周期与非周期振动
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❖ 对应的响应为： x p t
求解
振系在简谐激励 f(t)ancosnt 与 f(t)bnsinnt 分别作用下,相应的强迫振动可依次表示为
x k
1n22 p2 an22np2cosn tn
x k
1n22 p2 bn22np2sinntn
n arctan12nnpp2
组集总响应
❖ 根据线性系统的叠加原理
实例
例1 无阻尼单自由度系统受如图所示的周期方 波激励。试求系统的稳态响应。
解：周期方波激励 的数学描述为
F(t) F0F0
(0tT2) (T2tT)
式中T为周期。
将F(t)展开为傅里叶级数，其傅里叶级数的系
数为
a0T 2
T2
F(t)dt0
T2
ajT 2 T T2 2F (t)cojs t)d (t0
2
(n1,2,3,L)
周期激励函数一般都满足收敛定理的条件，都 可以展开为如下形式的傅立叶级数：
f(t)a 2 0 n 1a nc o snt b nsin nt
a 2 0 a 1c o st b 1sint a 2c o s2t b 2sin 2t L a nc o snt b nsin nt L
例2 图示凸轮使顶杆D沿水平线作周期锯齿波 形运动，通过弹簧k1使振动系统有强迫振动。已 知凸轮升程为2 cm，转速为60 r/min,k1=k=10 N/cm,c=0.5 N·s/cm,m=1/20 kg。试求振动系统 的稳态振动。
解：顶杆D的运动方 程为
x1
2t T
(0tT)
图 3.7-2
激振频率为1 Hz，即T=1 s，=2 s -1 。将激励x1
谐波分析法基本思想： 首先，将周期激励分解为一系列简谐激励之和。 然后，求出系统对各个简谐激励的响应。 最后，由线性系统的叠加原理，将每个响应叠加 起来。 即得到系统对周期激励的响应。
周期激励的处理
❖ 将f(t)展成Fourier级数： f (t) ReApejpt p0
❖ 其中的第p项为：fp(t)ReApejHale Waihona Puke Baidut
第2章 单自由度系统
机械工程学院 王文瑞 博士，副教授
gmbitwrwustb.edu
2.6 周期强迫振动 2.7非周期强迫振动
2.6 周期强迫振动
❖ 模型简化依据：非简谐的周期激励在工程结构中的振 动中大量存在，一般地，如果周期激励中的某一谐波 的振幅比其他谐波的振幅大得多，大多可以作为简谐 激励；反之，则周期激励。
2 2(j 1)2(cj ot sjtsij n t)0 2 / j2 1 2(cj2 o sj2 sij2 n 1 )0
b j T 20 T x 1 sj itn d t 2 22 20 2 tsj itn d t
2 2(j 1)2(sj itn jtco jts )0 2 / j2 1 2(sj2 in j2 co j2 s)j2
则对应于激励的j次谐频 态运动为
2k1
j
sin，j振t 动系统的稳
xj (kk1) j2k1(s1 in jj2 t2 ( )2j)(2j)2
tgj12(jj)2
对应于常数项k1，振动系统的响应为 因此，在凸轮运动x的0 作k 用k1k下1 ，振动系统的稳态运
动为
xk k1k112j 1j
sin jt(j)
xa0ancosntnbnsinntn
2k n 1 k 1n22 p222np2
n
2n p
arctan
1n
p2
结论
❖ 系统的稳态响应也是周期函数，其周期仍然为T，并 且激励的每个谐波都只引起与自身频率相同的响应 ，这是线性系统的特点。
❖ 在周期激励中，只要系统的固有频率和激励中的某 一谐波频率接近就会发生共振，因此，对于周期激 励，要避开系统共振区比简谐激励要困难。通常使 用适当增加系统阻尼的方式来减振。
的条件， 则它的傅立叶级数展开式为
f(t)a 2 0n 1 a nco s2 T n tb nsin2 T n t
其中系数 a n , b n 利用三角函数的正交性求出：
