材料力学-13、14
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应力保持不变， 应变随时间的增 加而增加。
t1 t 2 t1 t 2 t1
t2
＝const.
引
言
蠕变与松弛
松弛(Relaxation)
应变保持不变， 应力随时间的增加 而减少。
t1 t 2 t1 t2
t1
t2
=const.
引
言
蠕
蠕变与松弛
变 松
弛
线弹性 线性粘弹性 非线性粘弹性
与时间无关 的应力－应变关系
t1 t 2
线性弹性
引
言
应力—应变与时间的关系
与时间有关的 线性应力－应变 关系
t1
t2
线性粘弹性
引
言
应力—应变与时间的关系
与时间有关的 非线性应力－应 变关系
t1 t 2
非线性粘弹性
引
言
蠕变与松弛
引
言
蠕变与松弛
蠕变(Creep)
A
17.1
E (1) tan
17.1 0.02
0.02
非线性粘弹性设计— 伪弹性设计方法
应用举例
F
d
根据梁的最大正应力公式,有
l
max
Mmax 32 Fl 17.1 3 W πd
3
32 Fl d ＝ .07mm 13 π 17.1
非线性粘弹性设计— 伪弹性设计方法
应用举例
首先，由 20℃ 时 的蠕变曲线族, 得到 一年时的等时线
非线性粘弹性设计— 伪弹性设计方法
应用举例
A
17.1
0.02
然后，在曲线上 找到对应于 =0.02 的点A,由此确定所 能承受的最大应力 并作割线OA,则1年 时的弹性模量。
非线性粘弹性设计— 伪弹性设计方法
应用举例
工程应用举例
聚合物线性粘弹性 行为描述
工程应用举例
0.2% 初始加载 3.10MPa
1 年 后
0.2% (1) 2.07MPa
0.2% 2 年 后 (2) ?
聚合物线性粘弹性 行为描述
工程应用举例
非线性粘弹性设计— 伪弹性设计方法
应用举例
F
d
l
二乙醇材料制成的悬臂梁，在自由端承受集 中力F，若已知 F = 25N,l = 0.15m, 20C 时的蠕变曲线，且要求一年内应变值不超 过0.02。
求: 1.设计梁的直径; 2.求一年时的最大挠度.
非线性粘弹性设计— 伪弹性设计方法
结论与讨论
关于 Laplace变换 在粘弹性分析中的应用
有兴趣的同学可参阅《工程力学教 程》(II)(范钦珊 主编，北京，高等 教育出版社，1998)中的“ 材料的力 学行为”一篇中的有关内容。
本章作业
13－1，13－2， 14－9，14－10
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d dt
d dt
粘度
应变速率
聚合物线性粘弹性 行为描述
两种基本元件
性能差异 元 件
应力与 回 复 性 应变速率 可 以 无 关
弹 性 元 件 粘 性 元 件
不
可
有
关
聚合物线性粘弹性 行为描述
两种基本元件
两种元件的不同组合(串联和并联) 可以描述线性粘弹性行为。
t (1)
0
ln 0.404
聚合物线性粘弹性 行为描述 将
k
工程应用举例
0.404 代入 Maxwell 模型的本构方程
d
ln
0
Leabharlann Baidu
k
dt
t
(t )
0.404t 0
0.404t
t ) e
聚合物线性粘弹性 行为描述
聚合物线性粘弹性 行为描述
串联模型—Maxwell模型
聚合物线性粘弹性 行为描述
串联模型—Maxwell模型
k
t 1 2
k
d t d 1 d 2 dt dt dt
d t 1 d dt k dt
工程应用举例
t ) e
0.404t
当 t = 2 年时，杆内的应力值为
2) e
0.404 2
3.10e
