第八章 假设检验
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假设检验的基本概念
第五节 检验水准与两类错误
第二章
I型错误和II型错误
假设检验是利用小概率反证法思想，从问题的对立面(H0)出发间接判断要解决的问题(H1)是否成立，然后在假定H0成立的条件下计算检验统计量，最后根据P值判断结果，此推断结论具有概率性，因而无论拒绝还是不拒绝H0，都可能犯错误。详见表8-1。
01
P122 例8-3
02
两均数之差的标准误的估计值
03
01
P122 例8-3
02
两均数之差的标准误的估计值
由于u0.05/2=1.96，u0.01/2=2.58，|u|>u0.01/2, 得P<0.01，按α=0.05水准，拒绝H0，接受H1，两组间差别有统计学意义。可以认为试验组和对照组退热天数的总体均数不相等，两组的疗效不同。试验组的平均退热天数比对照组短。例7-7已计算了的95%的可信区间： 天，给出了两总体均数差别的数量大小。
1- ：检验效能（power）:当两总体确有差别，按检验水准 所能发现这种差别的能力。
a 与 b 间的关系
a
b
减少（增加）I型错误，将会增加（减少）II型错误 增大n 同时降低a 与 b
B
D
A
C
减少I型错误的主要方法：假设检验时设定 值。
提高检验效能的最有效方法：增加样本量。
若 ，不拒绝H0，但不能下“无差别”或“相等”的结论，只能下“根据目前试验结果，尚不能认为有差别”的结论。
第三节 大样本均数的假设检验
单样本数据，每组例数等于或大于60例；两样本数据，两组例数的合计等于或大于60例，而且基本均等。
两总体方差已知。
样本数据不要求一定服从正态分布总体。
另一方面，可信区间不但能回答差别有无统计学意义，而且还能比假设检验提供更多的信息，即提示差别有无实际的专业意义。
第二章
I型错误和II型错误
假设检验是利用小概率反证法思想，从问题的对立面(H0)出发间接判断要解决的问题(H1)是否成立，然后在假定H0成立的条件下计算检验统计量，最后根据P值判断结果，此推断结论具有概率性，因而无论拒绝还是不拒绝H0，都可能犯错误。详见表8-1。
01
P122 例8-3
02
两均数之差的标准误的估计值
03
01
P122 例8-3
02
两均数之差的标准误的估计值
由于u0.05/2=1.96，u0.01/2=2.58，|u|>u0.01/2, 得P<0.01，按α=0.05水准，拒绝H0，接受H1，两组间差别有统计学意义。可以认为试验组和对照组退热天数的总体均数不相等，两组的疗效不同。试验组的平均退热天数比对照组短。例7-7已计算了的95%的可信区间： 天，给出了两总体均数差别的数量大小。
1- ：检验效能（power）:当两总体确有差别，按检验水准 所能发现这种差别的能力。
a 与 b 间的关系
a
b
减少（增加）I型错误，将会增加（减少）II型错误 增大n 同时降低a 与 b
B
D
A
C
减少I型错误的主要方法：假设检验时设定 值。
提高检验效能的最有效方法：增加样本量。
若 ，不拒绝H0，但不能下“无差别”或“相等”的结论，只能下“根据目前试验结果，尚不能认为有差别”的结论。
第三节 大样本均数的假设检验
单样本数据，每组例数等于或大于60例；两样本数据，两组例数的合计等于或大于60例，而且基本均等。
两总体方差已知。
样本数据不要求一定服从正态分布总体。
另一方面，可信区间不但能回答差别有无统计学意义，而且还能比假设检验提供更多的信息，即提示差别有无实际的专业意义。
假设检验一般概念
x 400 k 时接受原假设H0；
(1)
x 400 k 时拒绝原假设H0接受备择假设H1
(2)
进一步，由于当H0为真时，有
u x400 ~N(0,1) 25/ n
1 |u|要构x造一40个0具有明确k分布的统计量，可将(1)、(2)式转化为
25/ n 25/ n
2 |u|时接x受原40假0设H0 k
2. 拒绝域与接受域 称是检验水平或显著性水平，它是我们
制定检验标准的重要依据。常数u/2把标准正态分布密度曲线下
的区域分成了两大部分，其中一部分
(x1,x2, ,xn)uu/2
称为H0的拒绝域或否定域， 当样本点落入拒绝域时，我们便拒 绝原假设H0(同前述(6)式)，另一部分
(x1,x2, ,xn)uu/2
（1）根据问题的要求提出假设，写明原假设H0和备择假设H1的
具体内容。
（2）根据H0的内容，建立（或选取）检验统计量并确定其分布。 （3）对给定（或选定）的显著性水平 ，由统计量的分布查表 或计算确定出临界值，进而得到H0的拒绝域和接受域。
（4）由样本观察值计算出统计量的值。
（5）做出推断：当统计量的值满足“接受H0的条件”时就接受 H0，否则就拒绝H0接受H1 。
u
2
时接受原假设H0 (5)
时拒绝原假设H0，接受备择假设 H1 (6)
分析(5)、(6)两式，可以这 样认为：
拒绝H0，是因为以H0成立 为出发点进行推理时，得到 了不合情理的结论，使小概 率事件在一次试验中发生了。
接受H0，是因为以H0成立 为出发点进行推理时，未发 现异常。
这就是带有概率特征的反证 法，认为小概率事件在一次 试验中不可能发生。
H0：X服从泊松分布；H1：X不服从泊松分布.
第八章假设检验
原假设
H0
6. 假设检验的一般步骤
第一步 提出待检验的原假设H 0和对 立假设 H1 ; 第二步 选择检验统计量,并找出在假设 H0 成立条件下 ,该统计量所服从的概率分布; 第三步 根据所要求的显著性水平α 和所 选取的统计量,查概率分布临界值表,确定临界 值与否定域; 第四步 将样本观察值代入所构造的检验 统计量中,计算出该统计量的值,若该值落入否 定域,则拒绝原假设H 0 ,否则接受原假设H 0 .
