3.5洛朗级数展开

1!
2!
3
1m (1 m z m(m 1) z2 m(m 1)(m 2) z3 ...)
1!
2!
3
(| z | 1)
式中，1m (ei2n )m ei2mn (n 为整数)。n=0即1m＝1那一个叫(1 z)m的主值。
w (1) 0
w1
Argz=2
0
w(2) 0
L’
u
w2
例：在z 0
=1的邻域上把f
(z)=ln(z)展开。
解：多值函数f(z)=ln(z)的支点在z 0, .展开中心不在支点，
在不含支点的区域上，各个单值分支是独立的，各自是一个单值函数。
（即f
(z)=ln(z)在z 0
=1的邻域是解析的，可展为泰勒级数。）
sin z
如果定义一个函数f
(z)＝ z lzim0
sin z
z
（z 0） 则f(z)在整个复平面上解析。
1(z 0)
f (z)在z0＝0的邻域上的展开式：f (z)＝1
z2 3!
z4 5!
z6 7!
...(|
z
|
)
此即f(z)的泰勒级数。
例：在1
|
z
|
的环域上将f(z)=
1 z 2－1
1 z-z0
l0
( z0 )l (z-z0 )l
l0
( z0 )l (z-z0 )l1
f(z)＝ (z-z0 )k
k 0
1 2 i
( CR1 '
f( ) z0 )k 1
d
(z-z0 )(l1)
l0
1 2 i
(
CR2 '
z0 )l
f(
)d
(z-z0 )k
k 0
1 2 i
( CR1 '
在平面T1上，从z=0开始沿正实轴方向将其割开，规定，割线的上缘对应Argz 0，
下缘对应Argz 2。当z变化时，只要不跨越割线，其幅角限制在0 2 ,
相应的函数值位于w平面的上半平面，0 Argw .
平面T2作类似的切割，上缘对应Argz=2， 下缘Argz=4 , 相应的函数值位于w平面的下半平面， Argw 2。 在割开的平面上，宗量变化时均不得
... a2 (z z0 )2 a1(z z0 )1 a0 a1(z z0 ) a2 (z z0 )2 ...( A)
设正幂部分有某个收敛半径，R1,|
z
z0
|
R1,负幂部分引入新的变量
＝
z
1 z0
，
则负幂部分成为：a1 a2 2 a3 3 ...(B)
设它有某个收敛圆，记为 1 ,则（B）式在圆|| 1 的内部收敛。
CR1
证明：f(z)＝ 1
f(
) d
1
f(
) d
2 i CR1 ' z
2 i CR2 ' z
z
CR1’
z0 R2
CR2’
对前一项： 1
＝
(z-z0 )k
z k0 ( z0 )k1
对后一项： 1 ＝
1
＝ 1
1
z ( z0 )-(z-z0 ) （z-z0）1- z0
z-z0
1 ＝ 1
1
(z 1)k ,(| z－1| 1)
z 2 z 11 1 (z 1) k0
f(z)＝ －1 (z 1)k (z 1)k ,(0 | z－1| 1)
z 1 k0
k 1
12
例：将f(z)=
1 z 2(z－1)
在z0
=1的邻域展开为洛朗级数。
解：z＝0，1是函数 z21－1的奇点。而0 | z－1| 1的环域刚好避开了所有奇点。
展开为洛朗级数。
解：z＝1是函数 z21－1的奇点。而1 | z | 的环域刚好避开了奇点。
1 ＝ 1
z2－1 z2
1
1－
1 z2
＝1 z2
k=0
1 z2
k＝k=0
1 z 2(k 1)
1
z2k
令(k 1)k ' k=
1 z2
＋1 z4
＋1 z6
＋....（.. 该展式有无限多负幂项，展开中心为z0 =0,不是奇点）
lO
T1 T2
跨越割线，因而任何闭曲线都不包含z=0，
函数值也只能在一个单值分支上变化。
双叶黎曼面
lO
z(2) 0
z (1) 0
lO
T1
T1
Argz=0
将平面T1的割线上缘与平面T2的割线下
缘连起来，再将T1割线下缘与T2割线上
缘连起来，构成一个两叶的面，称为
w=f(z) 的黎曼面。
T2 设z从z0(1)出发而连续变化，绕z=0一周，
CR2’
f(z)＝ 1
f(
) d
1
f(
) d
( ) 积分沿所有边界正方向进行
2 i CR1 ' z
2 i CR2 ' z
对前一项：
1
＝ z (
z0
1 )-(z
-z0
)
(
1 z0 )1-
1 z-z0
wk.baidu.com
z0
1 z0
(z-z0 )k k0 ( z0 )k
k 0
(z-z0 )k ( z0 )k1
例2在z0＝1的邻域上把函数f
(z)＝
(
z
1 1)(
z
2)
展开。
解：z0＝1是函数f(z)的奇点，还有一个奇点是z1＝2，由此可确定在z0＝1 的邻域的一个收敛环为：0 | z－1| 1
f(z)＝
1
＝ A ＋ B ＝ －1 ＋ 1 ，(0 | z－1| 1)
(z 1)(z 2) (z 1) (z 2) z 1 z 2
它的轨迹l将跨越割线到达平面T2上与
z0(1)复数值相同的z0(2)点，相应的函数
值从w平面上的w0(1)沿L路线到达w0(2)
点。当z继续再绕z=0一周，它将跨越割
线回到平面T1上的z0(1)点….l和l’构成黎
曼面上的一条闭合路径。两个单值分支
相互衔接，并可连续过渡，从一支到达
另一支。 v
T2
L
(
z)的奇点，f
(k )(z0 )存在，但ak
1 k!