0.404 2
非线性粘弹性设计— 伪弹性设计方法
非线性粘弹性设计— 伪弹性设计方法
蠕变曲线、等应变曲线 和等时线 伪弹性设计方法 应用举例
应用举例
F
d
l
根据悬臂梁自由端弹性挠度公式,有
Wmax
Fl 3 22.96mm 3E (t ) I
结论与讨论
结论与讨论
粘弹性模型与本构方程 各种模型所能处理问题的范围 关于 Laplace 变换在粘弹性 分析中的应用
结论与讨论
粘弹性模型与本构方程
结论与讨论
聚合物粘弹性行为对时间响应的 两种形式 应变响应： t ) Cc (t ) 应力响应： t ) Er (t )
结论与讨论
各种模型所能 处理问题的范围
模型功能
Cc (t ) 不为常数者，可处理蠕变问题
Er (t ) 不为常数者，可处理松弛问题
结论与讨论 同学们可以证明：
伪弹性设计方法
非线性粘弹性设计— 伪弹性设计方法
伪弹性设计方法
伪弹性设计方法 (Pseudo-Elastic Method ) 要 点
弹性静力学中关于杆件在弹性范围内 适用的所有应力、 变形和位移公式，在 设计中都可直接应用，但弹性模量不再 为常数，而与时间有关，即E=E(t)。
非线性粘弹性设计— 伪弹性设计方法
粘弹性模型与本构方程
广义麦克斯韦模型
k1
1
k2
2
kn n
结论与讨论
粘弹性模型与本构方程
广义开尔文模型
1
k1
2
k2
n
kn
结论与讨论
粘弹性模型与本构方程
上述各种模型，怎样建立 相应的本构关系？
结论与讨论
各种模型 所能处理问题的范围
结论与讨论
各种模型所能 处理问题的范围
非线性粘弹性设计— 伪弹性设计方法
蠕变曲线、等应变曲线 和等时线
等时线
保持时间不变，由蠕变曲线族得 到的应力－应变关系曲线
非线性粘弹性设计— 伪弹性设计方法
蠕变曲线、等应变曲线 和等时线
等应变曲线
保持应变不变，由蠕变曲线族得 到的应力－时间关系曲线
非线性粘弹性设计— 伪弹性设计方法
材料力学
专题篇(5)
清华大学 范钦珊
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第13、14章 聚合物的粘弹性行为与 伪弹性设计方法
第13、14章 聚合物的粘弹性行为与 伪弹性设计方法
引 言 聚合物线性粘弹性行为描述 非线性粘弹性设计— 伪弹性设计方法 结论与讨论
引
言
引
言
聚合物的概念
应力—应变与时间的关系
蠕变与松弛
引
言
聚合物的概念
引
言
聚合物的概念
聚合物（Polymer）又称高分子材 料。 包括 塑料、化纤、橡胶、粘 结剂等。
引
言
聚合物的概念
2000年诺贝尔化学奖 导电聚合物 —— 一种打破常规的塑料。 导电聚合物不仅能导电，而且具有很好的 柔韧性，生产成本十分低廉，能效很高。
粘弹性模型与本构方程
模
型
本构方程
聚合物对 时间的响应
结论与讨论
粘弹性模型与本构方程
标准线性固体模型及其本构方程
Kelvin 标准线性固体 模型
k2
k1
结论与讨论
粘弹性模型与本构方程
标准线性固体模型及其本构方程
Maxwell 标准线性固体模型
k2
k1
结论与讨论
引
言
聚合物的概念
2000年诺贝尔化学奖
导电聚合物的诞生
聚乙炔反聚乙炔(银色薄膜) 聚合物氮化硫合成的具有金属光泽的薄膜
对重新排列的聚乙炔分子结构进行试验，让这种聚 合物的分子接触碘蒸汽，去除其中的电子，从而使这 种聚合物的结构具有与金属相似的特点，导电能力提 高了1000万倍。
引
言
引
言
聚合物的概念
2000年诺贝尔化学奖
导电聚合物用途：
抗静电地毯、发光墙纸、衣服、装饰品等； 可以折叠的电视屏幕； 可以穿在身上的计算机； 发光的交通标志； 高效太阳能电池。
引
言
