一般的误差传递公式
（1）系统误差 a. 定义：系统误差是指在同一被测量的多次测量过 程中，保持恒定或以可预知方式变化的测量误差的 分量。 系统误差的特点是其确定性。 b. 产生原因：测量仪器、测量方法、环境因素
§ 1.1测量与误差概念
c.减小系统误差的方法： .对测量结果引入修正值； .选择适当的测量方法，使系统误差能够抵 消而不会带入测量值中。
仪器：读数显微镜 Δins=0.004mm 注意数据纪录 测量次序 i 左读数/mm 右读数/mm 的顺序 1 12.764 18.762 计算的中间结 2 10.843 16.838 果数据 3 11.987 17.978 4 11.588 17.584 5 12.346 18.338 6 11.015 17.010 7 12.341 18.335 直径平均值D/mm