济南大学毕业设计(论文
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系统的书目中提供了很多求极限的方法，但是给出的方法大多依附于其他理论相对分散，论述缺乏系统.同时应用极限的定义以及相关公式只能求解一些简单问题，对于复杂问题就会出现用时过多甚至结果错误的现象，并且根据不同的题需要给出不同的解法，由此对数学分析中求极限方法的总结具有重要的意义.
1.3研究方法
在研究数学分析中极限方法的过程中，主要应用了以下研究方法：
2.6利用洛必达法则求极限………….....………………………...………………....10
2.7利用等价无穷小量代换求极限…….….………………………………………..11
2.8利用泰勒展开式求极限……….……….…………………….……………….....12
2.9利用定积分求极限……………….………………………………….…………..14
（1）
（2）
对数学分析中极限问题想要用两个重要极限公式进行求解，必须针对给出的式子进行整理，变形成此两种形式，然后求解.下面给出两个例题，做出原型定向.
例5求极限 .
解为了利用极限 ，对原式进行变形，得到
例6求极限 .
解为了利用重要极限公式 对原式进行变形，令 ,则 ,且当 时 .所以有
2.3利用两个准则求极限
1.1.1国内研究状况......................……….………………….....……….………..1
1.1.2国外研究状况...................…….……………………….…....……..………1
1.2研究目的和意义........……………………………………………….…....……….1
目录……………………………………………....…………………………………..……III
1前言……….…………………………………………………………….….………...…..1
1.1研究背景...............................………….………….…………………………...…..1
1.2.1研究的目的…..........……………………………...……..…..….………….1
1.2.2研究的意义…..........……..…………………….………..…..….………….1
1.3研究方法..........................………….……………………….…...……….………..1
极限的四则运算法则
定理 若 与 的极限都存在，则函数 , 当 时极限也存在，且
(1) ;
(2) ;
(3)若 ，则： ；
(4) ；
(5) .
上述性质对 , , 也同样成立.
根据上面所述的内容，易得函数的和、差、积、商的极限等于函数极限的和、差、积、商 .
下面给出实例，应用四则运算法则进行求解.
例1求极限
1、文献研究法.通过在图书馆、机房查阅整理关于数学分析中极限方法的资料，筛选出和研究课题相关的文献，了解课题的发展历史、历史研究成果、现代研究方向等等.从而对研究课题的历史发展以及现状有了系统的了解.
2、定性分析法.以极限理论和大量相关的研究成果为基础，以此描述、阐释研究课题.进行定性研究需要依据极限理论，对不同极限问题，进行分类研究.
2.10利Leabharlann Baidu中值定理求极限……….………………………………..…….…………..14
结论......................………….………….……………………....….……...…..….………...17
参考文献......................…………….…………………..….…..……………….………….18
This paper using the literature research, experiences, empirical research methods from simple to complex, from the simple to the complex summary of nine common methods of limit.Each part of the provenance of each method is discussed, including theorems, definitions, and meaning, then later in each application method to cite examples explain, and strive to achieve simple, logical, disciplined, an overview of system limits of commonly used methods in mathematical analysis.
1.3.1国内研究状况
在国内，对数学分析中极限理论的研究已经步入从成熟到逐步完善的阶段.在极限方法上，很多数学家、学者、老师做出了显著成果，有对某一种点进行的深入研究，如函数极限、数列极限等，在极限方法这一方面前前后后也有很多人在研究.
1.1.2国外研究状况
在国外，对数学分析中极限理论的研究长达五个世纪之久，在极限方法上的研究也是取得了显著的成果.对极限理论在各个领域的应用进行深入细致的研究，对极限方法也就行了总结概述.
综上求得
.
例8求极限 的值，其中 .
解根据
有
由此可知，左边相乘的乘机要大于右边相乘的乘机，即
转换得
因为 , 所以由迫敛性可知：
.
2.3.2单调有界准则
单调有界准则 在实数系中，有界的单调数列必有极限.
此种极限问题，要对给出的数列看是否具备两点，一是数列是否是单调的，二是数列是否有界.通过证明数列是单调有界的就可以得到数列有极限.
Key words：The law of Luobida；Squeeze Rule；Monotonic bounded criterion
摘要………………………………………………………..…….….………...……………I
ABSTRACT………………………………………..….……………………..…………….II
摘 要
极限理论在高等数学中占有极其重要的地位，极限思想的应用也逐渐渗透到了各个学科领域，所以分析、整理、汇总数学分析中的极限方法显得非常重要.在数学分析中，简单极限问题可以用极限定义或者相关公式进行运算，但是当运用极限定义或者相关公式求解比较复杂的极限问题时，就会变得难以计算，甚至是出现结果错误的现象.即使前人已经对数学分析中极限方法进行了论述阐明，但是缺乏条理和系统.因此本文对极限方法进行了汇总整理，系统阐述极限方法.有助于读者更加方便系统的对数学分析中极限方法进行了解.
