工程力学 材料力学概述

第5章材料力学概述
5．1 材料力学的任务
工程结构或机械的各组成部分，如建筑物的梁和柱、机床的轴等，统称为构件（member）。

当工程结构或机械工作时，构件将受到载荷的作用。

例如，车床主轴受齿轮啮合力和切削力的作用，建筑物的梁受自身重力和其他物体重力的作用。

在外力作用下，构件具有抵抗破坏的能力，但这种能力是有限的。

同时，其尺寸和形状也将发生变化，称为变形(deformation)。

为保证工程结构或机械的正常工作，构件应有足够的能力负担起应当承受的载荷。

因此，构件必须满足以下要求：
1．强度（strength）要求构件在载荷作用下必须不致破坏，即构件应有足够的抵抗破坏的能力。

2．刚度（stiffness）要求构件在载荷作用下的变形必须在许可的范围内，即构件应有足够的抵抗变形的能力。

3．稳定性（stability）要求构件在载荷作用下必须始终保持其原有的平衡形态，即构件应有足够的保持其原有平衡形态的能力。

设计构件时，必须满足上述所提到的强度、刚度和稳定性的要求。

在保证构件满足上述三方面要求的同时，要尽量选用适当的材料和减少材料的消耗量，以节约成本。

综上所述，材料力学的任务就是在满足强度、刚度和稳定性的要求下，为设计既经济又安全的构件提供必要的理论基础和计算方法。

在材料力学中，为进行上述的分析和计算，不仅要研究构件的受力状态与变形之间的关系，还要了解材料在外力作用下表现出的变形和破坏等方面的性能，即材料的力学性能，又称机械性能（mechanical properties）。

而力学性能要由实验来测定。

所以实验分析和理论研究同是材料力学解决问题的方法。

5．2 变形固体的基本假设
在静力学中，将研究的物体看成是刚体，即假定受力后物体的几何形状和尺寸是不变的。

实际上，刚体是不存在的，任何物体在外力作用下都将发生变形，而且当外力达到某一定值时，物体还会发生破坏。

在静力学中，构件的微小变形对静力平衡分析是一个次要的因素，故可不考虑；但在材料力学中，研究的是构件的强度、刚度和稳定性等问题，对于这些问题，即使变形很小，也是一个主要因素，必须加以考虑而不能忽略。

所以在材料力学中把所研究的构件都视为变形固体或可变形固体。

为研究上的方便，突出与研究问题有关的主要因素，略去次要因素，对变形固体作如下基本假设：
1．连续性假设。

即认为构件在其整个体积内均毫无空隙地充满了物质，因而构件内的某些力学量（如点的位移）均为连续的，并可用坐标的连续函数表示它们的变化规律。

2．均匀性假设。

即认为构件内部各点的力学性能都相同，不随位置坐标而改变。

这样，如从构件中取出一部分，不论大小，也不论从何处取出，力学性能总是相同的。

F 3
F 1 F 2 F n m m F 1 F 2 F 3 F n
m m m m 3．各向同性假设。

即认为构件沿任何方向的力学性能都是相同的。

具有这种属性的材料称为各向同性（isotropic ）材料，如钢、铜、玻璃等。

沿不同方向力学性能不同的材料称为各向异性（anisotropic ）材料，如木材、胶合板等。

4．小变形假设。

即认为构件的变形或因变形而引起的位移都远小于构件的最小尺寸。

这样，在研究构件的平衡和运动时，可以略去微小变形的影响，按构件变形前的原始形状和尺寸做分析。

除上述几项基本假设外，在材料力学中还将采用一些简化内力及变形的假设，在后面有关章节中将陆续介绍。

5．3 内力、截面法和应力
变形体在受到外力作用时，其内部各部分之间因相对位置改变而引起的相互作用力就是材料力学中要研究的内力(internal forces)。