2 (4)将样本观测值代入,得 =16.79 >14.449 故拒绝原假设.即认为方差不是0.1122.
i 1
4.未知期望μ，σ2的(单侧)假设检验： (1)提出原假设和备择假设: H0: σ2 ≤σ02; H1: σ2 >σ02
2 ( n 1 ) S 2 (2)选择统计量 2 0
解:由题意得:用简便方法测得有害气体含量X~N(μ,22), 假设 H0: μ=23, 若H0成立,则 若取α=0.05,则 P{|U|>z1-α/2}=α, 即: P{|U|>1.96}=0.05,
X U ~ N(0,1) / n
在假设成立的条件下,|U|>1.96为概率很小事件,一般认为: 小概率事件在一次实验中是不会发生的,
假设检验 μ=23,σ2=22
例8.1.3.用精确方法测量某化工厂排放的气体中有害气 体的
含量服从正态分布N(23,22),现用一简便方法测量6次得一组数据
23,21,19,24,18,18(单位:十万分之一),若用简便方法测得有害气体含量 的方差不变,问用该方法测得有害气体含量的均值是否有在假设检验中,否定原假设的理由是小概率事件在一次试 验中出现了,但小概率事件并不是不会出现,只是出现的可 能性较小,即出现的概率不超过很小的正数 ,
第八章 假设检验
Z X 0 n
规定显著性水平
(significant level) ❖ 什么是显著性水平？ ❖ 1. 是一个概率值
❖ 2. 原假设为真时，拒绝原假设的概率
被称为抽样分布的拒绝域
❖ 3. 表示为 (alpha)
常用的 值有0.01, 0.05, 0.10
❖ 4. 由研究者事先确定
作出统计决策
3. 最初被假设是成立的，之后根据样本数据确定是否 有足够的证据拒绝它
4. 总是有符号 , 或
H0 ： = 某一数值 H0 ： 某一数值 H0 ： 某一数值
例如, H0 ： 10cm
备择假设
(alternative hypothesis)
1. 也称“研究假设”,研究者想收集证据予以支持的 假设(期望出现的结论作为备选假设)，用H1或Ha表 示
学习目标
假设检验的基本思想和原理 假设检验的步骤 一个总体参数的检验 两个总体参数的检验 P值的计算与应用 用Excel进行检验
正常人的平均体温是37oC吗？
37.1 36.9 36.9 37.1 36.4
➢ 当问起健康的 成年人体温是
36.9
36.6
36.2
36.7
36.9
多 少 时 ， 多 数 37.6 36.7 37.3 36.9 36.4
的饮料容量是否符合标准要求？
双侧检验
总体均值的检验( 2 已知)
(例题分析－大样本)
❖ H0 ： = 255 ❖ H1 ： 255 ❖ = 0.05
❖ n = 40 ❖ 临界值(c):
拒绝 H0
0.025
拒绝 H0
0.025
-1.96 0 1.96 z
检验统计量:
zx0 25.852551.01 n 5 40
规定显著性水平
(significant level) ❖ 什么是显著性水平？ ❖ 1. 是一个概率值
❖ 2. 原假设为真时，拒绝原假设的概率
被称为抽样分布的拒绝域
❖ 3. 表示为 (alpha)
常用的 值有0.01, 0.05, 0.10
❖ 4. 由研究者事先确定
作出统计决策
3. 最初被假设是成立的，之后根据样本数据确定是否 有足够的证据拒绝它
4. 总是有符号 , 或
H0 ： = 某一数值 H0 ： 某一数值 H0 ： 某一数值
例如, H0 ： 10cm
备择假设
(alternative hypothesis)
1. 也称“研究假设”,研究者想收集证据予以支持的 假设(期望出现的结论作为备选假设)，用H1或Ha表 示
学习目标
假设检验的基本思想和原理 假设检验的步骤 一个总体参数的检验 两个总体参数的检验 P值的计算与应用 用Excel进行检验
正常人的平均体温是37oC吗？
37.1 36.9 36.9 37.1 36.4
➢ 当问起健康的 成年人体温是
36.9
36.6
36.2
36.7
36.9
多 少 时 ， 多 数 37.6 36.7 37.3 36.9 36.4
的饮料容量是否符合标准要求？
双侧检验
总体均值的检验( 2 已知)
(例题分析－大样本)
❖ H0 ： = 255 ❖ H1 ： 255 ❖ = 0.05
❖ n = 40 ❖ 临界值(c):
拒绝 H0
0.025
拒绝 H0
0.025
-1.96 0 1.96 z
检验统计量:
zx0 25.852551.01 n 5 40
第八章 假设检验
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1、原假设与备择假设 H0 2、原理
H1
小概率原理：小概率事件在一次试验中是不太会发生的。 （1）提出假设 H 0 （2）在假设 H 0 成立的条件下，构造一个小概率事件A， （3）根据样本值判断：
若在这一次试验中小概率事件A发生了，则拒绝假设 H 0 ,
若在这一次试验中小概率事件A未发生，则接受假设 H 0 .