f
(k )(z0 )
f
(k )(z0 )
k!
2 i
C
(
f( )
z0 )k 1
d 成立的条件是f
( z )在以C为边界的区域
上解析，而现在f (z)在C内有奇点。
（2）如果只有环心z0是f (z)的奇点，则内圆半径R2可以任意小，z可以 无限接近z0点，此时称洛朗展式为f (z)在它的孤立奇点z0的邻域内的 洛朗展开式。
展开系数：f(z)=ln(z)，f(1)= ln(1)=2ni(n为整数)
f '(z)= 1 , z
f '(1)=+1
f
''(z)=-
1! z2
,
f
''(1)=-1!
f
(3)(z)=+
2! z3 ,
f
(3)(1)=+2!
f
( 4 )(z)=-
3! z4
,
f
( 4 )(1)=-3!
...ln z ln1 1 ( z 1) 1! ( z 1)2 2! ( z 1)3 3! ( z 1)4 ...
CR1 证明：以z0为中心，以z0到最邻近的奇点距离R1为半径作圆CR1,
z
CR1’
z0 R2
并把它稍缩小为CR1
',
又以z0为中心，以R2为半径作圆CR
，并将
2
它稍稍扩大为CR2 '，则f(z)在CR1 '、CR2 '的闭圆环域上是解析的。
（这样做保证环域上无奇点，避免了涉及边界上的敛散性问题）
由复通区域上解析函数的柯西公式：
0
z0 l’
设z从某点z0出发，沿包围点z=0的闭合路径l 绕行 一周回到z0，则幅角增加了2， z＝| z | eiargz z'＝| z | ei(argz2 )
此时，w从w1
|
z
i
|e
arg 2
z
出发
i arg z＋i
| z |e 2 w2
x (w的幅角增加了 )w由一个单值分支（w1）变为
例：在z0＝0的邻域上把
sin z
z
展开。
解：z0＝0是函数
sin z
z
的奇点。利用sin
z在原点的邻域上的泰勒展式：
sin z= z z3 z5 z7 ...(| z | ) 1! 3! 5! 7!
sin z 1 z2 z4 z6 ...(0 | z | ) ~ 没有负幂项
z
3! 5! 7!