解分子分母同时乘以
式子经过化简之后，可以得到一个只有分母含有未知数的公式，即
例2求极限
解由
已知
按照四则运算法则有
例3 求极限 .
解根据四则运算法则可以看出
.
例4求极限 .
解对原式进行变形，既有：
根据四则运算法则我们有
2.2利用两个重要极限公式求极限
两个重要极限公式
（1）
（2）
在日常应用极限求解极限问题中，我们经常会看到这两个公式的变形，即：
例10设 ,那么 的极限是否存在，如果存在求解其极限值.
2极限的求法………… ………………...……………………………….….……………..3
2.1利用四则运算法则求极限……….……………………….………………..……..3
2.2利用两个重要极限公式求极限……….………...……………...………….……..5
2.3利用两个准则求极限……….………………...……………………...…….……..6
2.3.1函数极限的迫敛性（夹逼准则）..……………………………….……...6
2.3.2单调有界准则….…………………………………………..……………...7
2.4利用导数的定义求极限……………..…………………………..………………..8
2.5利用函数的连续性求极限………………………………………………………..9
2.3.1函数极限的迫敛性（夹逼准则）
夹逼准则 设 ，且在某 内有 ，则
利用迫敛性求极限的要点是通过对 的表达式进行缩放，找出两个具有相同极限值的 和 ，使得 .通过求解 和 ， 和 的极限值，得到 的极限值.
例7求极限 .
解当 时有
两边同时乘以 有
而 ,由迫敛性得
另一方面,当 时有
故由迫敛性又可得
1.2研究的目的和意义
极限的概念是高等数学中非常重要的理论，它是研究极限方法的重要理论基础，许多概念都是用极限来定义的，比如连续、倒数、积分.所以掌握极限方法是十分必要的，这能更好的提升大学期间学生对高等数学的学习和大学教师的教学质量.由于数学教学中对高中学生就有了极限学习的要求，所以做好数学分析中的极限方法的研究也能对高中数学的教学提供资料.
ABSTRACT
In this paper，Limit theory is the basic theory of mathematical analysis, limit idea widely used in various disciplines, which limit methods in mathematical analysis is particularly important. In mathematics, solved some simple formula of ultimate can use the limit definition or relevant, when you use the limit definition or formula when solving complex problems, is hard to calculate, even the phenomenon of error. Even though a lot of books had to clarified the limit methods in mathematical analysis, but the lack of system.This paper summarizes several mathematics method of solving limit used in analysis, and help readers more convenient system to understand the limit methods in mathematical analysis.
例9证明 , , , , 这个数列是收敛,并求其极限.
证记 ,容易看出 是单调递增的，现用数学归纳法来证明 有上界.
显然 .假设 ，则有
从而对一切 有 ，即 有上界.
由单调有界定理，可以得出数列 有极限，记其极限为 .由于
对上式两边取极限得 ,既有
,解得 或 .
由数列极限的保不等式性， 是不可能存在的，故有
致谢......................………………….……………………..…….…………...…………….19
1前言
1.1研究背景
极限的发展由古至今贯穿于整个社会人文时期，公元前5世纪有了无线分割的思想，之后中国割园术的出现展现了在中国极限的发展，西方出现的穷竭法也预示着极限的发展壮大.从牛顿、莱布尼茨到柯西众多伟人的研究下，极限理论的研究经历了从无到有、从笼统到细致的发展过程.数学分析中极限方法也随之慢慢的发展完善，近几年众多国内外学者对极限进行了细致的研究，对极限方法进行了各式各样的总结.
3、经验总结法.在过去的学习中已经对各种各样的极限问题有了深刻的认识，积累了经验，结合在查阅文献时对极限研究成果有了初步掌握，两者相结合对其进行总结概括.
4、实证研究法.在具备了理论知识的基础上，通过实际的例子对总结的极限方法进行例证，提供实在、有用、精确的极限研究方法.
2极限的方法
2.1利用四则运算法则求极限
本文主要运用了文献研究法、经验总结法、实证研究法，由简到繁、由简单到复杂的总结出十种数学分析中常用的极限方法.每部分先对每种方法的出处进行阐述，包括定理、定义以及意义，而后在每种方法后面应用给出的方法举出例子进行解释说明，力求做到简单明了、逻辑严明、系统概述出数学分析中常用的极限方法.
