大学物理-高斯定理

qi 0 Φe 0
表明：有电力线穿入闭合曲面而终止于负电荷，
所以负电荷是静电场的尾。 对连续带电体，高斯定理为：
SE
dS
1
0
dq
总结
高斯定理
Φe
E dS
1
S
0
n
qi
i 1
qk 1
qi
q1
q2 qn
dS
E
1）高斯面上的电场强度为所有内外电荷的总电场强度。
2）仅高斯面内的电荷对高斯面的电场强度通量有贡献。
3）穿进高斯面的电场强度通量为负，穿出为正。
4）反映了静电场的基本性质——静电场是有源场。
正电荷是发出电场线的源头，负电荷是吸收电场线的闾尾。
问题：
1
E
S
dS
o
qi
( s内)
1）如果高斯面上 E 处处为零，则该面内必无电荷。
如果高斯面上 E 处处为零，则该面内必无净电荷。
2）如果高斯面内无电荷，则高斯面上 E 处处为零。 如果高斯面内无电荷，则高斯面上 E 不一定为零。
dS2
E2 2
1 E1
θ1
π 2
,
dΦe1 0
电场线穿出闭合面为正通量，
θ2
π 2
,
dΦe2 0
电场线穿入闭合面为负通量。
Φ表e 示穿出与穿入闭合曲面的电场线的条数之差，也
就是净穿出闭合曲面的电场线的总条数。
例：一个三棱柱体处在电场强度
E
200iN的匀C强1电场
中。求：通过此三棱柱体表面的电通量。
2）选择适当的高斯面，并写出通过该高斯面的电通 量。
3）求出高斯面所包围的电量。 4）按高斯定理求出场强。
如何选取高斯面：
Φe
E dS
1
S
ε0
qi (内)
1）高斯面必须是闭合曲面；
2）高斯面必须通过所求的场点；
3）高斯面的形状必须简单规则，以便于计算穿过该面 的电通量。
4）使高斯面上各点的场强大小相等，方向与高斯面法线 方向一致。
1855年2月23日在格丁根逝世。
高斯长期从事于数学并将数学应用于物理学、天文学 和大地测量学等领域的研究，主要成就：
(1) 物理学和地磁学：关于静电学、温差电和摩擦电的研究、 利用绝对单位（长度、质量和时间）法则量度非力学量以及地磁 分布的理论研究。
(2) 光学 ：利用几何学知识研究光学系统近轴光线行为和成 像，建立高斯光学。
大学一年级（19岁）时就解决了几何难题：用直尺 与圆规作正十七边形图。1799年以论文 《所有单变数的有理函数都可以解成一次或二次的因式 这一定理的新证明》获得博土学位。
1807年起任格丁根大学数学教授和天文台台长，一 直到逝世。1838年因提出地球表面任一点磁势均可以表示 为一个无穷级数，并进行了计算，从而获得英国皇家学 会颁发的科普利奖章。
3）如果高斯面上 E 处处不为零，则该面内必有电荷。 如果高斯面上 E 处处不为零，则该面内不一定有电荷。
4）高斯面内的电荷代数和为零时，则高斯面上各点的 场强一定为零。
高斯面内的电荷代数和为零时，则高斯面上各点的 场强不一定处处为零。
讨论
将 q2从 A移到 B
点 P电场强度是否变化？
s 穿过高斯面 的 有Φ否e 变化？
1、高斯定理
在真空中的静电场内，通过任一闭合曲面的电场强度通
量，等于该曲面所包围的所有电荷的代数和除以 。
ε0
Φe
E dS
S
1
0
n
qi内
i 1
（与面外电荷无关，闭合曲 面称为高斯面） 请思考：1）高斯面上的 与E那些电荷有关 ？
s 2）哪些电荷对闭合曲面 的 有Φ贡e献 ？
高斯定理可用库仑定律和场强叠加原理导出。
解： Φe Φe前 Φe后 Φe左
y
Φe右 Φe下
Φe前 Φe后 Φ e下
s
E
dS
0
n
o
z
Φe左
s左
E
dS
ES左
cos
π
ES左
Φe右 s右E dS ES右 cos ES左
n
E
x
n
Φe Φe前 Φe后 Φe左 Φe右 Φe下 0
二、静电场中的高斯定理（Gauss’ Law）
定义：通过电场中某一曲面 的电场线数，叫做通过这个 面的电通量。
均匀电场 ， 垂E直平面 S
Φe ES 均匀电场 ， 与E平面夹角
Φe
ES
ES
E S， S
cos θ
= Sn
E
S
n
S θ
E
非均匀电场，S 为任意曲面（不闭合的）
dS dS n
dΦe E dS
Φe dΦe
为面元矢量
