匹配问题及其应用

第四章 匹配问题及其应用

一、匹配理论概念及基本性质

（1）定义：

1、设M 是图G 的边子集，

称M 是G 中的一个匹配，若M 中任二边在G 中不相邻； M 中的每条边的两个端点称为在M 中相配； M 中每边的端点称为被M 许配；

称M 为G 的一个完全匹配，若G 中每个顶点皆被M 许配； 称G 的最大匹配，若对任意的G 的匹配M '，均有M M ≤'。 2、权数：对于匹配M ，它的权数为()()∑∈=

M

e e M ωω。

3、称M 为最优匹配，若M 为所有匹配中权数最大的匹配。

4、称P 为关于匹配M 的可扩路：设M 是图G 的一个匹配，若路P 的边在M 中交替出现，且P 的两个端点是M 不饱和的。

5、称B 是G 的一个覆盖集：设()G V B ⊂，若G 的每条边皆与B 中的顶相关联。

6、称B 是G 的极小覆盖：设()G V B ⊂，若B 是G 的一个覆盖集，但B v ∈∀，

{}v B -不再是G 的覆盖集。

7、称B 为G 的最小覆盖：设()G V B ⊂，若B 是G 的顶数最小的覆盖集。 8、G 的覆盖数：最小覆盖中顶的数目，记作()G β。

9、为A 与B 的对称差：B =()()

B A B A -，其中A 、B 为集合，有

时也写成B A ⊕。

（2）基本性质：

1、M 是图G 中的一个最大匹配当且仅当G 中无M 的可扩路。

2、设G 是二分图，顶集的二分图划分为X 与Y ，满足

①()Y X G V =； ②∅=Y X ；

③X 中的任两点不相邻，Y 中亦然；

④Y X ≤，记n X =；

则存在把X 中点皆许配的匹配的充要条件是X S ⊆∀，S S N ≥)(，其中)(S N 是S 中每个点的邻点组成的所谓S 的邻集。

求G 的最大匹配M 的算法： Step1：任取G 的匹配M ；

Step2：若n M ≥，则M 为G 的最大匹配，算法终止；

若不存在M 的可扩路，则M 为G 的最大匹配，算法终止。 否则转到Step3；

Step3：取M 的可扩路P ，作()P E M M ⊕=。 Eg ：求图G 的最大匹配。

()(){}5,4,3,2=

M

路P ：123456

作()P E M M ⊕='=()()()()M P E P E M \\ =()()()()M P E P E M \ =()()(){}6,5,4,3,2,1 Step1：取(){}21,y x M = 取121x y P =

①1P 上一边在M 中交叉出现 ②2x 、1y 都是M 不饱和的 1P ∴是关于M 的可扩路。 作⊕='

M M 1()1P E =()(){}1221,,,y x y x Step2：对于'M ，232x y P =也是可扩路。

作M ''=⊕'M ()2P E =()()(){}321221,,,,,y x y x y x Step3：对于M '',453x y P =也是可扩路。

作M '''=⊕''M ()3P E =()()()(){}54321221,,,,,,,y x y x y x y x

X

M ='''∴

3、k 次正则2分图有完备匹配，k>0。

4、若G 为二分图，则其最大匹配的边数为()G β。

5、图G 有完备匹配当且仅当()G V S ⊂∀，()S S G ≤-O ，其中()S G -O 是S G - 中奇数个顶的连通片的个数。

6、无桥三次正则图有完备匹配（所谓桥是一条边()G E e ∈，使得e G -的连通片增加）。

7、设G K n n =,是具有正常顶标l 的加权图，取G 的边子集

()()()(){}xy w y l x l G E xy xy E l =+∈=,

令l G 是以l E 为边集的G 的生成子图，如果l G 有完备匹配M ，则M 即为G

的最佳匹配。

8、n K 2是可以1因子分解的，1≥n 。

9、12+n K 存在每个因子皆生成圈的2因子分解，共计n 个生成圈。

二、匹配问题的应用

图论中涉及的匹配问题无论是在实际生活中还是在学习工作中都有着极其广泛的应用。 应用一：

回顾这一章开头提出的毕业生应聘问题，设n 名毕业生为n v v v ,...,,21，m 家招聘公司为m u u u ,...,,21。我们造一个二分图G ，()Y X E V U =，X 、Y 是G 的二分图顶划分，其中

{}n v v v X ,...,,21=， {}m u u u Y ,...,,21=，

仅当i v 可以接受的公司为j u 之间连一条边，如此构成一个应聘图G 。我们欲给出一个有效算法，求得上述二分图G 中的最大匹配。

与此问题相似的问题很多，例如某城市有n名姑娘，m名小伙子都到了结婚的年龄，其中一些异性年轻人互相已有友情，但姑娘们不愿轻率处理自己的终身大事，她们排除了一些小伙子作为自己的终身伴侣，这样她们实际上手头（心头）有一份可嫁的名单，问最多有多少位姑娘可以嫁给她如意的人选？

为解决诸如此类的问题，1965年匈牙利数学家埃德蒙兹（Edmonds）为之设计了一种命名为“匈牙利算法”的有效算法。

1、匈牙利算法：

（1）设G是连通的二分图，在G中任取初始匹配M；

（2）若M把X中顶皆许配，止；

否则取X中未被M许配的顶u,令{}∅

S,；

u

=

=T

（3）若()T

N=，止，G中无完备匹配；

S

否则取()T

∈；

y-

S

N

（4）若y被M许配，设{}y

yz

∈,，转（3）；

=

M

S

S

否则取可增广轨()y

M

M⊕

=，转（2）。

E

p,，令()P

u

匈牙利算法实例应用（摘自2011高教社杯全国大学生数学建模竞赛B题）：

问题重述：（问题中地图取自重庆市部分地图）

现就某市设置交巡警服务平台的相关情况，建立数学模型分析研究下面的5个问题：

Ⅰ.根据该市中心城区A的交通网络和现有的20个交巡警服务平台的设置情况示意图，为各交巡警服务平台分配管辖范围，使其在所管辖的范围内出现突发事件时，尽量能在3分钟内有交巡警（警车的时速为60km/h）到达事发地。

Ⅱ.对于重大突发事件，需要调度全区20个交巡警服务平台的警力资源，对进出该区的13条交通要道实现快速全封锁。实际中一个平台的警力最多封锁一个路口，请给出该区交巡警服务平台警力合理的调度方案。

Ⅲ.根据现有交巡警服务平台的工作量不均衡和有些地方出警时间过长的实际情况，拟在该区内再增加2至5个平台，请确定需要增加平台的具体个数和位置。

Ⅴ.针对全市（主城六区A，B，C，D，E，F）的具体情况，按照设置交巡警服务平台的原则和任务，分析研究该市现有交巡警服务平台设置方案（参见附件）