关键词：洛必达法则；夹逼准则；单调有界准则
1.3研究方法
在研究数学分析中极限方法的过程中，主要应用了以下研究方法：
2.6利用洛必达法则求极限………….....………………………...………………....10
2.7利用等价无穷小量代换求极限…….….………………………………………..11
2.8利用泰勒展开式求极限……….……….…………………….……………….....12
2.9利用定积分求极限……………….………………………………….…………..14
（1）
（2）
对数学分析中极限问题想要用两个重要极限公式进行求解，必须针对给出的式子进行整理，变形成此两种形式，然后求解.下面给出两个例题，做出原型定向.
例5求极限 .
解为了利用极限 ，对原式进行变形，得到
例6求极限 .
解为了利用重要极限公式 对原式进行变形，令 ,则 ,且当 时 .所以有
2.3利用两个准则求极限
1.1.1国内研究状况......................……….………………….....……….………..1
1.1.2国外研究状况...................…….……………………….…....……..………1
1.2研究目的和意义........……………………………………………….…....……….1
目录……………………………………………....…………………………………..……III
1前言……….…………………………………………………………….….………...…..1
1.1研究背景...............................………….………….…………………………...…..1
1.2.1研究的目的…..........……………………………...……..…..….………….1
1.2.2研究的意义…..........……..…………………….………..…..….………….1
1.3研究方法..........................………….……………………….…...……….………..1
极限的四则运算法则
定理 若 与 的极限都存在，则函数 , 当 时极限也存在，且
(1) ;
(2) ;
(3)若 ，则： ；
(4) ；
(5) .
上述性质对 , , 也同样成立.
根据上面所述的内容，易得函数的和、差、积、商的极限等于函数极限的和、差、积、商 .
下面给出实例，应用四则运算法则进行求解.
例1求极限
1、文献研究法.通过在图书馆、机房查阅整理关于数学分析中极限方法的资料，筛选出和研究课题相关的文献，了解课题的发展历史、历史研究成果、现代研究方向等等.从而对研究课题的历史发展以及现状有了系统的了解.
2、定性分析法.以极限理论和大量相关的研究成果为基础，以此描述、阐释研究课题.进行定性研究需要依据极限理论，对不同极限问题，进行分类研究.
2.10利Leabharlann Baidu中值定理求极限……….………………………………..…….…………..14
结论......................………….………….……………………....….……...…..….………...17
参考文献......................…………….…………………..….…..……………….………….18
This paper using the literature research, experiences, empirical research methods from simple to complex, from the simple to the complex summary of nine common methods of limit.Each part of the provenance of each method is discussed, including theorems, definitions, and meaning, then later in each application method to cite examples explain, and strive to achieve simple, logical, disciplined, an overview of system limits of commonly used methods in mathematical analysis.
1.3.1国内研究状况
在国内，对数学分析中极限理论的研究已经步入从成熟到逐步完善的阶段.在极限方法上，很多数学家、学者、老师做出了显著成果，有对某一种点进行的深入研究，如函数极限、数列极限等，在极限方法这一方面前前后后也有很多人在研究.
1.1.2国外研究状况
在国外，对数学分析中极限理论的研究长达五个世纪之久，在极限方法上的研究也是取得了显著的成果.对极限理论在各个领域的应用进行深入细致的研究，对极限方法也就行了总结概述.
综上求得
.
例8求极限 的值，其中 .
解根据
有
由此可知，左边相乘的乘机要大于右边相乘的乘机，即
转换得
因为 , 所以由迫敛性可知：
.
2.3.2单调有界准则
单调有界准则 在实数系中，有界的单调数列必有极限.
此种极限问题，要对给出的数列看是否具备两点，一是数列是否是单调的，二是数列是否有界.通过证明数列是单调有界的就可以得到数列有极限.
Key words：The law of Luobida；Squeeze Rule；Monotonic bounded criterion
摘要………………………………………………………..…….….………...……………I
ABSTRACT………………………………………..….……………………..…………….II
摘 要
极限理论在高等数学中占有极其重要的地位，极限思想的应用也逐渐渗透到了各个学科领域，所以分析、整理、汇总数学分析中的极限方法显得非常重要.在数学分析中，简单极限问题可以用极限定义或者相关公式进行运算，但是当运用极限定义或者相关公式求解比较复杂的极限问题时，就会变得难以计算，甚至是出现结果错误的现象.即使前人已经对数学分析中极限方法进行了论述阐明，但是缺乏条理和系统.因此本文对极限方法进行了汇总整理，系统阐述极限方法.有助于读者更加方便系统的对数学分析中极限方法进行了解.