(3) 天文学和大地测量学中：如小行星轨道的计算，地球大 小和形状的理论研究等。
(4) 试验数据处理：结合试验数据的测算，发展了概率统计 理论和误差理论，发明了最小二乘法，引入高斯误差曲线。
(5) 高斯还创立了电磁量的绝对单位制。
一、电通量 1、电场线 ( Electric Field Line ) （电场的几何描述）
高斯定理的导出
1）点电荷位于球面 中S心
Φe SE dS SEdS cos0
q E 4πε0r 2
E dS
E SdS
q 4πε0r 2
SdS
q 4πε0r 2
4πr 2
q ε0
q
+ r
S
结果与球面半径无关，即以点电荷q 为中心的任一球面，不论 半径大小如何，通过球面的电通量都相等。
2）点电荷在任意闭合曲面 内S '
7.3 高斯定理
高斯（Carl Friedrich Gauss，1777～1855） 德国数学家、天文学家、 物理学家
高斯在数学上的建树颇丰， 有 “数学王子” 美称。
1777年4月30日生于布伦瑞克。 童年时就聪颖非凡，10岁发现等 差数列公式而令教师惊叹。
因家境贫寒，父亲靠短工为生，在一位贵族资助下与 1795～1798年入格丁根大学学习。
S '和 S包围同一个点电荷。由于电场线的连续性，通过两个
闭合曲面的电场线的数目是相等的，所以
通过 S的' 电通量：
Φ'e
E
S'
dS
Φe
q ε0
即：通过任一个包围点电荷
的闭合曲面的电通量与曲面
无关，结果都等于
q
ε0
R
q
S S'
3）点电荷在闭合曲面之外
dΦ1 E1 dS1 0
dΦ2 E2 dS2 0
但如果电荷分布具有的对称性，能使场强这个物理 量从积分号下提出来，左面只剩下面积积分，问题就简 单地解决了。
例：均匀带电球面的电场强度
一半径为 ,R均匀带电 的薄Q球
壳（面）。求：球面内外任意点的电 场强度。
解：均匀带电球面的电场分布具有球 对称性。
取半径 r 的同心球面为高斯面，
r S +
r +
S
qi
ρ 4 πr 3 3
E 4r 2
1
0
qr 3 R3
场强：
E
qr
40 R3
r
3 0
q ρ
4 πR3 3
取高斯面。
E
q R
r
r >R 时：
电通量
Φe
E dS E4πr 2
S
电量
qi q
q
由高斯定理
r
E4πr 2 q ε0
场强
E
q 4πε0r 2
E
R
均匀带电球体场强大小
q
分布曲线
+ + 1+
O
+ +
+R +
s +++ 2
高斯面上场强大小相等，方向与面元外法向一致。
由高斯定理：
EdScos E 4πr 2
S
qi内 / ε0
球对称时的高斯定理可写为：
E 4πr 2 1 εo
qi内
E 4πr 2 1 εo
qi内
（1） 0 r R
E dS 0 E 0 S1
电场线的这些性质是由静电场的基本性质和场的 单值性决定的。可用静电场的基本性质方程加以证明。
点电荷的电场线
正点电荷
负点电荷
+
一对等量异号点电荷的电场线
+
一对等量正点电荷的电场线
+
+
一对不等量异号点电荷的电场线
2q
q
带电平行板电容器的电场线 ++++++++++++
2、电场强度通量（Electric Flux）
q2 A P*
s
q2 B
q1
在点电荷 和q 的q静电场中，做如下的三个闭合面
求通过各闭合S面1 ,的S电2 ,通S量3。,
Φe1
E dS
q
S1
0
Φe2 0
Φe3
q
0
q
q
S1
S2
S3
例：一点电荷位于边长为 a 的立方体的顶角上， 求：通过该立方体表面总的电通量。
解： 顶角所在的三个面上的通量为零。 其余三个面上直接计算困难
q内
4 or 2
q2
R1 r R2 :
E
q1
4 εor 2
;
r R2 :
E
q1+q2
4 εor 2
q1
R1 o
R2
例：无限大均匀带电平面，面电荷密度为 ，
求：平面附近某点的电场强度。
解： 具有面对 称性， 作闭合圆柱面为高斯面。
e SE dS
E dS E dS E dS
S1
复习 库仑定律
电场强度的计算
F
1
4 0
q1q2 r2
r0
电场强度
E
F
q0
(1) 点电荷的场强
E
1 4πε0
q r2
r0
(2) 场强叠加原理