聚合物的概念
2000年诺贝尔化学奖
导电聚合物的诞生
日本化学家 白川英树－聚乙炔反聚乙炔(银色薄膜)
美国化学家 麦克迪尔米德 美国物理学家 黑格 聚合物氮化硫合成的具有金属光泽的薄膜
聚合物的概念
“ 高分子” 材料由长键状大分子组成
大分子示意图
引
言
应力—应变与 时间的关系
引
言
应力—应变与时间的关系
与时间无关的应力－应变关系
线性弹性
与时间有关的线性应力－应变关系
线性粘弹性
与时间有关的非线性 应力－应变关系
非线性粘弹性
引
言
应力—应变与时间的关系
伪弹性设计方法
伪弹性设计方法 (Pseudo-Elastic Method ) 要 点
由等时线 上的割线的斜率作 为E(t)。 控制在役期限内构件的极限应变值。
非线性粘弹性设计— 伪弹性设计方法
应用举例
非线性粘弹性设计— 伪弹性设计方法
应用举例
F
d
l
二乙醇材料制成的悬臂梁，在自由端承受集中力 F，若已知 F = 25N,l = 0.15m, 20C 时的蠕变曲 线，且要求一年内应变值不超过0.02。
d dt
Maxwell 模型本构方程
聚合物线性粘弹性 行为描述
并联模型—Kelvin模型
聚合物线性粘弹性 行为描述
并联模型—Kelvin模型
k
k
d 2 k dt d k dt
无 有
有
无
有 有
聚合物线性粘弹性 行为描述
聚合物线性粘弹性行为描述
本构方程 两种基本元件 串联模型—Maxwell模型 并联模型—Kelvin模型 工程应用举例
聚合物线性粘弹性 行为描述
本构方程
聚合物线性粘弹性 行为描述
本构方程
粘弹性应力是应变的函数，也是时间的 函数,描述粘弹性行为的一般方程为：
非线性粘弹性设计— 伪弹性设计方法
蠕变曲线、等应变曲线 和等时线
非线性粘弹性设计— 伪弹性设计方法
蠕变曲线、等应变曲线 和等时线
蠕变曲线
保持应力不变， 应变随时间变化的 曲线。
非线性粘弹性设计— 伪弹性设计方法
蠕变曲线、等应变曲线 和等时线
蠕变曲线族
不同应力 水平下蠕变 曲线的曲线 族。
聚合物线性粘弹性 行为描述
两种基本元件
弹性元件
粘性元件
聚合物线性粘弹性 行为描述
两种基本元件
k
弹性元件（胡克元件）
(Elastic Element)
k
k
弹簧刚度系数
聚合物线性粘弹性 行为描述
两种基本元件
粘性元件（牛顿元件） (Viscous Element)
Kelvin模型本构方程
d dt
聚合物线性粘弹性 行为描述
Kelvin模型本构方程
并联模型—Kelvin模型
d k dt
分离变量形式
dt
d k
1 ln( k C k
t
聚合物线性粘弹性 行为描述
各种模型所能 处理问题的范围
蠕 麦克斯韦 模型
松
变
弛
结论与讨论 同学们可以证明：
蠕 变
各种模型所能 处理问题的范围
开尔文 模型
松
弛
结论与讨论 同学们可以证明：
各种模型所能 处理问题的范围
蠕
标准线性 固体模型 松
变
弛
结论与讨论
各种模型所能 处理问题的范围
关于 Laplace变换 在粘弹性分析中的应用
采用 Maxwell 模型
d t 1 d dt k dt
其中
故有
t const .
d t 0 dt
聚合物线性粘弹性 行为描述
工程应用举例
d t 1 d dt k dt
d t 0 dt
d
k
dt
ln
k
(1) 0
k
tt
f ( t )
称为本构方程(Constitutive Equation)。
聚合物线性粘弹性 行为描述
本构方程
对于线性粘弹性，本构方程
f ( , t )
这表明
f (t )
呈线性关系 和 均与时间有关
聚合物线性粘弹性行为描述
两种基本元件
t1 t 2 t1 t 2 t1
t2
＝const.