解分子分母同时乘以
式子经过化简之后，可以得到一个只有分母含有未知数的公式，即
例2求极限
解由
已知
按照四则运算法则有
例3 求极限 .
解根据四则运算法则可以看出
.
例4求极限 .
解对原式进行变形，既有：
根据四则运算法则我们有
2.2利用两个重要极限公式求极限
两个重要极限公式
（1）
（2）
在日常应用极限求解极限问题中，我们经常会看到这两个公式的变形，即：
例10设 ,那么 的极限是否存在，如果存在求解其极限值.
2极限的求法………… ………………...……………………………….….……………..3
2.1利用四则运算法则求极限……….……………………….………………..……..3
2.2利用两个重要极限公式求极限……….………...……………...………….……..5
2.3利用两个准则求极限……….………………...……………………...…….……..6
2.3.1函数极限的迫敛性（夹逼准则）..……………………………….……...6
2.3.2单调有界准则….…………………………………………..……………...7
2.4利用导数的定义求极限……………..…………………………..………………..8
2.5利用函数的连续性求极限………………………………………………………..9
2.3.1函数极限的迫敛性（夹逼准则）
夹逼准则 设 ，且在某 内有 ，则
利用迫敛性求极限的要点是通过对 的表达式进行缩放，找出两个具有相同极限值的 和 ，使得 .通过求解 和 ， 和 的极限值，得到 的极限值.
例7求极限 .
解当 时有
两边同时乘以 有
而 ,由迫敛性得
另一方面,当 时有
故由迫敛性又可得
1.2研究的目的和意义
极限的概念是高等数学中非常重要的理论，它是研究极限方法的重要理论基础，许多概念都是用极限来定义的，比如连续、倒数、积分.所以掌握极限方法是十分必要的，这能更好的提升大学期间学生对高等数学的学习和大学教师的教学质量.由于数学教学中对高中学生就有了极限学习的要求，所以做好数学分析中的极限方法的研究也能对高中数学的教学提供资料.
ABSTRACT
In this paper，Limit theory is the basic theory of mathematical analysis, limit idea widely used in various disciplines, which limit methods in mathematical analysis is particularly important. In mathematics, solved some simple formula of ultimate can use the limit definition or relevant, when you use the limit definition or formula when solving complex problems, is hard to calculate, even the phenomenon of error. Even though a lot of books had to clarified the limit methods in mathematical analysis, but the lack of system.This paper summarizes several mathematics method of solving limit used in analysis, and help readers more convenient system to understand the limit methods in mathematical analysis.
例9证明 , , , , 这个数列是收敛,并求其极限.
证记 ,容易看出 是单调递增的，现用数学归纳法来证明 有上界.
显然 .假设 ，则有
从而对一切 有 ，即 有上界.
由单调有界定理，可以得出数列 有极限，记其极限为 .由于
对上式两边取极限得 ,既有
,解得 或 .
由数列极限的保不等式性， 是不可能存在的，故有
致谢......................………………….……………………..…….…………...…………….19
1前言
1.1研究背景
极限的发展由古至今贯穿于整个社会人文时期，公元前5世纪有了无线分割的思想，之后中国割园术的出现展现了在中国极限的发展，西方出现的穷竭法也预示着极限的发展壮大.从牛顿、莱布尼茨到柯西众多伟人的研究下，极限理论的研究经历了从无到有、从笼统到细致的发展过程.数学分析中极限方法也随之慢慢的发展完善，近几年众多国内外学者对极限进行了细致的研究，对极限方法进行了各式各样的总结.
3、经验总结法.在过去的学习中已经对各种各样的极限问题有了深刻的认识，积累了经验，结合在查阅文献时对极限研究成果有了初步掌握，两者相结合对其进行总结概括.
4、实证研究法.在具备了理论知识的基础上，通过实际的例子对总结的极限方法进行例证，提供实在、有用、精确的极限研究方法.
2极限的方法
2.1利用四则运算法则求极限
本文主要运用了文献研究法、经验总结法、实证研究法，由简到繁、由简单到复杂的总结出十种数学分析中常用的极限方法.每部分先对每种方法的出处进行阐述，包括定理、定义以及意义，而后在每种方法后面应用给出的方法举出例子进行解释说明，力求做到简单明了、逻辑严明、系统概述出数学分析中常用的极限方法.
关键词：洛必达法则；夹逼准则；单调有界准则