解析几何初步的数形结合

解析几何初步的数形结合

一．关于数形结合

数与形是数学中的两个最古老，也是最基本的研究对象，它们在一定条件下可以相互转化。数形结合包括两个方面：第一种情形是“以数解形”，而第二种情形是“以形助数”。

我国著名数学家华罗庚曾说过：“数形结合百般好，隔裂分家万事非。”数形结合在数学研究中有着不可忽视的作用。

二．课题背景

高中数学不少问题都涉及数形结合，数形结合是高中数学新课程中所渗透的重要思想方法之一。阶级初步这部分内容能很好的培养和发展学生的数形结合思想，特别是覆盖范围极广！

一、解决集合问题：在集合运算中常常借助于数轴、Venn图来处理集合的交、并、补等运算，从而使问题得以简化，使运算快捷明了。

二、解决函数问题：借助于图象研究函数的性质是一种常用的方法。函数图象的几何特征与数量特征紧密结合，体现了数形结合的特征与方法。

三、解决方程与不等式的问题：处理方程问题时，把方程的根的问题看作两个函数图象的交点问题；处理不等式时，从题目的条件与结论出发，联系相关函数，着重分析其几何意义，从图形上找出解题的思路。

四、解决三角函数问题：有关三角函数单调区间的确定或比较三角函数值的大小等问题，一般借助于单位圆或三角函数图象来处理，数形结合思想是处理三角函数问题的重要方法。

五、解决线性规划问题：线性规划问题是在约束条件下求目标函数的最值的问题。从图形上找思路恰好就体现了数形结合思想的应用。

六、解决数列问题：数列是一种特殊的函数，数列的通项公式以及前n项和公式可以看作关于正整数n的函数。用数形结合的思想研究数列问题是借助函数的图象进行直观分析，从而把数列的有关问题转化为函数的有关问题来解决。

七、解决解析几何问题：解析几何的基本思想就是数形结合，在解题中善于将数形结合的数学思想运用于对点、线、曲线的性质及其相互关系的研究中。

八、解决立体几何问题：立体几何中用坐标的方法将几何中的点、线、面的性质及其相互关系进行研究，可将抽象的几何问题转化纯粹的代数运算。

三．目的和意义

通过对具体问题的正确分析，合理联想，逐步形成正确的解题观念，从而使我们对抽象概念的认知能力得到提高。

四．研究综述

1.2010年9月，我们确定了课题，10月完成了课题规划工作，11进入研究状态。

2.通过对在校老师的询问了解相关信息。

3.通过互联网搜索试题，进行组员间讨论。

4.对于个别难题，我们向老师提出了请教，并和版中其他同学交流。

5.和校外学长探讨，讨论他们学习过程中的经验。

五．研究分析

1.面对茫茫题海，我们找到了几例典型例题，从中大体对解析几何的数形结合有了部分了解【例题分析】

第1题圆的切线方程中有一个是

（A）x－y＝0 （B）x＋y＝0 （C）x＝0 （D）y＝0

答案

C

解析：＜法一＞作图易得：

x=0为圆的一条切线

＜法二＞利用d=r易得C.

第2题若圆x2+y2-4x-4y-10=0上至少有三个不同的点到直线l：ax+by=0的距离为2，则直线l的倾斜角的取值范围是

A. B. C. D.

答案

B

解析：（x-2）2+（y-2）2=18是以（2，2）为圆心，3为半径的圆，ax+by=0是一过原点的直线当圆心到直线距离小于或等于时，能够满足题意，设y=kx为直线方程：

∴=2∴k=2±故倾斜角结合图形，易得为.

第3题在约束条件下，当35时，目标函数z=3x+2y的最大值的变化范围是

A、[6，15]

B、[7，15]

C、[6，8]

D、[7，8]

答案

D

解析：依题意3≤S≤5∴分别作两幅图

找到可行域求最值即可.

第4题已知的顶点B、C在椭圆上，顶点A是椭圆的一个焦点，且椭圆

的另外一个焦点在BC边上，则的周长是

（A）（B）6 （C）（D）12

答案

C

解析：画出图，利用椭圆的定义，有BC+BC+AC=4a

∵a=

∴选C

第5题过双曲线M：x2-=1的左顶点A作斜率为1的直线l，若l与双曲线M的两条渐近线分别相交于点B、C，且|AB|=|BC|，则双曲线M的离心率是

A. B． C．D．

答案

C

解析：据题意，如图

证l AB：y=x+1l OC：y=6xl OB：y=-6x

由解：C点纵坐标为，B点纵坐标，

∵|AB|=|BC| ∴=2∴b=

∴l=.

第6题 P为双曲线=1的右支上一点,M、N分别是圆(x+5)2+y2=4和(x-5)2+y2=1上的点，

则|PM|-|PN|的最大值为

A．6 B．7 C．8

D．9

答案

D

解析：（图解法）由已知双曲线的a=3，b=4.焦点为（±5，0），两个圆心与半径分别为（±5，0）R1=2，R2=1.(如图)

易知，|PM|max=PF1+R1=PF1+2

|PN|min=PF2-R2=PF2-1

∴(|PM|-|PN|)max=|PM|max-(PN)min=(PF1+2)-(PF2-1)=|PF1|-|PF2|+3

∵P在双曲线的右支上

∴（PF1）-(PF2)=2a=6 故选D

第8题直线与抛物线交于两点，过两点向抛物线的准线作垂线，垂足分别为，则梯形的面积为

（A）（B）（C）

（D）

答案

A

解析：如图所示

（x-3）2=4x解得

∴A(9,6),B(1,-2)

∴|AP|=9-(-1)=10 |BQ|=1-(-1)=2

|PQ|=6-(-2)=8

∴S ABQP=×(10+2)×8=48

经过几例简单的分析，我们可以发现，在题目中适当使用数形结合可以加快解题速度，甚至解决一些比较麻烦的问题。

2，请教了相关老师，我们了解到，其实在许多方面都可以运用到数形结合的知识。