引
言
蠕变与松弛
松弛(Relaxation)
应变保持不变， 应力随时间的增加 而减少。
t1 t 2 t1 t2
t1
t2
=const.
引
言
蠕
蠕变与松弛
变 松
弛
线弹性 线性粘弹性 非线性粘弹性
与时间无关 的应力－应变关系
t1 t 2
线性弹性
引
言
应力—应变与时间的关系
与时间有关的 线性应力－应变 关系
t1
t2
线性粘弹性
引
言
应力—应变与时间的关系
与时间有关的 非线性应力－应 变关系
t1 t 2
非线性粘弹性
引
言
蠕变与松弛
引
言
蠕变与松弛
蠕变(Creep)
A
17.1
E (1) tan
17.1 0.02
0.02
非线性粘弹性设计— 伪弹性设计方法
应用举例
F
d
根据梁的最大正应力公式,有
l
max
Mmax 32 Fl 17.1 3 W πd
3
32 Fl d ＝ .07mm 13 π 17.1
非线性粘弹性设计— 伪弹性设计方法
应用举例
首先，由 20℃ 时 的蠕变曲线族, 得到 一年时的等时线
非线性粘弹性设计— 伪弹性设计方法
应用举例
A
17.1
0.02
然后，在曲线上 找到对应于 =0.02 的点A,由此确定所 能承受的最大应力 并作割线OA,则1年 时的弹性模量。
非线性粘弹性设计— 伪弹性设计方法
应用举例
工程应用举例
聚合物线性粘弹性 行为描述
工程应用举例
0.2% 初始加载 3.10MPa
1 年 后
0.2% (1) 2.07MPa
0.2% 2 年 后 (2) ?
聚合物线性粘弹性 行为描述
工程应用举例
非线性粘弹性设计— 伪弹性设计方法
应用举例
F
d
l
二乙醇材料制成的悬臂梁，在自由端承受集 中力F，若已知 F = 25N,l = 0.15m, 20C 时的蠕变曲线，且要求一年内应变值不超 过0.02。
求: 1.设计梁的直径; 2.求一年时的最大挠度.
非线性粘弹性设计— 伪弹性设计方法
结论与讨论
关于 Laplace变换 在粘弹性分析中的应用
有兴趣的同学可参阅《工程力学教 程》(II)(范钦珊 主编，北京，高等 教育出版社，1998)中的“ 材料的力 学行为”一篇中的有关内容。
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13－1，13－2， 14－9，14－10
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d dt
d dt
粘度
应变速率
聚合物线性粘弹性 行为描述
两种基本元件
性能差异 元 件
应力与 回 复 性 应变速率 可 以 无 关
弹 性 元 件 粘 性 元 件
不
可
有
关
聚合物线性粘弹性 行为描述
两种基本元件
两种元件的不同组合(串联和并联) 可以描述线性粘弹性行为。
t (1)
0
ln 0.404
聚合物线性粘弹性 行为描述 将
k
工程应用举例
0.404 代入 Maxwell 模型的本构方程
d
ln
0
Leabharlann Baidu
k
dt
t
(t )
0.404t 0
0.404t
t ) e
聚合物线性粘弹性 行为描述
聚合物线性粘弹性 行为描述
串联模型—Maxwell模型
聚合物线性粘弹性 行为描述
串联模型—Maxwell模型
k
t 1 2
k
d t d 1 d 2 dt dt dt
d t 1 d dt k dt
工程应用举例
t ) e
0.404t
当 t = 2 年时，杆内的应力值为
2) e
0.404 2
3.10e
0.404 2
非线性粘弹性设计— 伪弹性设计方法
非线性粘弹性设计— 伪弹性设计方法