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显著性水平 3、接受域与拒绝域
P{ A} P{样本落入区域 } R
拒绝域： R 接受域： R 4、两类错误
第一类错误： 弃真
小概率
样本点落入R：拒绝 H 0
样本点落入 R ： 接受 H 0
犯第一类错误的概率：
H 0 正确，但拒绝了它。
第二类错误： 采伪
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二、假设检验的思想方法 假设检验的基本思想实质上是带有某种概率性质的反证 法。为了检验一个假设是否正确，首先假设该假设正确，然 后根据抽取到的样本对假设作出接受或拒绝的决策。如果样 本观察值导致了不合理的现象发生，就应拒绝假设，否则应 该接受假设。
假设检验中所谓“不合理”，并非逻辑中的绝对矛盾，而 是基于人们的实践活动中广泛采用的原则，即小概率事件在一 次试验中是几乎不发生的。但概率小到什么程度才能算作“小 概率事件”？显然，“小概率事件”的概率越小，否定原假设 就越有说服力。 广
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例1 某砖厂生产的砖其抗拉强度X服从正态分布 N ( ,1.21) ,今从 该厂产品中随机抽取6块，测得其平均抗拉强度为31.13.试检验 这批砖的平均抗拉强度为32.5是否成立,取显著性水平 0.05. 解: 提出原假设 H 0 : 0 32.5 双边检验： 单边检验：
第八章假设检验
第八章 假设检验★知识点精讲一．假设检验的基本思想、基本步骤和可能产生的两类错误1．基本思想小概率原理：概率很小的事件在一次试验中可以认为基本上是不会发生的。
2.假设检验的基本步骤(1)提出原假设H 0，备择假设H 1 (2)选择统计量K(3)由样本值x 1，x 2，…，x n 计算统计量之值ˆK． (4)判断：ˆK落入拒绝域时否定H 0，否则认为H 0为真． 例1 用一仪器间接测量温度5次，温度(℃)值为：1250，1265，1245，1260，1275。
而用另一种精密仪器测得该温度为1277℃(可看作真值)，问用此仪器测温度有无系统偏差(测量的温度服从正态分布)？ （方差未知时对均值的检验） 解： (1)提出零假设H 0：μ ＝1277,H 1：μ ≠1277． (2)选择统计⋅-=nS x t /1277(3)由给定的样本值，计算得到,4570,12592==S x 于是37.355.14212771259||=-=t(4)由检验水平α ＝0.05， t 0.025(4)＝2.776．拒绝域为776.2)4(||025.0=>t t 由于|t |＞2.776，从而否定H 0. 认为μ ≠1277。
即该仪器测温度有系统误差．3.假设检验的两类错误（1）第Ⅰ类错误（弃真错误）：H0为真，否定H0 P{否定H0|H0为真}＝α．（2）第Ⅱ类错误（取伪错误）：H0为假，接受H0 P{接受H0|H0不真}＝β（3）当容量n一定时，α变小，则β变大；相反地，β变小，则α变大；取定α要想使β变小，则必须增加样本容量．二、单正态总体的均值和方差的假设检验★ 常考题型及解题技巧例1.设总体X~N （2,σμ），2σ未知，x 1，x 2，…，x n 为样本，∑=--=n1i 2i2)x x(1n 1s ，检验假设H 0∶2σ=20σ时采用的统计量是（ ）（检验统计量）A.)1n (t ~n/s x t -μ-=B. )n (t ~n/s x t μ-=C. )1n (~s )1n (22022-χσ-=χ D. )n (~s )1n (2222χσ-=χ 解：选C 。
概率论与数理统计第八章假设检验
当总体分布函数完全未知或只知其形式、但 不知其参数的情况，为推断总体的性质，提出 某些关于总体的假设。
为判断所作的假设是否正确, 从总体中抽取 样本, 根据样本的取值, 按一定的原则进行检 验, 然后, 作出接受或拒绝所作假设的决定.
整理课件
2
我们主要讨论的假设检验的内容有
参数检验 总体均值、均值差的检验 总体方差、方差比的检验
H0: Θ0 vs H1: Θ1,
根据样本，构造一个检验统计量T 和检验法则： 若与T的取值有关的一个小概率事件W发生，则 否定H0，否则接受H0，而且要求
P(W|H0)
此时称W为拒绝域，整为理课检件 验水平。
11
例 3. 某厂生产的螺钉,按标准强度为68克/mm2,
而实际生产的螺钉强度 X 服从 N ( ,3.6 2 ). 若 E ( X ) = = 68, 则认为这批螺钉符合要求,否
7
所以我们否定H0, 认为隧道南的路面发生交 通事故的概率比隧道北大.
做出以上结论也有可能犯错误。这是因为 当隧道南北的路面发生交通事故的概率相同, 而3起交通事故又都出现在隧道南时, 我们才犯 错误。这一概率正是P=0.043.
于是, 我们判断正确的概率是1-0.043=95.7%
整理课件
8
假设检验中的基本概念和检验思想 (1) 根据问题的背景, 提出原假设
再作一个备择假设
H1: p> 0.35. 在本问题中,如果判定H0不对,就应当承认H1.
检验: 三起交通事故的发生是相互独立的, 他们
之间没有联系.
如果H0为真, 则每一起事故发生在隧道南的 概率都是0.35, 于是这三起交通事故都发生在隧
道南的概率是
P= 0.353 ≈ 0.043.
为判断所作的假设是否正确, 从总体中抽取 样本, 根据样本的取值, 按一定的原则进行检 验, 然后, 作出接受或拒绝所作假设的决定.
整理课件
2
我们主要讨论的假设检验的内容有
参数检验 总体均值、均值差的检验 总体方差、方差比的检验
H0: Θ0 vs H1: Θ1,
根据样本，构造一个检验统计量T 和检验法则： 若与T的取值有关的一个小概率事件W发生，则 否定H0，否则接受H0，而且要求
P(W|H0)
此时称W为拒绝域，整为理课检件 验水平。
11
例 3. 某厂生产的螺钉,按标准强度为68克/mm2,
而实际生产的螺钉强度 X 服从 N ( ,3.6 2 ). 若 E ( X ) = = 68, 则认为这批螺钉符合要求,否
7
所以我们否定H0, 认为隧道南的路面发生交 通事故的概率比隧道北大.
做出以上结论也有可能犯错误。这是因为 当隧道南北的路面发生交通事故的概率相同, 而3起交通事故又都出现在隧道南时, 我们才犯 错误。这一概率正是P=0.043.
于是, 我们判断正确的概率是1-0.043=95.7%
整理课件
8
假设检验中的基本概念和检验思想 (1) 根据问题的背景, 提出原假设
再作一个备择假设
H1: p> 0.35. 在本问题中,如果判定H0不对,就应当承认H1.
检验: 三起交通事故的发生是相互独立的, 他们
之间没有联系.
如果H0为真, 则每一起事故发生在隧道南的 概率都是0.35, 于是这三起交通事故都发生在隧
道南的概率是
P= 0.353 ≈ 0.043.
第八章假设检验
/ n 0.15/ 15
查表得 z0.05 1.645,
于是
| x
/
0
n
|
0.516
z0.05
1.645
故接受 H0 , 认为该机器工作正常.
