高中数学必修三教案-方差与标准差

教学目标：

1．掌握并应用计算数据的方差、标准差的方法； 2．了解数据的方差、标准差的简单性质；

3．使学生掌握通过合理抽样对总体的稳定性水平作出科学估计的思想．

教学方法：

引导发现、合作探究． 教学过程：

一、创设情景，揭示课题

要从甲乙两名跳远运动员中选拔一名去参加运动会，选拔的标准是：先看他们的平均成绩，如果两人的平均成绩相差无几，就要再看他们成绩的稳定程度．为此对两人进行了15次比赛，得到如下数据：（单位：cm ）：

甲 755 752 757 744 743 729 721 731 778 768 761 773 764 736 741 乙 729 767 744 750 745 753 745 752 769 743 760 755 748 752 747

如何通过对上述数据的处理，来作出选人的决定呢？ 提出问题

①若给定一组数据12,,,n x x x ，方差为s 2，则12

,,n ax ax ax 的方差为

②若给定一组数据12,,,n x x x ，方差为s 2，则12,,n ax b ax b

ax b +++的方差

为

二、学生活动

设一组样本数据n 21x ,,x ,x ，其平均数为12n

x x x n

+++＝x ，则

样本方差：s 2＝n

1〔（x 1—x ）２+（x 2—x ）2

+…+（x n —x ）2〕

另一组样本数据n ax ax ax ,,21 ，其平均数为12n

ax ax ax n

+++＝a x ,则s

样本方差＝n 1

〔（ax 1—a x ）２+（ax 2—a x ）2+…+（ax n —a x ）2〕

＝a 2n

1〔（x 1—x ）２+（x 2—x ）2+…+（x n —x ）2〕

＝22s a ．

同样：另一组样本数据b ax b ax b ax n +++,,21 ，其平均数为

12n ax b ax b ax b

n ++++++＝a x +b ,

样本方差＝n 1〔（ax 1+b —a x -b ）２

+（ax 2+b —a x -b ）2+…+（ax n +b —a x -b ）2〕

＝a 2n 1〔（x 1—x ）２

+（x 2—x ）2+…+（x n —x ）2〕

＝2

2s a ．

特别地，当1=a 时，则有b x b x b x n +++,,,21 的方差为s 2，这说明将一组数据的每一个数据都减去或加上相同的一个常数，其方差是不变的，即不影响这组数据的波动性．

三、建构数学

①若给定一组数据n x x x ,,,21 ，方差为s 2，则n ax ax ax ,,21 的方差为22s a ②若给定一组数据n x x x ,,,21 ，方差为s 2，则b ax b ax b ax n +++,,21 的方差 为22s a ；

四、数学运用 1．例题讲解．

例1 若821,,,k k k 的方差为3，则)3(2,),3(2),3(2821---k k k 的方差为

________．

例2 将某班学生40人随机平均分成两组，两组学生一次考试成绩如下表：

试求全班学生的平均成绩和标准差．

解：记第一组20人成绩为)20,,2,1( =i x i ，第二组20人成绩为)20,,2,1( =i y i ，则

80,90==y x ，全班的平均成绩85)20802090(40

1=⨯+⨯=z ．

2

220222120

121)(x x x x s -++=

＝36，2

2

20222120

12

2)(y y y y s -++=

＝16，

故全班学生成绩的标准差为

2

2

202221220222140

1)(z y y y x x x s -+++++=

2

2

222

21401)20202020(z y s x s -+++=

5185)80901636(2222

1=-+++=

．

例3 已知两家工厂，一年四季上缴利税情况如下（单位：万元）： 季 度 一 二 三 四 甲 厂 70 50 80 40 乙 厂

55

65

55

65

试分析两厂上缴利税的情况． 解：甲、乙两厂上缴利税的季平均值分别为

x 甲＝41

（70+50+80+40）＝60，

x 乙＝4

1

（55+65+55+65）＝60；

甲、乙两厂上缴利税的方差为

s 甲2＝41［（70－60）2+（50－60）2+（80－60）2+（40－60）2］＝250，

s 乙2

＝4

1［（55－60）2+（65－60）2+（55－60）2+（65－60）2］＝25．

经上述结果分析，两厂上缴利税的季平均值相同，但甲厂比乙厂波动大，导致它们生产出现的差异大，乙厂不同季节的缴税量比较接近平均值，生产稳定，而甲厂不稳定．

2．巩固深化，反馈矫正．

（1）甲、乙、丙三名射箭运动员在某次测试中各射箭20次，三人测试成绩如下表： 123s s s ，，分别表示甲、乙、丙三名运动员这次测试成绩

的标准差，则有（ ）

A ．312s s s >>

B ．213s s s >>

C ．123s s s >>

D ．231s s s >>

2．已知样本9,10,11,,x y 的平均数是102，则xy = 3．一组数据的方差为S 2，将这组数据中的每一个数据都扩大到原来的4倍，所得到的一组数据的方差是

甲的成绩

环数 7 8 9 10 频数 5 5 5 5

乙的成绩 环数 7 8 9 10 频数

6

4

4

6

丙的成绩

环数 7 8 9 10 频数 4 6 6 4