蠕变曲线、等应变曲线 和等时线 伪弹性设计方法 应用举例
应用举例
F
d
l
根据悬臂梁自由端弹性挠度公式,有
Wmax
Fl 3 22.96mm 3E (t ) I
结论与讨论
结论与讨论
粘弹性模型与本构方程 各种模型所能处理问题的范围 关于 Laplace 变换在粘弹性 分析中的应用
结论与讨论
粘弹性模型与本构方程
结论与讨论
聚合物粘弹性行为对时间响应的 两种形式 应变响应： t ) Cc (t ) 应力响应： t ) Er (t )
结论与讨论
各种模型所能 处理问题的范围
模型功能
Cc (t ) 不为常数者，可处理蠕变问题
Er (t ) 不为常数者，可处理松弛问题
结论与讨论 同学们可以证明：
伪弹性设计方法
非线性粘弹性设计— 伪弹性设计方法
伪弹性设计方法
伪弹性设计方法 (Pseudo-Elastic Method ) 要 点
弹性静力学中关于杆件在弹性范围内 适用的所有应力、 变形和位移公式，在 设计中都可直接应用，但弹性模量不再 为常数，而与时间有关，即E=E(t)。
非线性粘弹性设计— 伪弹性设计方法
粘弹性模型与本构方程
广义麦克斯韦模型
k1
1
k2
2
kn n
结论与讨论
粘弹性模型与本构方程
广义开尔文模型
1
k1
2
k2
n
kn
结论与讨论
粘弹性模型与本构方程
上述各种模型，怎样建立 相应的本构关系？
结论与讨论
各种模型 所能处理问题的范围
结论与讨论
各种模型所能 处理问题的范围
非线性粘弹性设计— 伪弹性设计方法
蠕变曲线、等应变曲线 和等时线
等时线
保持时间不变，由蠕变曲线族得 到的应力－应变关系曲线
非线性粘弹性设计— 伪弹性设计方法
蠕变曲线、等应变曲线 和等时线
等应变曲线
保持应变不变，由蠕变曲线族得 到的应力－时间关系曲线
非线性粘弹性设计— 伪弹性设计方法
材料力学
专题篇(5)
清华大学 范钦珊
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第13、14章 聚合物的粘弹性行为与 伪弹性设计方法
第13、14章 聚合物的粘弹性行为与 伪弹性设计方法
引 言 聚合物线性粘弹性行为描述 非线性粘弹性设计— 伪弹性设计方法 结论与讨论
引
言
引
言
聚合物的概念
应力—应变与时间的关系
蠕变与松弛
引
言
聚合物的概念
引
言
聚合物的概念
聚合物（Polymer）又称高分子材 料。 包括 塑料、化纤、橡胶、粘 结剂等。
引
言
聚合物的概念
2000年诺贝尔化学奖 导电聚合物 —— 一种打破常规的塑料。 导电聚合物不仅能导电，而且具有很好的 柔韧性，生产成本十分低廉，能效很高。
粘弹性模型与本构方程
模
型
本构方程
聚合物对 时间的响应
结论与讨论
粘弹性模型与本构方程
标准线性固体模型及其本构方程
Kelvin 标准线性固体 模型
k2
k1
结论与讨论
粘弹性模型与本构方程
标准线性固体模型及其本构方程
Maxwell 标准线性固体模型
k2
k1
结论与讨论
引
言
聚合物的概念
2000年诺贝尔化学奖
导电聚合物的诞生
聚乙炔反聚乙炔(银色薄膜) 聚合物氮化硫合成的具有金属光泽的薄膜
对重新排列的聚乙炔分子结构进行试验，让这种聚 合物的分子接触碘蒸汽，去除其中的电子，从而使这 种聚合物的结构具有与金属相似的特点，导电能力提 高了1000万倍。
引
言
引
言
聚合物的概念
2000年诺贝尔化学奖
导电聚合物用途：
抗静电地毯、发光墙纸、衣服、装饰品等； 可以折叠的电视屏幕； 可以穿在身上的计算机； 发光的交通标志； 高效太阳能电池。
引
言
聚合物的概念