例2 公司从生产商购买牛奶.公司怀疑生产商在 牛奶中掺水以谋利. 通过测定牛奶的冰点，可以检 验出牛奶是否掺水.天然牛奶的冰点温度近似服从
单个正态总体方差的假设检验
1. 为未知, 关于 2的检验( 2 检验)
设总体 X ~ N (, 2 ), , 2均为未知,
X1 , X 2 ,, X n 为来自总体 X 的样本, 要检验假设:
其中 0 为已知常数. 设显著性水平为 ,
因为 S 2 是 2 的无偏估计,
当H
例1 某切割机在正常工作时, 切割每段金属棒 的平均长度为10.5cm, 标准差是0.15cm, 今从一批 产品中随机的抽取15段进行测量, 其结果如下: 10.4 10.6 10.1 10.4 10.5 10.3 10.3 10.2 10.9 10.6 10.8 10.5 10.7 10.2 10.7 假定切割的长度 X 服从正态分布, 且标准差没
2ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
2 1
/
2
(n
1)
H1 : 0 (即设牛奶已掺水)
这是右边检验问题，其拒绝域为
z
x
0
n
z0.05
1.645.
现在
z
0.535
(0.545) 2.7951
1.645,
0.008 5
z的值落在拒绝域中， 所以我们在显著性水平
查表得 z0.05 1.645,
于是
| x
/
0
n
|
0.516
z0.05
1.645
故接受 H0 , 认为该机器工作正常.
例2 公司从生产商购买牛奶.公司怀疑生产商在 牛奶中掺水以谋利. 通过测定牛奶的冰点，可以检 验出牛奶是否掺水.天然牛奶的冰点温度近似服从
单个正态总体方差的假设检验
1. 为未知, 关于 2的检验( 2 检验)
设总体 X ~ N (, 2 ), , 2均为未知,
X1 , X 2 ,, X n 为来自总体 X 的样本, 要检验假设:
其中 0 为已知常数. 设显著性水平为 ,
因为 S 2 是 2 的无偏估计,
当H
例1 某切割机在正常工作时, 切割每段金属棒 的平均长度为10.5cm, 标准差是0.15cm, 今从一批 产品中随机的抽取15段进行测量, 其结果如下: 10.4 10.6 10.1 10.4 10.5 10.3 10.3 10.2 10.9 10.6 10.8 10.5 10.7 10.2 10.7 假定切割的长度 X 服从正态分布, 且标准差没
2ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
2 1
/
2
(n
1)
H1 : 0 (即设牛奶已掺水)
这是右边检验问题，其拒绝域为
z
x
0
n
z0.05
1.645.
现在
z
0.535
(0.545) 2.7951
1.645,
0.008 5
z的值落在拒绝域中， 所以我们在显著性水平
第八章 假设检验
或 n 若所得的置信区间不包含u0，则拒绝H0， 否则不能拒绝。
x z2
x z2 /
s n
上例，我们用求置信区间的方法，来判断 原假设是否合理。 大样本下满足中心极限定理，样本均值的 抽样分布服从正态分布，从而有置信区间：
x z2 s 24 ＝986 1.96 n 40
假设检验的步骤
1.确定原假设和备选假设 2.选择检验统计量 3.指定检验的显著性水平 4.建立拒绝原假设的规则 5.收集样本数据，计算检验统计量的值 6.将检验统计量的值域拒绝规则的临界值比较， 以决定是否拒绝原假设。或者，由检验统计量 的值计算p值，利用p值确定是否拒绝原假设。
x 2.92 3 z 2.67 / n 0.18 / 6
x z ~ N (0,1) / n
根据显著性水平α=0.01，对应的拒绝域面积为 0.01，临界值为-2.33 Z<-2.33，所以拒绝H0，即可认为没听咖啡的容量 不足3磅。 统计证据支持对HILLTOP咖啡重量不足采取投诉措 施。
（978.56,993.44）该区间不包含u0=1000， 因此我们拒绝原假设H0.检验表明，该包 装机未能正常工作。
总体均值的检验：小样本情形
小样本下，已知总体为正态分布，我们考 虑以下两种情况： 1.总体方差已知 2.总体方差未知 在总体方差已知的情况下，即使样本容量 较小，但样本平均数的抽样分布总是以平 均值 为均值，以 x 为标准差的正态分 布。因此其检验过程和检验统计量同大样 本情形。
拒绝域为α/2 拒绝域为α/2
z / 2
拒绝域
0
z / 2
x z2
x z2 /
s n
上例，我们用求置信区间的方法，来判断 原假设是否合理。 大样本下满足中心极限定理，样本均值的 抽样分布服从正态分布，从而有置信区间：
x z2 s 24 ＝986 1.96 n 40
假设检验的步骤
1.确定原假设和备选假设 2.选择检验统计量 3.指定检验的显著性水平 4.建立拒绝原假设的规则 5.收集样本数据，计算检验统计量的值 6.将检验统计量的值域拒绝规则的临界值比较， 以决定是否拒绝原假设。或者，由检验统计量 的值计算p值，利用p值确定是否拒绝原假设。
x 2.92 3 z 2.67 / n 0.18 / 6
x z ~ N (0,1) / n
根据显著性水平α=0.01，对应的拒绝域面积为 0.01，临界值为-2.33 Z<-2.33，所以拒绝H0，即可认为没听咖啡的容量 不足3磅。 统计证据支持对HILLTOP咖啡重量不足采取投诉措 施。
（978.56,993.44）该区间不包含u0=1000， 因此我们拒绝原假设H0.检验表明，该包 装机未能正常工作。
总体均值的检验：小样本情形
小样本下，已知总体为正态分布，我们考 虑以下两种情况： 1.总体方差已知 2.总体方差未知 在总体方差已知的情况下，即使样本容量 较小，但样本平均数的抽样分布总是以平 均值 为均值，以 x 为标准差的正态分 布。因此其检验过程和检验统计量同大样 本情形。
拒绝域为α/2 拒绝域为α/2
z / 2
拒绝域
0
z / 2
第八章 假设检验
第八章 假设检验参数估计和假设检验是统计推断中的两类重要问题。
在前一章中我们讨论了用样本统计量来推断总体未知参数的方法—参数的点估计与区间估计，本章我们将讨论正态总体分布中的未知参数的假设检验以及总体分布函数的假设检验。
§8.1 假设检验的基本概念§8.1.1 问题的提出在实际工作中，我们经常要面对这样的问题：总体的分布函数的类型或分布函数中的一些参数是未知的，需要对总体分布函数的类型或分布函数中的未知参数提出某种"假设"，然后通过已经获得的一个样本对提出的“假设”作出成立还是不成立的判断（或决策）。
为了介绍假设检验的基本思想，我们先来看一个例子：例8.1 某食品厂生产的罐头规定每听的标准重量为500克，这些罐头由一条生产线自动包装，在正常的情况下，由经验知道生产出的罐头重量（单位：克）服从正态分布N （500，22）。
质量管理中规定每隔一定时间要抽测5听罐头。
若某次抽测的5听罐头的重量为501，507，498，502，504（克），假定方差不变，这时我们是否可以得出生生产线运转正常（即这段时间生产的罐头的平均重量为500克）的判断呢？由题意知，罐头重量),2N(μ~X 2，记μ0=500，则要回答的问题是：μ=μ0吗？ 我们可以先假定μ=μ0，并称之为待检假设或原假设，记为H 0：μ=μ0这个原假设可能成立也可能不成立。
当原假设不成立时，称μ的取值为备选假设，这里取“μ≠μ0”为备选假设，记为H 1：μ≠μ0所谓假设检验问题就是要利用样本提供给我们的信息，在原假设H 0与备选假设H 1之间作出拒绝哪一个、接受哪一个的判断，简称为H 0对H 1的检验问题。
在例8.1中，我们把问题归结成统计假设：H 0：μ=500，对H 1：μ≠500。
那么，如何来解决H 0对H 1的检验问题呢？由参数估计知，x 是μ的一个"好"估计量。
如果原假设H 0成立，即μ=500，那么，x 通常应很接近500，即|x -500|通常应很小；否则，就认为原假设H 0不成立，也即μ≠500。
第八章假设检验
于是可以选定一个适当的正数k,
若过分大，则有理由 怀疑H0的正确性
7/51
§8.1 假设检验
当观察值 x 满足 x 0
此即假定H0正确 时的小概率事件
/ n
k时, 拒绝假设 H0 ,
反之, 当观察值 x 满足
x 0
/ n
k时, 接受假设 H0 .
