溶液浓度的变化

设水箱里盛有体积为V(单位为L)、浓度为n 0(单位为kg/L)的盐水，一个进水管，一个出水管，打开阀门时，进水的速率q 1和出水速率q 2 (单位为L/min).

现在同时打开进水管和出水管的阀门，进水管注入的盐水浓度为n 1，出水管盐水浓度n ，经过一段时间，把阀门同时关闭，问此时水箱中盐水浓度是多少？ 解：设t 时刻容器中含盐量为x ，盐水体积为V+(q 1-q 2)t →浓度为

12()x

n V q q t

=

+- <1>

经过dt ，在t+dt 时刻，含盐量增加

112()dx q n q n dt =- <2>

112q n q n -表示单位时间内进入容器的盐净含量；<2>代入<1>

11212()dx x q n q dt V q q t

=-+- <3> 初始条件x(0)=x 0=n 0V <4> 解此初值问题得到t 时刻含盐量：

2

12

11201

12()(())()()q q q V

x t n V q q t x nV V q q t -⎛⎫=+-+- ⎪+-⎝⎭

<5>

盐水浓度

12()()()x t n t V q q t =

+-→112

10112()()()q q q V

n t n n n V q q t -⎛⎫=+- ⎪

+-⎝⎭

<6>

由2

1

12

1221()12121()q t q V V

q

q q q q t

t q q q

V

V q q t e

V q q t V -

---→=⎛

⎫⎛⎫-⎛⎫ ⎪=+−−−−→ ⎪

⎪ ⎪+-⎝⎭⎝⎭

⎝

⎭

→对于特殊情况

q 1=q 2=q ，有101()()q t V

n t n n n e

-=+- <6>

=

解：对A 、B ，设t 时刻盐含量分别为x 、y ，进出流量按照题设分别为q 1=15L/L ，q 2=5L/min ，q 3=20L/min ，此刻 A 、B 中盐水浓度

11123()x n V q q q t =

++- <1> 22312()y

n V q q q t

=+-- <2>

经过一段极短的时间dt ，含盐量增量分别变为：

2231()dx q n q n dt =- <3> 31122(())dy q n q q n dt =-+ <4>

代入数值条件：

1040dx x y dt =-+ <5> 1010

dy x y dt =- <6> 初始条件：x(0)=60g ，y(0)=0 <7> 解这个初值问题得到

()()0.050.150.050.15()30()60t t t t

x t e e y t e

e ----⎧=+⎪

⎨=-⎪⎩ <8> x(t)、y(t)分别为A 、B 在任一时刻t 含盐量。

浓度：将<8>代入<1><2>得到 ()

()

0.050.15

10.050.15

23()20

3()10t t t t n t e e n t e e ----

⎧

=+⎪⎪⎨

⎪=-⎪⎩

代入：2

12

1120112()(())()()q q q V

x t n V q q t x nV V q q t -⎛

⎫=+-+-

⎪

+-⎝⎭

V=100L ，x 0=50g ，n 1=2g/L ，q 1=3L/min ，q 2=2L/min ，t=30min 解得：此刻的含盐量x(30)= 171.24g

解：设t 时刻盐水浓度为n(t)=n ，在时间dt 内，浓度的变化为dn=(n 1-n)udt/V ;V=100L ，n 1=0.01kg/L ，u=3L/min ；(n 1-n)udt 表示在dt 内，盐水中纯盐的减小，推出

1dn u

dt kdt n n V

=-@ <1> k=u/V=0.03/s 1111()ln()d n n dn V

dt kdt kdt n

n kt c n n u n n -=?-?=-+--@

1(0)kt n n n e -=+ <2>

代入n(0)=0.05kg/L ，n 1=0.01kg/L ，解得C=0.04kg/L:

0.030.010.04t n e -=+ (kg/L ) <3>

含盐量m=nV ==> 0.0314t

m e

-=+(kg) 代入t=30min 解得m(30)=2.626kg

根据结果<3>，当t →∞时，盐水浓度n →0.01kg/L ，容器含盐量m=nV=1kg. !!!解：盐水总体积V 保持不变，进出盐水的流速u=3L/min 。进入盐水的浓度为c 0=0.01kg/L ；t 时刻的浓度c=c(t)

初始的含盐量m 0=5kg ；t 时刻的含盐量m=m(t)符合

00()m m c c ut =+- <1> m

c V =

<2>00m c ut

c V ut

+?+ <3>

当t=30min 时，代入<3>解得：c=59/1900kg/L=3.105%(kg/L)，含盐量m(30)=cV=3.105kg 由<3>00//m t c u

c V t u

+=

+当t →∞时c →c 0=0.01kg/L ，含盐量m(∞)→c 0V=1.00kg.

浓度对时间的变化率

0()

u c c dc dt V

-=

<1>uc 0表示单位时间里进入容器的纯盐，uc 表示单位时间里从容器流出的纯盐，V=100L ，u=3L/min ，c 0=0.01kg/L

00000()()ln();/u c c d c c dc dc u

u

dt dt dt V c c V c c

V c c kt k u V

--=??-

--?=-=

0kt c c be -=+ <2>

代入c 0=0.01kg/L,k=u/V ,u=3L/min ；V=100L==>k=-0.03/s ；当t=0时，c=m 0/V=0.05kg/L 解得b=0.04kg/L

0.030.010.04t c e -=+ <3>代入t=30min 得c=0.02626kg/L==>含盐量m=cV=2.626kg

从<3>可知，当时间趋于无穷时，当t →∞时c →c 0=0.01kg/L ，含盐量m(∞)→c 0V=1.00kg. 一容器在开始时盛有盐水100升，其中含净盐10公升，然后以每分钟3升的速率注入清水，同时又以每分钟2升的速率将冲淡的溶液放出，容器中装有搅拌器，使容器中的溶液保持均匀，求过程开始后1小时溶液的含盐量

解：t=0时，容器中纯盐为10L ，初始浓度n(0)=10%；设t 时刻盐水浓度为n ，

从t 时刻到t+dt 时刻，盐水体积100+t ，浓度变化为dn ，(100+t)dn 表示dt 内容器中纯盐量的减小2ndt:

2222(100)20ln (100)10010001000

(100);(0)0.1;1000(100)(100)100dn

dt

t dn ndt n t c

n

t

n t C n C n m n t t t

+=-?

=?=++===??+=

++t=60min 代入m=1000/160L=50/8L=6.25L