《两角和与差的正切函数》公开课教学设计【高中数学必修4(北师大版)】

《2.3两角和与差的正切函数》 教学设计

教材通过类比正、余弦函数的定义的推导得出正切函数的定义，锻炼学生类比推理的的能力。

【知识与能力目标】

理解并掌握正切函数的定义。

【过程与方法目标】

类比正、余弦函数的定义得出正切函数的定义。

【情感态度价值观目标】

通过正切函数定义的过程，培养学生认真负责，一丝不苟的学习和工作精神。 【教学重点】

理解并掌握正切函数的定义。

【教学难点】

理解并掌握正切函数的定义。

电子课件调整、相应的教具带好、熟悉学生名单、电子白板要调试好。

一、探究新知。

和角与差角正切公式的应用

()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ++=-⋅()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ--=

+⋅

和角与差角正切变形公式的应用

二、 例题解析。

例题1、不查表求值1tan105（）2tan 75（）3tan15（）

1221tan ,tan(),tan(2).25

ααβαβ=-=--例题、（）已知求 ()44tan ,tan(),tan 2.55

αβαβα+=-=-（2）已知求 ()21tan ,tan(),tan().5444ππαββα+=-=+（3）已知求 ()2αβααβ-=+-解：（1）

()tan(2)tan ()αβααβ∴-=+-

tan tan()1tan tan()

ααβααβ+-=-⋅- 12()25121()25

+-=-⋅- 112

= ()()2ααβαβ=++-（2）

()tan 2tan ()()ααβαβ∴=++-

tan()tan()01tan()tan()

αβαβαβαβ++-==-+⋅- ()()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ+=+⋅-⋅()()

tan tan tan 1tan tan αβαβαβ-=-⋅+⋅1tan105（）tan(6045)=+tan 60tan 451tan 60

tan 45+=-

⋅

=2=

--2tan 75（）tan(4530)2=+

=+3tan15

（）tan(4530)2=-=

()44ππααββ⎛⎫+=+-- ⎪⎝

⎭（3） ()tan tan 44ππααββ⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴+=+-- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝

⎭ tan()tan 41tan()tan 4παββπαββ⎛⎫+-- ⎪⎝⎭=⎛⎫++⋅- ⎪⎝

⎭ 例题3、计算

公式变形： ()()

()()

tan tan tan 1tan tan tan tan tan 1tan tan αβαβαβαβαβαβ+=+⋅-⋅-=-⋅+⋅ 三、巩固练习。 1tan17tan 433tan17tan 43++、求值

322=1tan151tan15+-（1）1cot151tan 75+-（2）1tan 341tan πβαββ-

+=+（）已知，化简60tan15（41tan151tan15+-解：（1）tan 45tan151tan 45tan15+=-⋅tan 4515tan 60 3.=+==（）1cot151tan 75+-（2）1tan 75tan 4575tan120 3.1tan 75

+=+==--=（）()tan 4παβαβ+=∴+（3），=1()()()()tan tan 1tan tan tan .1tan 1tan tan αβββαββαβαββ+--∴==+-=+++⋅()1tan 30360tan153

31tan15==+（4=

解：tan17tan 433tan17tan 43++

()()tan 17431tan17tan 433tan17tan 43=+-+ ()tan 601tan17tan 433tan17tan 43=⋅

-+ = tan3tan 2tan tan3tan 2tan .αααααα--=2、求证： ()()()tan 321tan 3tan 2tan tan 1tan 3tan 2tan tan 3tan 2tan .

ααααα

αααα

ααα=-+-=⋅+-==∴证明：左边右边

原等式成立

tan tan tan tan tan tan .A B C A B C ++=3、在非直角三角形中，

求证：

A B C π++=证明：由题意 ()()tan 1tan tan tan A B A B C =+-+左边

()()tan 1tan tan tan C A B C π=-⋅-+

()tan 1tan tan tan C A B C =-⋅-+

tan tan tan A B C =

=右边

∴原等式成立

tan tan tan tan tan tan .A B C k A B C A B C π++=++=4、已知 ，

求证：

()()()()tan 1tan tan tan tan 1tan tan tan A B A B C k C A B C π=+-+=-⋅-+证明：左边

()()()()()tan 21tan tan tan 2,()tan 1tan tan tan tan 1tan tan tan tan tan tan n C A B C

k n n Z C A B C

C A B C

A B C π=-⋅-+=∈=-⋅-+=-⋅-+==当时，左边右边