如何选取k呢，先看以下事实： 由于作出决策的依据是一个样本，当实际 上H0为真时，仍可能作出拒绝H0的决策，这种 可能性是无法消除的，这是一种错误。
24/51
第八章 假设检验
§8.1 假设检验 §8.2 正态总体均值的假设检验 §8.3 正态总体方差的假设检验
§8.6 分布拟合检验
25/51
§8.2 正态总体均值的假设检验
假设检验是针对弃真这一可能犯的错误人为设定一个界限， 如果在这个界限内，认为原假设成立，否则的话，由于显 著性水平取得很小，表明小概率事件发生，根据实际推断 原理，原假设不成立。 尽管也可能犯第II类取伪的错误，这时尽管总体的性质发 生了改变但没有发现，往往影响较小。 正态总体均值的检验分为三种情况
/ n
若|z|＝ X 0 k，则称 x 与μ0的差异是显著的，以至
于小概率事件发生了，这时拒绝H0， 否则则称 x与μ0的差异是不显著的，这时接受H0， 选定的数α称为显著性水平，在α下对显著性判断
X 0 统计量Z= 称为检验统计量 / n
13/51
/ n
§8.1 假设检验
假设检验的相关定义： 像上例中的假设检验问题可叙述成： “在显著性水平α下，检验假设H0：μ＝μ0，H1：μ≠μ0” 或“在显著性水平α下，针对H1检验H0”
例如：提出总体期望服从泊松分布的假设，然后进行判断 提出正态总体期望为μ0的假设，然后进行判断
若过分大，则有理由 怀疑H0的正确性
7/51
§8.1 假设检验
当观察值 x 满足 x 0
此即假定H0正确 时的小概率事件
/ n
k时, 拒绝假设 H0 ,
反之, 当观察值 x 满足
x 0
/ n
k时, 接受假设 H0 .
如何选取k呢，先看以下事实： 由于作出决策的依据是一个样本，当实际 上H0为真时，仍可能作出拒绝H0的决策，这种 可能性是无法消除的，这是一种错误。
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第八章 假设检验
§8.1 假设检验 §8.2 正态总体均值的假设检验 §8.3 正态总体方差的假设检验
§8.6 分布拟合检验
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§8.2 正态总体均值的假设检验
假设检验是针对弃真这一可能犯的错误人为设定一个界限， 如果在这个界限内，认为原假设成立，否则的话，由于显 著性水平取得很小，表明小概率事件发生，根据实际推断 原理，原假设不成立。 尽管也可能犯第II类取伪的错误，这时尽管总体的性质发 生了改变但没有发现，往往影响较小。 正态总体均值的检验分为三种情况
/ n
若|z|＝ X 0 k，则称 x 与μ0的差异是显著的，以至
于小概率事件发生了，这时拒绝H0， 否则则称 x与μ0的差异是不显著的，这时接受H0， 选定的数α称为显著性水平，在α下对显著性判断
X 0 统计量Z= 称为检验统计量 / n
13/51
/ n
§8.1 假设检验
假设检验的相关定义： 像上例中的假设检验问题可叙述成： “在显著性水平α下，检验假设H0：μ＝μ0，H1：μ≠μ0” 或“在显著性水平α下，针对H1检验H0”
例如：提出总体期望服从泊松分布的假设，然后进行判断 提出正态总体期望为μ0的假设，然后进行判断
第八章 假设检验
的分布函数未知，这时检验统计量的精确分布难 于求出或相当复杂，如有可能求出其渐近分布，则 只适用于大样问题.非参数性的检验问题，一般都是 大样问题，如例3中所讨论的检验问题.
第三步，确定 H0 的否定域 如例1中，当原假设H0 成立时，检验统计量 U 服从 正态 N (0，1) ，那么给定满足 0 1 的 值，在标准正
态分布表中查得临界值 u ，使得 P{| U | u } , 或者 P{u |U | u } 1.
若由子样 1,,n 的观察值 x1,, xn ，算得统计量 U 的值 u 落在 (， u ) 或 (u ，) 时则否定 H0，称 (， u ) 及 (u ，) 组成为 H0 的否定域，称 u 为临界值.
如果 多于两个点，0 {0}, 0 { 1} 为非 单点集，即有：
H0 : 0 , H1 : 1. 这时称 H0 为简单原假设, H1 为复合备选假设.
一、数学期望 a 的检验问题
一个总体时 a 的检验：
H0 : a a0 , H1 : a a1.
