1.2.1应用举例(1)

（1）什么是最大仰角？ （2）例题中涉及一个怎样的三角 形？在△ABC中已知什么，要求什么？
最大角度
C 已知△ABC的两边AB＝1.95m，AC＝1.40m，
夹角A＝66°20′，求BC．
解：由余弦定理，得
A
B
BC 2 AB2 AC 2 2 AB AC cos A
1.952 1.402 21.951.40 cos6620
45
rP
即 t 2 36t 288 0， 解得 12 t 24 .
答：12小时后该城市开始受到台风的侵袭 .
练习:1.一艘船以32.2 n mile / h的速度向 正北航行.在A处看灯塔S在船的北偏东20o的 方向，30min后航行到B处，在B处看灯塔 d 在船的北偏东65o的方向，已知距离此灯塔 6.5n mile 以外的海区为航行安全区域，这 艘船可以继续沿正北方向航行吗？
60)]
40 s in 105 sin 45
20(
3 1),
BC
sin[180
40sin 45 (60 30
45)]
40sin 45 sin 45
40.
不可到达点 A
？
B
60 45
60 30
可到达点 D
C
这样在⊿ABC中,∠BCA=60°, AC 20( 3 1), BC 40. 由余弦定理得： AB AC2 BC2 2AC BC cos
例43. 某海滨城市附近海面有一台风，据监测，当前台风中心
位于城市O (如图) 东偏南 ( arccos 2 ) 方向300 km 海面
10 P 处，并以20 km / h 的速度向西偏北45 方向移动. 台风侵
袭的范围为圆形区域，当前半径为60 km，并以10 km / h 的
速度不断增大. 问几小时后该城市开始受到台风的侵袭？
cosOPQ cos( 45)
O
北 东
cos cos45 sin sin45
2 2 10 2
2 1 102
2 4， 25
Q
故 OQ2 (20t)2 3002 2 20t 300 4 5
202 t 2 9600t 3002 .
因此 202 t 2 9600t 3002 (10t 60)2 ，
解应用题的基本思路
实际问题 实际问题的解
抽象概括 示意图
还原说明
数学模型 推演 理算 数学模型的解
课后作业
1.教材第19页 习题1.2 1~5 2.教辅练习册第4页作业 1.2.1 3.教辅第8页 ~第10页内容 4.预习教材第13页 ~18页内容
距离
高度
角度
1.2.1 应用举例（一）
例1.阅读课本P11例1, 理解如何测量一个可到达点到一个不可到 达点的距离
例1.设A、B两点在河的两岸，要测量两点之间的距离.
测量者在A的同测，在所在的河岸边选定一点C， 测出AC的距离是55cm，∠BAC＝51o， ∠ACB＝
75o，求A、B两点间的距离（精确到0.1m）
解：由题意在△ASB中，∠ABS=115°,
∠A=20°, AB 32.20.5 16.1 n mile， 由正弦定理得： BS AB
sinA sinS
BS AB sinA 16.1sin20 16.1 2 sin20,
sinS
sin45
设点S到直线AB的距离为d,则 d BS sin65 7.06(n mile)
3.751
BC 1.89(m)
答：顶杆BC约长1.89m。
小 结：
解斜三角形应用问题的一般步骤： （1）分析：理解题意，分清已知与未知，画出示意图。 （2）建模：根据已知条件与求解目标，把已知量与求解 量尽量集中在有关三角形中，建立一个解斜三角形的数学 模型。 （3）求解：利用正弦定理或余弦定理有序地解这些三角 形，求得数学模型的解。 （4）检验：检验上述所求的解是否符合实际意义，从而 得出实际问题的解。 还应注意： （1）应根据题中对精确度的要求，合理选择近似值。 （2）为避免误差的积累，解题过程中应尽可能使用原始 数据，少用间接求出的量。
答：A,B两点间的距离为65.7米.
B
51
75
C
55
例2. 如图A、B两点都在河的对岸（不可到达），设
计一种测量两点间的距离的方法。
不可到达点 A
？
B
60 45
60 30
可到达点 D 40m C
分析：用例1的方法，可以计算出河的这一岸的一 点C到对岸两点的距离，再测出∠BCA的大小，借
助于余弦定理可以计算出A、B两点间的距离。
答：此船可以继续沿正北方向航 1行6..1 2 sin20 sin65
2．如图，自动卸货汽车采用液压机构，设计时需要计算
油泵顶杆BC的长度（如图）．已知车厢的最大仰角为60°，油
泵顶点B与车厢支点A之间的距离为1.95m，AB与水平线之间的
夹角为 620 ，AC长为1.40m，计算BC的长（保留三个有效数 字）．
解：
北
设在时刻 t (h) 台风中心为 Q ，此时台风
O
东
侵袭的圆形区域半径为10t 60 (km) .
若在时刻 t 城市 O 受到台风的侵袭，则
OQ 10t 60 .
Q
由余弦定理知 OQ 2 PQ2 PO2 2 PQ PO cos OPQ
45
rP
由于 PO 300，PQ 20t
B
A
C
基线
分析：已知两角一边，可以用正弦定理解三角形
AB ＝ AC sin C sin B
解：根据正弦定理，得
AB AC ， sinC sin B
AB AC sinC 55sinC sin B sin B
55sin 75 sin(180 51
75)
A
55sin 75 sin 54
65.7(m).
不可到达点 A
？
B
60 45
60 30
可到达点 D 40m C
解：测量者可以在河岸边选定两点C、D，测得CD=40m,
并且在C、D两点分别测得∠BCA=60°, ∠ACD=30°,
∠CDB=45°, ∠BDA=60°. 在⊿ADC和⊿BDC中，应用
正弦定理得
AC
40sin(45 60) sin[180 (30 45
(20 2)2 (40 2)2 2 20 2 40 2 cos 60 20 6. 答：A,B两点间的距离为 20 6米.
例2. 如图A、B两点都在河的对岸（不可到达），设
计一种测量两点间的距离的方法。
不可到达点 A
？
B
60 45
60 30
可到达点 D 40m C
想一想：还有没有别的测量方法.
∠CDB=45°, ∠BDA=60°. 在⊿ADC和⊿BDC中，应用
正弦定理得
40sin 30
40sin 30
AD
sin[180
(30
45
60)]
sin 45
20
2,
BD 40 40 2. sin 45
不可到达点 A
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？
B
60 45
60 30
可到达点 D
C
这样在⊿ABD中,∠BDA=60°, AD 20 2, BD 40 2. 由余弦定理得： AB AD2 BD2 2AD BDcos
202( 3 1)2 402 2 20( 3 1) 40cos 60 20 6. 答：A,B两点间的距离为 20 6米.
不可到达点 A
？
B
60 45
60 30
可到达点 D 40m C
解2：测量者可以在河岸边选定两点C、D，测得CD=40m,
并且在C、D两点分别测得∠BCA=60°, ∠ACD=30°,