这样的内力随外力的增加而加大，到达某一极限时就会引起构件破坏，因而内力与构件强度密切相关。

为了显示出构件在外力作用下m-m 截面上的内力，用平面假想地把构件分成左右两部分（图5-1a ）。

任取其中一部分，例如左半部分，作为研究对象。

在该部分上作用的外力有F 1和F 3，欲使其保持平衡，则右半部分必然有力作用于左半部分的m-m 截面上，以与该部分的外力相平衡，如图5-1 b 所示。

根据作用与反作用定律可知，右半部分必然也以大小相等、方向相反的力作用于左半部分上。

上述左右两部分间相互作用的力就是构件在m-m 截面上的内力。

由于内力是连续分布于截面上的一个分布力系，因此今后常把这个分布内力系向截面的形心简化后得到的主矢和主矩称为截面上的内力。

(a) (b)
图5-1
以上用截面假想地把构件分成两部分，以显示并确定内力的方法称为截面法。

它是分析构件内力的一般方法。

可将其归纳为四个步骤：
一“切”：用一个假想的面沿欲求内力的截面把构件切开，分成两部分；
二“抛”：抛去其中一部分，保留另一部分研究；
三“代”：用截面上的内力代替抛去部分对剩下部分的作用；
四“平”：对保留部分列力的平衡方程，求出未知内力。

有关截面法的具体应用将在后面各章中陆续介绍。

如上所述，截面上的内力是一个连续分布的内力系。

为了描述内力的分布情况，我们
引入内力集度即应力的概念。

如图5-2 (a)所示，在截面m-m 上围绕任意一点C 取微小面积∆A ，∆A 上分布内力的合力为∆F 。

随着面积∆A 的减小，微小面积上的分布力将趋于均匀分布。

则点C 处作用在法向为n 的微小面积∆A 上的应力（stress ）定义为
A
F p A ∆∆=→∆lim 0 (1－1)
上式中p 称为C 点的应力。

它是分布内力系在C 点的集度，反映内力系在C 点的强弱程度。

p 是一个矢量，一般既不与截面垂直，也不与截面相切。

通常把应力p 分解成垂直于截面的分量σ 和切于截面的分量τ（图5－2 b ）。

σ 称为正应力（normal stress ），τ 称为切应力（shear stress ）。

显然有
22τσ+=p （1－2）
应力的基本单位是帕（Pa ），全称为‘帕斯卡’，21Pa 1N/m =。

应力常用的单位是106 Pa ，记为MPa 。

(a) (b)
图5－2
5．4 变形与应变
构件在外力作用下尺寸和形状一般都将发生改变，称为变形（deformation ）。

构件在变形的同时，其上的点、线、面相对于初始位置也要发生变化，这种位置的变化称为位移（displacement ）。

为了研究构件的变形，可以假想把构件分割成无数微小的正六面体，当正六面体的各边边长为无限小时，称为单元体（element ）。

构件变形后，其任一单元体棱边的长度及两棱边间的夹角都将发生变化。

从构件中取出包含D 点的单元体如图5-3（a ）所示，变形前平行于x 轴的棱边ab 的长度为Δx ，变形后其长度的改变量为Δu ，如图5-3（b ）所示。

则
x
u x ∆∆=→∆lim 0ε （1－3） 定义为D 点沿x 方向的线应变或正应变（normal strain ），用符号ε表示。

构件变形后，其任一单元体不仅棱边的长度会发生改变，而且其原来相互垂直的两条棱边的夹角也将发生变化，如图5-3（c ）所示。

则
n
⎪⎭
⎫
⎝⎛''∠−=→∆→∆b a c y x 2lim 00πγ （1－4） 定义为D 点在xy 面内的角应变或切应变（shear strain ），用符号γ表示。