对原假设 H0作出否定域或不否定的判断，通常称之 为对 H0 作显著性检验.称 为显著性水平，1为置信 水平.以后常用“在显著性水平”下对 H0 作显著性检验” 这类术语.值得强调的是，我们对 H0 作出判断，是冒着
犯第一类错误的风险的.
对于 H0，给定不同的显著性水平 ，对应有不同 的临界值 u，相应地有不同的否定域，因而有不同的 判断结论，这点必须注意，如图（1）所示.
例2 某工厂生产的灯泡其光通量 服从正态分布； 某电话交换台在某段时间接到呼唤次数 是服从泊松 分布.是否正确，如何检验？
上述例1是关于数学期望 E( ) 2 的假设检验问题.
第8章 假设检验
例 一种摄影药品被其制造商声称其贮藏寿命是均值180天、 标准差不多于10天的正态分布。某位使用者担心标准差可 能超过10天。他随机选取12个样品并测试，得到样本标准 差为14天。根据样本有充分证据证明标准差大于10天吗？
例 孟德尔遗传理论断言，当两个品种的豆杂交时，圆的 和黄的、起皱的和黄的、圆的和绿的、起皱的和绿的豆的 频数将以比例9：3：3：1发生。在检验这个理论时，孟德 尔分别得到频数315、101、108、32、这些数据提供充分 证据拒绝该理论吗？
P PH0 | Z || z0 | 2PH0 Z | z0 | 2(1 (| z0 |))
(即z0代替了拒绝域式中的z 2 )
判断：当P小于显著水平时，拒绝原假设，
否则，接受: 0, H1 : 0 ， 其中0是已知的常数
以X 作为的参考, 若H0为真，X比0大些，但
这个批次清漆的干燥时间构成的总体方差可设 2 0.36 而其均值是要求我们检验的！
经计算，现抽取的9个数据的平均值x 6.4小时,
现在的问题是，我们能否认为 "6.4 6.0 0" ？
即，接受以下哪个假设？
原假设 H0 : 0 6.0， 备择假设 H1 : 0 6.0
4
原假设 H0 : 0 6.0， 备择假设 H1 : 0 6.0
16
*另外方法：若给定显著性水平, 当原假设成立时
( 0)，总体X ~ N (0, 2 )，因此，X ~ N (0, 2 n )
P0 ( X 0
k)
P 0
(
X
0
n
k
设
)
n
k
n z /2
k z/2 n
1
一般，H
的拒绝域写为：
例 孟德尔遗传理论断言，当两个品种的豆杂交时，圆的 和黄的、起皱的和黄的、圆的和绿的、起皱的和绿的豆的 频数将以比例9：3：3：1发生。在检验这个理论时，孟德 尔分别得到频数315、101、108、32、这些数据提供充分 证据拒绝该理论吗？
P PH0 | Z || z0 | 2PH0 Z | z0 | 2(1 (| z0 |))
(即z0代替了拒绝域式中的z 2 )
判断：当P小于显著水平时，拒绝原假设，
否则，接受: 0, H1 : 0 ， 其中0是已知的常数
以X 作为的参考, 若H0为真，X比0大些，但
这个批次清漆的干燥时间构成的总体方差可设 2 0.36 而其均值是要求我们检验的！
经计算，现抽取的9个数据的平均值x 6.4小时,
现在的问题是，我们能否认为 "6.4 6.0 0" ？
即，接受以下哪个假设？
原假设 H0 : 0 6.0， 备择假设 H1 : 0 6.0
4
原假设 H0 : 0 6.0， 备择假设 H1 : 0 6.0
16
*另外方法：若给定显著性水平, 当原假设成立时
( 0)，总体X ~ N (0, 2 )，因此，X ~ N (0, 2 n )
P0 ( X 0
k)
P 0
(
X
0
n
k
设
)
n
k
n z /2
k z/2 n
1
一般，H
的拒绝域写为：
第八章 假设检验
例8-1:某心理学家认为，一般汽车司机视反 应时平均175ms。有人随机抽取36名司机为样本 测定，结果平均视反应时180ms，标准差20ms。 能否根据测试结果否定心理学家的结论？（假定 视反应时符合正态分布） 例8-2:从甲乙两校高一随机抽取学生各 50名进行数学测验，甲校平均分75，标准差6； 乙校平均分70，标准差8。试问两校学生的数 学平均成绩有无显著差异？
II型（）错误
（一）I 型错误（Type I Error）
定义：Ho正确时，因检验值落入拒绝区而 未接受Ho所犯的错误。
Z
Ho: 1=2
错误
1 2
SEDX
Z
-1.96σ
0
1.96σ
（二）II 型错误（Type II Error）
定义：Ho不正确时，因检验值落入接受区
使用：结果或方向不确定时。
意义：只推断有无差异，不断言方向。
|Z|（CR）
＜1.96 ≥1.96 ≥2.58
P值
＞0.05 ≤0.05 ≤0.01
显著性
不显著 显著 极显著
符号
* **
（二）单尾（侧）检验
定义：拒绝性概率置于理论分布一尾。
使用：结果或方向确定时。 意义：既推断有无差异，又断言方向。 类型 右尾检验 左尾检验
解释
直观分析法 理论分析——小概率事件
直观分析
D=.95 接受Ho区域
.025 2
-1.96 σ -1σ
.025 2
1σ
1.96 σ
拒绝Ho区域
0.05
直观分析
接受Ho区域
.005 2
.005 2
-2.58 σ
II型（）错误
（一）I 型错误（Type I Error）
定义：Ho正确时，因检验值落入拒绝区而 未接受Ho所犯的错误。
Z
Ho: 1=2
错误
1 2
SEDX
Z
-1.96σ
0
1.96σ
（二）II 型错误（Type II Error）
定义：Ho不正确时，因检验值落入接受区
使用：结果或方向不确定时。
意义：只推断有无差异，不断言方向。
|Z|（CR）
＜1.96 ≥1.96 ≥2.58
P值
＞0.05 ≤0.05 ≤0.01
显著性
不显著 显著 极显著
符号
* **
（二）单尾（侧）检验
定义：拒绝性概率置于理论分布一尾。
使用：结果或方向确定时。 意义：既推断有无差异，又断言方向。 类型 右尾检验 左尾检验
解释
直观分析法 理论分析——小概率事件
直观分析
D=.95 接受Ho区域