2000年诺贝尔化学奖
导电聚合物的诞生
日本化学家 白川英树－聚乙炔反聚乙炔(银色薄膜)
美国化学家 麦克迪尔米德 美国物理学家 黑格 聚合物氮化硫合成的具有金属光泽的薄膜
聚合物的概念
“ 高分子” 材料由长键状大分子组成
大分子示意图
引
言
应力—应变与 时间的关系
引
言
应力—应变与时间的关系
与时间无关的应力－应变关系
线性弹性
与时间有关的线性应力－应变关系
线性粘弹性
与时间有关的非线性 应力－应变关系
非线性粘弹性
引
言
应力—应变与时间的关系
伪弹性设计方法
伪弹性设计方法 (Pseudo-Elastic Method ) 要 点
由等时线 上的割线的斜率作 为E(t)。 控制在役期限内构件的极限应变值。
非线性粘弹性设计— 伪弹性设计方法
应用举例
非线性粘弹性设计— 伪弹性设计方法
应用举例
F
d
l
二乙醇材料制成的悬臂梁，在自由端承受集中力 F，若已知 F = 25N,l = 0.15m, 20C 时的蠕变曲 线，且要求一年内应变值不超过0.02。
d dt
Maxwell 模型本构方程
聚合物线性粘弹性 行为描述
并联模型—Kelvin模型
聚合物线性粘弹性 行为描述
并联模型—Kelvin模型
k
k
d 2 k dt d k dt
无 有
有
无
有 有
聚合物线性粘弹性 行为描述
聚合物线性粘弹性行为描述
本构方程 两种基本元件 串联模型—Maxwell模型 并联模型—Kelvin模型 工程应用举例
聚合物线性粘弹性 行为描述
本构方程
聚合物线性粘弹性 行为描述
本构方程
粘弹性应力是应变的函数，也是时间的 函数,描述粘弹性行为的一般方程为：
非线性粘弹性设计— 伪弹性设计方法
蠕变曲线、等应变曲线 和等时线
非线性粘弹性设计— 伪弹性设计方法
蠕变曲线、等应变曲线 和等时线
蠕变曲线
保持应力不变， 应变随时间变化的 曲线。
非线性粘弹性设计— 伪弹性设计方法
蠕变曲线、等应变曲线 和等时线
蠕变曲线族
不同应力 水平下蠕变 曲线的曲线 族。
聚合物线性粘弹性 行为描述
两种基本元件
弹性元件
粘性元件
聚合物线性粘弹性 行为描述
两种基本元件
k
弹性元件（胡克元件）
(Elastic Element)
k
k
弹簧刚度系数
聚合物线性粘弹性 行为描述
两种基本元件
粘性元件（牛顿元件） (Viscous Element)
Kelvin模型本构方程
d dt
聚合物线性粘弹性 行为描述
Kelvin模型本构方程
并联模型—Kelvin模型
d k dt
分离变量形式
dt
d k
1 ln( k C k
t
聚合物线性粘弹性 行为描述
各种模型所能 处理问题的范围
蠕 麦克斯韦 模型
松
变
弛
结论与讨论 同学们可以证明：
蠕 变
各种模型所能 处理问题的范围
开尔文 模型
松
弛
结论与讨论 同学们可以证明：
各种模型所能 处理问题的范围
蠕
标准线性 固体模型 松
变
弛
结论与讨论
各种模型所能 处理问题的范围
关于 Laplace变换 在粘弹性分析中的应用
采用 Maxwell 模型
d t 1 d dt k dt
其中
故有
t const .
d t 0 dt
聚合物线性粘弹性 行为描述
工程应用举例
d t 1 d dt k dt
d t 0 dt
d
k
dt
ln
k
(1) 0
k
tt
f ( t )
称为本构方程(Constitutive Equation)。
聚合物线性粘弹性 行为描述
本构方程
对于线性粘弹性，本构方程
f ( , t )
这表明
f (t )
呈线性关系 和 均与时间有关
聚合物线性粘弹性行为描述
两种基本元件