T
an
2 2 TT
f(t)cos2ntdt
T
2
(n0,1,2,L)
T
bn
2 2 TT
f(t)sin2ntdt
T
❖ 求解方法：一般周期激励下系统的响应问题需要将激 励展开为Fourier级数，分别求出各个谐波引起的响 应，再利用叠加原理得到系统的响应。
周期函数展开为傅立叶级数的物理意义: 把一个比较复杂的周期激励看成是许多不同频率
的简谐激励的叠加。
Fourier级数 定理：设周期为T的周期函数f(t)满足收敛定理
其中
2 T
T
a n
2 T
2 T
f (t) cos n tdt
2
(n 0,1, 2,L )
T
b n
2 T
2 T
f (t) sin n tdt
2
(n 1, 2, 3,L )
谐波分析
• 频率 称为基本频率，简称基频；对应于 基频的简谐分量，称为基波；
• 对二次应谐于波频，率三为2次 谐波，，3等 等。 的简谐分量称为
得x1的傅里叶级数为
x1
12
1sinjt
j1 j
振动系统的运动微分方程为
m x c x k k 1 x ( x x 1 )
令 m x c x (k k 1 )x k 1 x 1 k 1 2 k 1j 11 jsijn t
n 2k m k 1, 2 n m c, n
(1j22） 2 （ 2j)2
展开成傅里叶级数为
x1a 2 0j 1(ajcojs tbjsij nt)
傅里叶级数的系数为
a 0T 20 Tx 1 d t2 2 0 2 2 2 td t 2 20 2/tdt22 2t20 2/2
a j T 20 T x 1 cjo td ts 2 22 20 2 tcjo td ts
b j T 2 T T 2 2 F ( t) si jt n ) d t ( 4 T F 00 T /2 si jtn ) d t(
0 j为偶数
2jF0(cojs1)4jF0 j为奇数
则周期方波表示的傅里叶级数为
F(t)4F0j1, 3,5,1jsinj(t)
求得响应为
xj1, 3,5,4 kF 01j1sijn j t()n2
求解
振系在简谐激励 f(t)ancosnt 与 f(t)bnsinnt 分别作用下,相应的强迫振动可依次表示为
x k
1n22 p2 an22np2cosn tn
x k
1n22 p2 bn22np2sinntn
n arctan12nnpp2
组集总响应
❖ 根据线性系统的叠加原理
实例
例1 无阻尼单自由度系统受如图所示的周期方 波激励。试求系统的稳态响应。
解：周期方波激励 的数学描述为
F(t) F0F0
(0tT2) (T2tT)
式中T为周期。
将F(t)展开为傅里叶级数，其傅里叶级数的系
数为
a0T 2
T2
F(t)dt0
T2
ajT 2 T T2 2F (t)cojs t)d (t0
2
(n1,2,3,L)
周期激励函数一般都满足收敛定理的条件，都 可以展开为如下形式的傅立叶级数：
f(t)a 2 0 n 1a nc o snt b nsin nt
a 2 0 a 1c o st b 1sint a 2c o s2t b 2sin 2t L a nc o snt b nsin nt L
例2 图示凸轮使顶杆D沿水平线作周期锯齿波 形运动，通过弹簧k1使振动系统有强迫振动。已 知凸轮升程为2 cm，转速为60 r/min,k1=k=10 N/cm,c=0.5 N·s/cm,m=1/20 kg。试求振动系统 的稳态振动。
解：顶杆D的运动方 程为
x1
2t T
(0tT)
图 3.7-2
激振频率为1 Hz，即T=1 s，=2 s -1 。将激励x1
谐波分析法基本思想： 首先，将周期激励分解为一系列简谐激励之和。 然后，求出系统对各个简谐激励的响应。 最后，由线性系统的叠加原理，将每个响应叠加 起来。 即得到系统对周期激励的响应。
周期激励的处理
❖ 将f(t)展成Fourier级数： f (t) ReApejpt p0