.025 2
-1.96 σ -1σ
.025 2
1σ
1.96 σ
拒绝Ho区域
0.05
直观分析
接受Ho区域
.005 2
.005 2
-2.58 σ
第八章 假设检验
§3 平均数差异的显著性检验
1.2相关样本的平均数差异检验 相关样本：同一组被试进行前后两次实验或 测验所得到的两个样本。 例8-7 某幼儿园在入园时对49名儿童进行了比 奈智力测验（σ=16），结果平均智商为 106，一年后再对同组被试施测，结果平均 智商为110，已知两次测验结果的相关系数 r=0.74，问能否说随着年龄增长与一年的 教育，儿童智商有了显著提高。
第八章 假设检验
假设检验的一般原理 平均数差异的显著性检验 方差、相关系数、比率的显著性检验
§1 假设检验的原理
1 假设与假设检验 例8-1 某班级进行比奈智力测验，结果 =110，已知比奈测验 的常模μ0 =100，σ0=16 ，问该班智力水平（不是这一次测验 的结果）是否确实与常模水平有差异。 1.1研究假设 H1 ： μ1 ≠ μ0 （又称为备择假设） 若以μ1表示该班多次比奈智力测验的总平均，则本题检验的目 的是要证实μ1 ≠ μ0 ，就得到研究假设。 1.2虚无假设 由于H1的真实性不能直接被证实，需建立与之对立的假设H0 ： μ1 = μ0 ，又称为原假设、零假设。而H0能直接被证实。
§6 两比率差异的显著性检验
检验步骤： ① 建立原假设和备择假设 H0 ： p1 =p2 H1 ：p1 ≠p2 ②选择如下统计量： ③决策。
§6 两比率差异的显著性检验
例甲乙两校某年毕业生考 校别 取及未考取大学的人 数见下表，问两校升 学比例有无显著差异？ 甲 考取大 未考取 学（人）大学 （人）
§5 相关系数差异的显著性检验
检验步骤： ① 建立原假设和备择假设 H0 ： ρ 1 ≤ρ 2 H1 ：ρ 1 ＞ρ 2 ②将r1 和 r2进行费舍Zr转换 ③选择如下统计量： ④决策。
§5 相关系数差异的显著性检验
第八章假设检验
§8.2 正态总体均值的假设检验
(一) 单个总体N( , 2)均值的假设检验
iid
~ 设X1，，X n N(， 2 ),给定检验水平，由观
测值 x1，，xn检验假设H0： 0；H1： 0。
1、2已知的情形--Z检验
对于假设H0：=0，H1：0, 构造统计量
Z X μ0 H0真 X μ ~N(0，1)
H0：0，H1：u<u0
的水平为的拒绝域
例1 设某厂生产一种灯管, 其寿命X~ N(, 2002), 由
以往经验知平均寿命 小于1500小时, 现采用新工
艺后, 在所生产的灯管中抽取25只, 测得平均寿命
1675小时, 问采用新工艺后, 灯管寿命是否有显著提
高。(=0.05)
解: 由题意，可提出假设 H0 : 1500 , H1 : 1500
0.497 0.506 0.518 0.524 0.498 0.511 0.520 0.515 0.512
该机器是否正常？
(一) 问题的提出
设X1，X2，… ，Xn是来自总体 X~ F(x;)的 一个样本，参数∈Θ未知, 由样本观测值x1, …, xn
检验假设
H0：=0，H1：≠0 称H0为原假设， H1为备选假设。
布, 取 =0.05 )?
解: 由题意，可提出假设
H0：=112.6，H1：112.6
当H
真时
0
:
T
X S
0
n
~ t(n 1),
由P{|T|t0.025(n 1)} =0.05, 得水平=0.05的拒
绝域为|T|t0.025(6)=2.4469,
而此处 | T
|
112.8 112.6 1.135 7
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t0.95 15 1.753, t 1.45 t0.95 15 1.753, t W
H0 : p 0.04 H1 : p 0.04
记为
H0 : p 0.04
28
H1 : p 0.04
2017年10月29日7时12 分
例4 某厂生产小型马达, 说明书上写着: 这种小型马达在正常负载下平均消耗电 流不会超过0.8 安培. 现随机抽取16台马达试验, 求得平均 消耗电流为0.92安培, 消耗电流的标准 差为0.32安培. 假设马达所消耗的电流服从正态分 布, 取显著性水平为 = 0.05, 问根据这 个样本, 能否否定厂方的断言? 解 根据题意待检假设可设为:
26 2017年10月29日7时12分
若从一万件产品中任意抽查12件发现1件次品
p 0.04 代入
取 0.01，则
第 十 五 周
P12 (1) C p (1 p)
1 12 1
11
0.306 0.01
这不是小概率事件,没理由拒绝原假设,从 而接受原假设, 即该批产品可以出厂.
α/2
X U / n
u
1
α/2
2
u
拒绝域
接受域
1-α
1
2
x
拒绝域
拒绝域W U u U u ,U u 1 1 1 2 2 2
18 2017年10月29日7时12分
由例2可见,在给定的前提下, 接受还是拒绝原假设完全取决于样本 值, 因此所作检验可能导致以下两类 错误的产生：
6
在实际工作中, 往往把不轻易 否定的命题作 为原假设.
2017年10月29日7时12分
由于 是正态分布的期望值, 它的估计 量是样本均值 X , 因此可以根据 X 与 0 的 差距 | X 0 |来判断H0 是否成立. 当 | X 0 | 较小时, 可以认为H0是成立的;
那么, 如何判断原假设H0 是否成立呢?
X 68 68.5 68 U 0.833 36 3.6 36
第 十 五 周
第四步: 将样本值代入,算出统计量 U 的实测 值 | U |=0.833<1.96 没有落入
拒绝域
故不能拒绝H0 .
接受原假设，认为这批螺钉符合要求
17 20பைடு நூலகம்7年10月29日7时12分
u
第 十 五 周
第 十 五 周
4
2017年10月29日7时12分
通常的办法是进行抽样检查.