2.环域上的解析函数的幂级数展开
（洛朗展开）定理：设f(z)在环域R2< | z z0 | R1的内部单值解析，则
对环域上任一点z，f(z)可展为幂级数：f (z)＝ ak (z z0 )k
k=0
其中ak＝
1 2
i
C
(
f ( ) z0 )k1
d，C为位于环域内按逆时针方向绕内圆一圈的任一闭合曲线。
f(z)=
z
1 2(z－1)
＝
1 z－1
-
1 z
＝
z
1 1
-
z
1 1
1
＝
1 z 1
k=0
(1)k
z
1k
＝
1 z 1
k=0
(1)k
k
z
1k
1
(1)k1k z 1k2 , 0 | z 1| 1
k=0
0 12
P60习题
例：将函数sin z 在0<|z-1|<1展开为洛朗级数，并指出其收敛范围 z 1
[孤立奇点：函数f (z)在某点z0不可导，而在z0的任意小邻域内除z0外处 处可导，称z0为 ~] （3）洛朗展开也是唯一的。
泰勒级数在圆形区域展开，且在圆形区域内不存在奇点，展开中心不是 奇点，展开形式不存在负幂项。 洛朗级数在圆环域上展开，展开中心可以是奇点，也可以不是奇点， 展开形式可以存在负幂项，也可以不存在负幂项。
R2
R2
|
z
1 z0
|
1 R2
|
z
z0
|
R2,负幂部分在 |
z
z0
|＝R2的外部收敛。
如果R2 R1,则( A)式就在环域R2 | z z0 | R1内绝对且一致收敛，其和为解析函数。
级数可逐项求导。
环域R2 | z z0 | R1称为级数( A)的收敛环，若R2 R1,则级数处处发散。
f( ) z0 )k 1
d
1
(z-z0 )k
k
1 2 i
( CR2 '
f( ) z0 )k 1
d
(z-z0 )k
k 0
1 2 i
( CR1 '
f( ) z0 )k 1
d
1
(z-z0 )k
k
1 2 i
f( ) d ( CR2 ' z0 )k 1
CR 2 '
CR1 '
f(z)＝ (z-z0 )k
k
1 2 i
( CR1 '
f( z0
) )k
1
d
ak (z-z0 )k ,R2
k
| z-z0 | R1
其中ak＝
1 2
i
( CR1 '
f( ) z0 )k 1
d。
注意：（1）不能将ak写成：ak＝
1 k!
f
(k )(z0 )
z0是f ( z)的奇点，f (k )(z0 )不存在
z0不是f
另一个单值分支（w2）。再绕一周，w2 w1。
若z0沿不包围z=0点的闭合路径l '绕行一周,Argz没有改变，
回到
w1 w1。称z=0点为多值函数w= z的支点。
支点：对于多值函数w=f (z),若z绕某点一周，函数值w不复原（发生改变）
而在该点各单值分支函数值相同，则称该点为多值函数的支点。
f ''(z) m(m 1)(1 z)m2 m(m 1) f (z), f ''(0) m(m 1) 1m (1 z)2
f (3) (z)
m(m 1)(m 2) (1 z)3
f (z),
f
(3) (0) m(m 1)(m 2) 1m
...(1 z)m 1m m 1m z m(m 1) 1m z 2 m(m 1)(m 2) 1m z3 ...
3.5 洛朗级数展开
• 教学重点：洛朗级数展开定理证明及应用
• 教学过程：当函数f (z)在以z0为心的圆内解析，则f (z)可展开为以z0为中心的
泰勒级数，那么当所研究的区域上存在函数的奇点时，则不再能将函数展 成泰勒级数。而需考虑在除去奇点的环域上的展开，即洛朗级数展开。
1.双边幂级数：含有正、负幂项的幂级数
w1(0)=w2(0)
若当z绕支点n周，函数值w复原，则称该点为多值函数的n-1阶支点。 下面z=用0是一w种=f形( z象)的化1阶的支方点式来描述多值函数w=f (z)的值的变化情况，约定:
对z＝单值也分是支ww=1f,(其z)总的量1阶z的支幅点角范围0 Argz 2； 对单值分支w2,其总量z的幅角范围2 Argz 4
多值函数的支点
如：w
z
| z | eiArgz
i argz2k
| z |e 2 , k 0,1
若w rei ,则r | z |, Argz argz k , k 0,1
2
2
即w1
i arg z
| z |e 2 , w2
|
z
i arg
|e 2
z
i
称为多值函数w
z的两个单值分支
y l
例：在z 0
=0的邻域上把f
(z)
(1
z)m 展开(m不是整数)
解：多值函数f (z) (1 z)m的支点在z=-1，而展开中心z0 =0
并不在支点。各个单值分支可看作一个单值函数。
展开系数：f (z) (1 z)m，
f (0) 1m
f '(z) m(1 z)m1 m f (z)，f '(0) m 1m 1 z
1!
2!
3!
4!
2ni+(z-1)- ( z 1)2 ( z 1)3 ( z 1)4 ..(| z 1 | 1)
2
3
4
R lim ak lim 1 / k lim 1 1 1
a k k 1
k 1 / (k 1)
k
k
对于多值函数而言，在划分出单值分支后，可对各个单值 分支像一个单值函数那样作泰勒展开。