E E1 E2 En
(3) 电荷连续分布的 带电体的电场
电 荷
E dE
dq
r
(q)
(q) 4 0r 3
分 布
dq ρdV (体 分 布) dq σdS (面 分 布) dq λdl (线 分 布)
0 0
qk 1
E dS
S
1
ε0
Φe
qi (内)
E dS
1
S
ε0
qi (内)
q1
qi q2
dS E
qi(内)是指面内电荷代数和。
qn
Φe
E dS
1
S
0
n
qi内
i 1
高斯定理 说明： 静电场是有源场。
qi 0 Φe 0
表明：电力线从正电荷发出，穿出闭合曲面， 所以正电荷是静电场的源头。
q
dΦ1 dΦ2 0
Φe
E dS 0
S"
E2
dS2
dS1 E1
4）在点电荷系的电场中，通过任意闭合曲面的电通量
E Ei E1 Ek Ek1 En
i
面内电荷产生
面外电荷产生
Φe
q1 ε0
E dS
S
qk ε0
S
Ei dS
i (内)
E dS
S
i (外)
规定：
1）曲线上每一点的切线方向表示该点场强的方向；
2）通过垂直于电场方向单位面积的电场线条数等
于该点电场强度的大小。
E dN / dS
ddSS⊥
E
E
电场线稀疏的地方场强小， 电场线密集的地方场强大。
电场线的特性
1） 电场线起始于正电荷(或无穷远处)， 终止于负电荷，不会在没有电荷处中断；
2） 电场线不相交。 3） 静电场电场线不闭合。
E
n
dS
E
S E cos dS
Φe
E dS
S
为通过 S 面的电通量。
dS 有两个法线方向，dφ 可正可负。
S为封闭曲面
规定：闭合面上各面元的外法
E
dS1
线方向为正向。
dΦe E dS Eds cos θ 通过闭合曲面的电通量为：
Φe SE dS S E cos dS
考虑用 8 个这样的立方体将点 电荷拥在中心。
其外表面上的电通量为：
Φ'e
E dS
q
S
ε0
•
由对称性：
e
3 24
q
0
2、高斯定理的应用
Φe
E dS
1
S
ε0
qi (内)
高斯定理的一个重要应用是：
计算带电体周围电场的电场强度。
只有在场强分布具有一定的对称性时，才能比较方便应 用高斯定理求出场强。
（2） r R
Q
E dS
S2
ε0
4 πr 2 E Q ε0
E Q 4 πε0r 2
r S +
r +
+ + 1+
O
+ +
+R +
s +++ 2
QE
4π 0R2
o Rr
例：均匀带电球体，已知 q、R。 求：任意点的电场强度。
解： 对称性分析， E具有球对称性
r < R 时： Φe
E dS E4πr 2
R
o
r R,
E
qr 4πε0 R3
r R,
E
q 40 R2
q
E 4πε0r 2
o
R
r
例：两同心均匀带电球面，半径为 R1 和 R2 ，分别带 电 q1 和 q2 。求：空间电场分布。
解：由对称性可知，电场方向是沿径向向外的。
由球对称时的高斯定理：
R < R1 :
E 0
= 0;
4εor 2
E
求解的关键是选取适当的高斯面。 常见的具有对称性分布的源电荷有：
球对称：如均匀带电的球体、球面、球壳。 轴对称：如均匀带电的长直柱体、柱面。 平面对称：如均匀带电的无限大平面、平板。
Φe
E dS
1
S
ε0
qi (内)
用高斯定理计算场强的步骤：
1）分析场强分布的对称性，找出场强的方向和场强 大小的分布。
或高斯面上某一部分各点的场强方向与高斯面法线方向
垂直，该部分的通量为零。而另一部分各点的场强大小相等， 方向与高斯面法线方向一致。
注意
Hale Waihona Puke Baidu Φe
E dS
1
S
ε0
qi (内)
高斯定理在任何电荷分布情况下都成立，但只有少
数几种高度对称电荷分布的系统，其场强才能用高斯定
理简单地计算出来。
这是因为： 已知电荷分布，利用高斯定理求场强，意味着 要解上面的积分方程！
S2
S侧
ES1 ES2 0 S / 0
qi内 σS
S
2ES
0
σ E
2ε0
S2
S侧
S1
E
2 0
无限大均匀带电平面的场强
E
EE
E
x
O
( 0)
E
讨论
无的 限电 大场 带叠 电加 平问 面题
0
0