❖ 其中的第p项为：fp(t)ReApejHale Waihona Puke Baidut
第2章 单自由度系统
机械工程学院 王文瑞 博士，副教授
gmbitwrwustb.edu
2.6 周期强迫振动 2.7非周期强迫振动
2.6 周期强迫振动
❖ 模型简化依据：非简谐的周期激励在工程结构中的振 动中大量存在，一般地，如果周期激励中的某一谐波 的振幅比其他谐波的振幅大得多，大多可以作为简谐 激励；反之，则周期激励。
2 2(j 1)2(cj ot sjtsij n t)0 2 / j2 1 2(cj2 o sj2 sij2 n 1 )0
b j T 20 T x 1 sj itn d t 2 22 20 2 tsj itn d t
2 2(j 1)2(sj itn jtco jts )0 2 / j2 1 2(sj2 in j2 co j2 s)j2
则对应于激励的j次谐频 态运动为
2k1
j
sin，j振t 动系统的稳
xj (kk1) j2k1(s1 in jj2 t2 ( )2j)(2j)2
tgj12(jj)2
对应于常数项k1，振动系统的响应为 因此，在凸轮运动x的0 作k 用k1k下1 ，振动系统的稳态运
动为
xk k1k112j 1j
sin jt(j)
xa0ancosntnbnsinntn
2k n 1 k 1n22 p222np2
n
2n p
arctan
1n
p2
结论
❖ 系统的稳态响应也是周期函数，其周期仍然为T，并 且激励的每个谐波都只引起与自身频率相同的响应 ，这是线性系统的特点。
❖ 在周期激励中，只要系统的固有频率和激励中的某 一谐波频率接近就会发生共振，因此，对于周期激 励，要避开系统共振区比简谐激励要困难。通常使 用适当增加系统阻尼的方式来减振。
的条件， 则它的傅立叶级数展开式为
f(t)a 2 0n 1 a nco s2 T n tb nsin2 T n t
其中系数 a n , b n 利用三角函数的正交性求出：
T
an
2 2 TT
f(t)cos2ntdt
T
2
(n0,1,2,L)
T
bn
2 2 TT
f(t)sin2ntdt
T
❖ 求解方法：一般周期激励下系统的响应问题需要将激 励展开为Fourier级数，分别求出各个谐波引起的响 应，再利用叠加原理得到系统的响应。
周期函数展开为傅立叶级数的物理意义: 把一个比较复杂的周期激励看成是许多不同频率
的简谐激励的叠加。
Fourier级数 定理：设周期为T的周期函数f(t)满足收敛定理
其中
2 T
T
a n
2 T
2 T
f (t) cos n tdt
2
(n 0,1, 2,L )
T
b n
2 T
2 T
f (t) sin n tdt
2
(n 1, 2, 3,L )
谐波分析
• 频率 称为基本频率，简称基频；对应于 基频的简谐分量，称为基波；
• 对二次应谐于波频，率三为2次 谐波，，3等 等。 的简谐分量称为
得x1的傅里叶级数为
x1
12
1sinjt
j1 j
振动系统的运动微分方程为
m x c x k k 1 x ( x x 1 )
令 m x c x (k k 1 )x k 1 x 1 k 1 2 k 1j 11 jsijn t
n 2k m k 1, 2 n m c, n
(1j22） 2 （ 2j)2
展开成傅里叶级数为
x1a 2 0j 1(ajcojs tbjsij nt)
傅里叶级数的系数为
a 0T 20 Tx 1 d t2 2 0 2 2 2 td t 2 20 2/tdt22 2t20 2/2
a j T 20 T x 1 cjo td ts 2 22 20 2 tcjo td ts
b j T 2 T T 2 2 F ( t) si jt n ) d t ( 4 T F 00 T /2 si jtn ) d t(
0 j为偶数
2jF0(cojs1)4jF0 j为奇数
则周期方波表示的傅里叶级数为
F(t)4F0j1, 3,5,1jsinj(t)
求得响应为
xj1, 3,5,4 kF 01j1sijn j t()n2