置信区间与假设检验

)
均值差 正态总体η~N(μ2,σ22 )
的区间 估计
已知μ1及μ2
n1
X i 1 2 n1
i 1
F1
a 2
n2 i 1
Y
j 2
2
, n2 σ1、σ2为总体
标准差
n1
X i 1 2 n1
n1、n2为样本容量
F为查F(n1,n2)方
i 1
分布表所得数据
F1
a 2
n2 j 1
Y
j 2
10
置信区间下限值= 10.877 0.0116 2.262
10
= 10.885
12
式中,2.262为查 t 0.05,df 10 1对应的t分布表 2
得数值. 由此得:本例总体均值的置信区间为 (10.869,10.885).即机床1所加工出的 定位座总体均值分布范围为10.869到 10.885之间.
μ0为总体平均值 n为样本容量
X2为查卡方分布 表所得
5
区间估 计类别
条件
正态总
体方差 未知μ σ2的区 正态总体ξ~N(μ,σ2 )
间估计
置信区间计算公式
nS X2
2
a 2
,
nS
X
2 1
2
a 2
备注
n为总体平均值 S2为样本容量 X2为查卡方分布 表所得
两个正 态总体
正态总体ξ~N(μ1,σ12
2.对正态总体方差 S 2 的区间估计.
即已知样本的标准差,用样本标准差估计总体标准 在一定置信度下的置信区间,也分两种情况. (1) 已知样本均值等于总体均值. (2) 未知总体均值.
3
3.对两个正态总体均值差的区间估计,也分两种情况.
(1)已知两个总体标准差. (2)未知两个总体的标准差,但假设 1 2 ,其中
来确定未知参数θ的置信区间,称为参数θ的区间估计.
将置信区间用图示如下(以单个平均值的置信区间为例)
1
置信区间 下限值
a 2
1-a
置信区间
上限值
a 2
X
在(1-a)100%的置信度下,总体的均值会落在 置信区间范围内.
2
区间估计的种类
区间估计分为: 1.对正态总体均值的μ的区间估计
即已知样本的平均值,用样本均值评估总体均值的在定 置信度下的置信区间,又分为两种情况. (1)已知样本标准差等于总体标准差. (2)未知总体标准差.
1 为总体1的标准差, 2 为总体2的标准差.
4.对两个正态总体方差比的区间估计,也分两种情况. (1)已知两个总体的均值. (2)未知总体均值.
4
各类区间估计的计算公式,列于下表
区间估 计Βιβλιοθήκη Baidu别
条件
置信区间计算公式
备注
已知σ=60
正态总 体均值
正态总体ξ~N(μ,σ2
)
μ的区
间估计 未知
正态总体ξ~N(μ,σ2 )
区间估计的概念
设
1
X
、X
1
2、...X
n
及
2
X1、X
2、...X n
是由样本观测值确定的两个统计量,如对给定概率1-a,有
P( 1 2)=1-a,则随机区
(
1
,2)叫作参数θ的对应
于置信概率1-a的置信区间, 1 叫作置信下限, 2 叫作置
信上限.对于已知的置信概率(置信度),根据样本观测值
)
估计 假设σ1=σ2
X
Y
a 2
Sw
X
Y
a 2
Sw
1 1, n1 n2
1 1
n1
n2
σ1、σ2为总体 标准差
n1、n2为样本容量 t为查t方分布表 所得
6
区间估 计类别
条件
置信区间计算公式
其中
Sw
n1 S1 n2 S2 2 n1 n2 2
备注
两个正 态总体
正态总体ξ~N(μ1,σ12
8
单样本正态总体均值的区间估计
例:激光头定位座的高度会影响光头读碟性能,项目Y是定位座高度,目标值是 10.88mm,加工这种定位座的机床工有5台,我们想判断机床1所加工出来的定 位座的平均高度与目标值是否相同.
抽取机床1加工的10个定位座并测得高度尺寸如下:
10.88 10.89 10.87 10.88 10.87
)
均值差 正态总体η~N(μ2,σ22 )
的区间 估计
已知σ1及σ2
X
Y
a
2 1
22
,
2 n1 n2
X Y a
2 1
22
2 n1 n2
σ1、σ2为总体 标准差
n1、n2为样本容量 μ为查方分布表 所得
两个正 正态总体ξ~N(μ1,σ1 )
态总体 均值差 的区间
正态总体η~N(μ2,σ2 已知σ1及σ2
13
用图示此结果如下:
置信区间 上限10.885 置信区间 下限10.885 总体正均值 95%的置信 区间
根据本章第一节公式,本例为未知b,所以计算置信区间 的公式为:
置信范围下限值=
X S ta n2
置信范围下限值= X S t a
n2
11
其中: X =样本平均值
t=t 分布表中查得的t值 a=a 风险 S=样本标准差 n=样本容易 代入数据得:
置信区间下限值= 10.877 0.0116 2.262
2
n
2
两个正 态总体 正态总体ξ~N(μ1,σ1 )
均值差 正态总体η~N(μ2,σ2 )
的区间 估计
未知μ1及μ2
S12 ,
S12
F
a 2
S22
F1
a 2
S22
S1、S2为总体标 准差
n1、n2为样本容量 t为查t方分布表 所得
7
单样本区间估计应用例
区间估计方法在日常生活中应用广泛,如调查机构通过抽取 一部分样本,根据计算的样本数据值来估计全部调查对象的 某种观点的可能范围.通过对两种同一物料不同供应商的抽 样计算来判断其总体数值的分布范围,从而得出品质优劣的 结论等.六西格玛管理法中许多分析方法都包含了对数据进 行区间估计以判断改善前后或不同类别数据间的区别,特别 说明的是本章第一节置信区间的计算公式的前提条件是数 据连续数据且总体数据服从正态分布.非正态分布数据的置 信区间是很难计算的,估计作以讨论.本节将讨论连续数据单 样本区间估计例.
10.89 10.89 10.86 10.86 10.88
9
用图形表示以上数据如下(下页图):
10
计算抽取得当样本数据的均值和标准差
n 10 X 10.887 0.0116
我们从计算的样本均值可发现X与目标值存在差异,我
们想知道这种差异是因偶然因素还是特殊因素造成的.
计算总体均值的置信区间
X
0 n
a 2
,
X
0 n
a 2
X
s ta,X n2
s n
a 2
σ0为总体标准差 n为样本容量 μ a2 为查正态分 布所得
S为样本标准差 n为样本容量
a
μ 2 为查t分布得
正态总体ξ~N(μ,σ2 )
已知μ=μ0
n
X i 0 2
n
X
i
0
2
i1
X2 a 2
, i1
X
2 1
a 2