(a) (b) (c)
图5－3
线应变ε和切应变γ是度量一点处变形程度的两个基本量。

它们的量纲为一。

5．5构件分类及杆件变形的基本形式
生产实践中遇到的构件形状是多种多样的。

根据几何形状和尺寸的不同，工程构件可以大致分为杆、板、壳和块体。

若构件在某一方向上的尺寸比其余两个方向上的尺寸大得多，则称为杆。

汽车发动机的连杆、曲轴等均属此类构件。

杆横截面形心的连线称为轴线。

若杆的轴线是直的，称为直杆（见图5-4(a)）；若杆的轴线是曲的，则称为曲杆见图5-4(b)）。

所有横截面的形状和尺寸都相同的杆件称为等截面杆；不同者称为变截面杆。

若构件在某一方向的尺寸比其余两个方向上的尺寸小得多，则称为板或壳。

中面是平面的为板（见图5-5(a)）；中面是曲面的为壳（见图5-5(b)）。

穹形屋顶、薄壁容器等均属此类构件。

若构件在三个方向上具有同一量级的尺寸，则称为块体。

水坝、建筑物基础等均属此类构件。

（a ）板
（b ）壳 图5－
5
（a ）直杆 （b ）曲杆
图5－4
x
b
c c ' b '
材料力学研究的对象主要是杆件，而且大多是等截面直杆，简称等直杆。

至于板、壳和块体一般不属于材料力学的研究范畴。

杆件受外力作用发生的变形也是多种多样的。

归纳起来，最简单最基本的变形形式有如下四种：
1． 拉伸或压缩 图5-6 (a)所示一简易吊车，在载荷F 作用下，AB 杆受到拉伸（见图5-6 (b)），而AC 杆受到压缩（见图5-6 (c)）。

这类变形形式是由大小相等、方向相反、作用线与杆件轴线重合的一对力引起的，表现为杆件的长度发生伸长或缩短。

起吊重物的钢索、桁架的杆件等的变形，都属于拉伸或压缩变形。

2． 剪切 图5-7(a)表示一铆钉连接，在力F 作用下，铆钉即受到剪切。

这类变形形式是由大小相等、方向相反、相互平行的力引起的，表现为受剪杆件的两部分沿外力作用方向发生相对错动（见图5-7(b)）。

机械中常用的连接件，如键、销钉、螺栓等都产生剪切变形。

3． 扭转 图5-8(a)所示的汽车转向轴AB ，在工作时发生扭转变形。

这类变形形式是由大小相等、方向相反、作用面都垂直于杆轴的两个力偶引起的（见图5-8(b)），表现为杆件任意两个横截面发生绕轴线的相对转动。

汽车的传动轴、电机主轴等，都是受扭杆件。

图5-6
A
(a)
F AC F AC
AB (c) F
F F F 图5-7
(a) (b)
M
(a) e M (b) 图5-8
4． 弯曲 图5-9 (a)所示的火车轮轴的变形，即为弯曲变形。

这类变形形式是由垂直于杆件轴线的横向力，或由作用于包含杆轴的纵向平面内的一对大小相等、方向相反的力偶引起的，表现为杆件轴线由直线变为曲线（图5-9(b)）。

桥式起重机的大梁、车刀等的变形，都属于弯曲变形。

图5-9
还有一些杆件同时发生几种基本变形，例如车床主轴工作时发生弯曲、扭转和压缩三种基本变形；钻床立柱同时发生拉伸和弯曲两种基本变形。

这种情况称为组合变形。

(a) F F F F (b)
α α
(a)
α(b) 思 考 题
5-1 结合工程实际或日常生活实例说明构件的强度、刚度和稳定性概念。

5-2 研究变形体静力学问题时，为什么要作均匀性、连续性、各向同性和小变形假设？ 5-3 刚体静力学中的力的可传性原理和力线平移定理在求变形体的内力时是否仍然适用？试举例说明。

5-4 内力和应力有什么联系和区别？
5-5 杆件基本的变形形式有哪些？试列举若干工程实例。

习 题
5-1 图中所示两个微元体受力变形后如虚线所示，分别计算两微元体的切应变。

题5-1图
5-2 判断并指出图中各杆将发生何种基本变形或何种基本变形的组合变形。

题5-2图
答 案
5-1 （a ） 0=γ ； （b ）αγ2=
5-2 BD 杆将发生轴向拉伸；AC 杆将发生轴向压缩和弯曲的组合变形。

F。