如每隔1小时, 抽查5罐, 得5个容量的值
第 十 五 周
x1, …, x5, 根据这些值来判断生产是否正常.
在正常生产条件下, 由于种种随机因素 的影响, 每罐可乐的容量应在355毫升上下波 动. 根据中心极限定理, 假定每罐容量服从正 态分布是合理的.
16 2017年10月29日7时12分
第三步: 对给定的显著性水平 0.05 , 查 表确定临界值 u1 2 u0.975 1.96 ,使 P{| U | u0.975} P{| U | 1.96} 0.05 即 | U | 1.96 是一个小概率事件. 得拒绝域 W={|U |>1.96}
12 2017年10月29日7时12分
提出假设 H0: = 355 由于 已知, 选检验统计量
U
0 355
H1: ≠ 355
X 0
第 十 五 周
n
~N 0,1
它能衡量差异 | X 0 | 大小且分布已知.
, 可以在N(0,1)表 对给定的显著性水平 中查到分位数的值 U1 2
第 十 五 周
15
2017年10月29日7时12分
分析: 这批产品(螺钉强度)的全体组成问题 的总体 X. 现在要检验 E ( X ) 是否为68.
已知 X ~N (,3.62 ), 第一步： 提出原假设和备择假设
第 十 五 周
H0 : 68 H1 : 68
取一检验统计量, 在H0成立下求出它 第二步： 的分布 能衡量差异 X 68 大小且分布 U ~ N 0,1 已知 36
H0 : p 0.04
p 0.04 代入
H1 : p 0.04
当p 0.04 时，也成立
当p 0.04
取 0.01，则
p值
3 3 P12 (3) C12 p (1 p)9 0.0097 0.01
一万件产品中任意抽查12件发现3件次品是小概 率事件, 那么在一次实验中,这个事件几乎是不会发 生的, 现在竟然发生了, 故认为原假设不成立, 即 该批产品次品率 p 0.04 , 则该批产品不能出厂.
第 十 五 周
当 | X 0 | 较大时, 应认为H0不成立, 即
生产不正常. 较大、较小是一个相对的概念, 合理 的界限在何处? 应由什么原则来确定?
7 2017年10月29日7时12分
二、实际推断原理(小概率原理)P200 小概率事件在一次试验中基本上不会发生. 下面我们用一例说明这个原则. 这里有两个盒子, 各装有100个球.
ch8-22 2017 年10月29日7时12分
下面计算犯第二类错误的概率
=P(接受H0|H0假) H0不真,即 68,可能小于68,也可能大于 68, 的大小取决于 的真值的大小.
设
第 十 五 周
66 , n 36, X ~ N ( 66, 3.6 / 36 ) 66 P(66.82 X 69.18 66 )
z
如果由样本值算得该统计量U的实测值 落入区域W, 则拒绝H0 ; 否则, 不能拒绝H0 .
14 2017年10月29日7时12分
下面, 我们结合另一个例子, 进一步说明假 设检验的一般步骤. 例2 某厂生产的螺钉,按标准强度为68/mm2, 而实 2 N ( , 3 . 6 ) . 若 EX 68 , 际生产的强度X 服从 则认为这批螺钉符合要求,否则认为不符合要求.现 从整批螺钉中取容量为36的样本,其样本均值为 68.5 ,问原假设是否正确? 0.05
μ=μ0
X 0 U ~ N (0,1) / n
第 十 五 周
φ(x)
μ≠μ0(假设μ>μ0)
α/2
β
u1-α/2 0
α/2
x
/ n
- u1-α/2
U X 0 0 0 ~ N( ,1), EU / n / n / n
…99个
小概率事件在一次试验中竟然发生了, 不 能不使人怀疑所作的假设.
11
2017年10月29日7时12分
在假设检验中, 我们称这个小概率为显
著性水平, 用 表示.
第 十 五 周
的选择要根据实际情况而定. 常取
0.01, 0.05, 0.1
现在回到我们前面罐装可乐的例中: 在提出原假设H0后, 如何作出接受或拒 绝H0的结论呢?
P{| U | U1 2}
13 2017年10月29日7时12分
P{| U | U1 2}
也就是说, “ | U | U1 2 ”是一个小概率事件.
f ( z)
第 十 五 周
故我们可以取拒绝域为：
U ~ N (0,1)
W | U | U1
2
U1 2 U1 2
20 2017年10月29日7时12分
任何检验方法都不能完全排除犯错 误的可能性.理想的检验方法应使犯两类 错误的概率都很小,但在样本容量给定的 情形下,不可能使两者都很小,降低一个, 往往使另一个增大.
假设检验的指导思想是控制犯第一类
第 十 五 周
错误的概率不超过, 然后,若有必要,通
过增大样本容量的方法来减少 .
第 十 五 周
第一类错误 第二类错误
弃真错误 纳伪错误
三、假设检验可能犯的两类错误(P200)
实际情况
决定 H0为真 H0假 正确 第二类错误
第 十 五 周
拒绝H0 第一类错误 接受H0 正确
犯第一类错误的概率通常记为 犯第二类错误的概率通常记为
P 拒绝H 0 H 0真 ， P 接受H 0 H 0假
2
(5.3) (1.37) 1 0.9147 0.0853
ch8-23 2017 年10月29日7时12分
69.18 66 66.82 66 0.6 0.6
若
69 , n 36, X ~ N ( 69,3.6 / 36 ) 69 P ( 66.82 X 69.18 69 )
…99个
第 十 五 周
我们不妨先假设: 这个盒子里有99个白球. 现在我们从中随机摸出一个球, 发现是
此时你如何判断这个假设是否成立呢？
10 2017年10月29日7时12分
小概率事件在一次试验中基本上不会发生. 假设其中真有99个白 球, 摸出红球的概率只有 1/100, 这是小概率事件.
第 十 五 周
99个红球 一个白球 …99个 99个白球 一个红球
第 十 五 周
…99个
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小概率事件在一次试验中基本上不会发生.
第 十 五 周
现从两盒中随机取出一个盒子, 问这个 盒子里是白球99个还是红球99个?
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2017年10月29日7时12分
小概率事件在一次试验中基本上不会发生.
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这样, 我们可以认为X1, …, X5是取自正态 总体N ( , 2 )的样本, 当生产比较稳定时,
第 十 五 周