线性变换的值域与核.

V
1 (0)
0
V
V
第七章 线性变换 §6 线性变换的值域与核
事实上， V V , V , 且对
, V , k P 有 ( ) V
k (k ) V
即 V 对于V的加法与数量乘法封闭. V 为V的子空间. 再看 1(0). 首先， 1(0) V , (0) 0,
第七章 线性变换 §6 线性变换的值域与核
的秩＋ 的零度＝n 即 dim V dim 1(0) n.
证明：设 的零度等于r ，在核
1,2, ,r
并把它扩充为V 的一组基：1, 2 ,
1(0)中取一组基
, r , r1, , n
由定理10, 则 V L( 1, , r , r1, , n ). 但 i 0, i 1, 2, , r.
任取 V , 设 , V , 则 ( ) 2 , 故有 V , 0 当且仅当 0.
因此有 V 1(0) 0
从而 V 1(0) 是直和 . 又 dim V dim 1(0) n
所以有 V V 1(0).
第七章 线性变换 §6 线性变换的值域与核
kr1 r1 kn n 1(0)
即 可被 1, 2 , , r 线性表出.
第七章 线性变换 §6 线性变换的值域与核
设 k11 k2 2 kr r 于是有 k11 k2 2 kr r kr1 r1 kn n 0 由于 1, 2 , , n为 V的基.
k1 k2 kn 0
定义2：线性变换 的值域 V 的维数称为 的秩；
的核 1(0)的维数称为 的零度.
例1、在线性空间 P[ x]n 中，令
f (x) f (x)
则
P[ x]n P[ x]n1,
1(0) P
所以D 的秩为n－1，D 的零度为1.
第七章 线性变换 §6 线性变换的值域与核
二、有关性质
1. (定理10) 设 是n 维线性空间V的线性变换，
问题 设V为n维线性空间, :V V 为线性变换,
V L(1, 2 , , s ),其中 1 , 2 , , s 线性无关,
i V , i i (i 1, 2, , s), 令 W L( 1, 2, , s). 证明:V W 1(0).
第七章 线性变换 §6 线性变换的值域与核
1 (0)
一、 值域与核的概念 二、 值域与核的有关性质
一、值域与核的概念
定义1：设 是线性空间V的一个线性变换，
集合
V | V
称为线性变换 的值域，也记作 Im .
集合
1(0) | V , 0
称为线性变换 的核，也记作 ker .
注： V , 1(0)皆为V的子空间.
第七章 线性变换 §6 线性变换的值域与核
从而 1(0) 0, 即 = . 故 是单射.
第七章 线性变换 §6 线性变换的值域与核
4. 设 为n 维线性空间V 的线性变换，则
是单射 是满射. 证明： 是单射
1(0) 0
dim 1(0) 0
dim V n V V 是满射.
第七章 线性变换 §6 线性变换的值域与核
1, 2 , , n 是V的一组基， 在这组基下的矩阵是A，
则 1） 的值域 V 是由基象组生成的子空间，即
V L 1, 2, , n
2） 的秩＝A的秩.
第七章 线性变换 §6 线性变换的值域与核
证：1） V , 设 x11 x2 2 xn n ,
于是 即
x1 1 x2 2 xn n
例2、设A 是一个n阶方阵，A2 A, 证明：A 相似于
1
一个对角矩阵
1 0
0
证：设A是n维线性空间V 的一个线性变换 在一
组基1, 2 , , n下的矩阵，即
1, 2 , , n (1, 2, , n ) A
第七章 线性变换 §6 线性变换的值域与核
由 A2 A, 知 2 .
0 1(0), 1(0) .
又对 , 1(0), 有 0, 0 从而 ( ) 0. (k ) k k0 0, k P
即 1(0), k 1(0),
1(0) 对于V的加法与数量乘法封闭. 故 1(0)为V的子空间.
第七章 线性变换 §6 线性变换的值域与核
1 2 s
V
第七章 线性变换 §6 线性变换的值域与核
V 1 2 s
V
3. 设 为n 维线性空间V 的线性变换，则
ⅰ) 是满射 V V
ⅱ) 是单射 1(0) 0
证明：ⅰ) 显然.
ⅱ) 因为 0 0, 若 为单射，则 1(0) 0. 反之 ，若 1(0) 0, 任取 、 V , 若
, 则 ( ) 0,
故 r1, , n 线 性无关，即它为 V 的一组基.
的秩＝n－r . 因此， 的秩＋ 的零度＝n.
第七章 线性变换 §6 线性变换的值域与核
注意: 虽然 V 与 1(0)的维数之和等于n ，但是 V 1(0) 未必等于V.
如在例1中, P[ x]n 1 0 P[ x]n1 P[ x]n
L 1, 2, , n V L 1, 2, , n
又对 L 1, 2, , n
有 x1 1 x2 2 xn n
( x11 x2 2 ... xn n ) V
第七章 线性变换 §6 线性变换的值域与核
L 1, 2, , n V. 因此， V L 1, 2, , n .
2）由1）， 的秩等于基象组 1, 2 , , n
的秩，又
1, 2 , , n (1, 2 , , n ) A.
由第六章§8的同构关系知， 1, 2, , n 的秩
等于矩阵A的秩. ∴ 秩 ( ＝) 秩 ( A).
第七章 线性变换 §6 线性变换的值域与核
2. 设 为n 维线性空间V的线性变换，则
第七章 线性变换 §6 线性变换的值域与核
1 (0)
1
r
r1
n
V
第七章 线性变换 §6 线性变换的值域与核
V 0 r1 n
V
V L r1, , n
下证 r1, , n 为 V 的一组基，即证它们
线性无关.
设 kr1 r1 kn n 0
则有
kr1 r1 kn n 0