课标高中数学《312导数的概念》课件新人教A版选修

解 ∵Δs＝s(2＋Δt)－s(2)
＝a(2＋Δt)2＋1－a·22－1
＝4aΔt＋aΔt2，
∴ΔΔst＝4a＋aΔt.
在 t＝2 s 时，瞬时速度为
ΔΔst＝4a，即 4a＝8，∴a＝2.
规律方法 求瞬时速度是利用平均速度“逐渐逼近”的方法得 到的，其求解步骤如下： (1)由物体运动的位移 s 与时间 t 的函数关系式求出位移增量Δs ＝s(t0＋Δt)－s(t0)； (2)求时间 t0 到 t0＋Δt 之间的平均速度 v＝ΔΔst； (3)求 lim ΔΔst的值，即得 t＝t0 时的瞬时速度．
2．函数 f(x)在 x＝x0 处的导数 函数 y＝f(x)在 x＝x0 处的瞬时变化率是 lim Δ Δyx＝lim
f（x0＋ΔΔx）x－f（x0），我们称它为函数 y＝f(x)在 x＝x0 处的导
数，记作 f′(x0)或y′|x＝x0
，即 f′(x0)＝
Δ Δyx＝
f（x0＋Δx）－f（x0） Δx
[规范解答] 在第 2 s 和第 6 s 时，水管流量函数的导数为 f′(2)
和 f′(6)
(2 －f（2）
＝（2＋Δx）2＋7（2＋ΔxΔ）x＋15－（22＋7×2＋15）
＝4Δx＋（ΔΔxx）2＋7Δx＝Δx＋11，
【变式 1】 如果质点 A 按照规律 s＝3t2 运动，则在 t＝3 时的瞬
时速度为( )．
A．6
B．18
C．54
D．81
解析 s＝3t2，∴s（3（＋3Δ＋tΔ）t－）s－（33）＝3（3＋ΔΔt）t 2－3·32＝
18ΔtΔ＋t3Δt2＝3Δt＋18，
(3Δt＋18)＝18，∴在 t＝3 时的瞬时速度为 18.
答案 B
题型二 函数在某点处的导数 【例 2】 求 y＝x2 在点 x＝1 处的导数． [思路探索]
解 Δy＝(1＋Δx)2－12＝2Δx＋(Δx)2， ΔΔyx＝2Δx＋Δ（xΔx）2＝2＋Δx， ∴lim ΔΔxy＝lim (2＋Δx)＝2.∴y′|x＝1＝2.
规律方法 求函数 y＝f(x)在点 x0 处的导数的步骤是：
题型三 导数的实际意义 【例 3】(12 分)一条水管中流出的水量 y(单位：m3) 是时间 x(单 位：s)的函数 y＝f(x)＝x2＋7x＋15(0≤x≤8)．计算第 2 s 和第 6 s 时，水管流量函数的导数，并说明它们的实际意义． 审题指导 先利用导数的定义求导，再利用导数就是瞬时变化率 解释其实际意义．
.
想一想：函数 f(x)在 x＝x0 处的导数与Δx 趋近于 0 的方式有关 吗？ 提示 没有关系．无论Δx 从一侧趋近于 0 还是从两侧趋近于 0， 其导数值应相同．否则 f(x)在该点处导数不存在，如函数 f(x) ＝|x|在 x＝0 处导数不存在．
名师点睛 1．对瞬时变化率的理解 (1)瞬时速度即位移函数相对于时间的瞬时变化率． (2)在平均变化率ΔΔst中，Δt 趋近于 0，是指时间间隔Δt 越来越 短，能越过任意小的时间间隔，但始终不能为 0. (3)Δt，Δs 在变化中都趋近于 0，其比值ΔΔst趋近于一个确定的 常数，这时此常数才称为 t0 时刻的瞬时速度． (4)瞬时变化率的实质是当平均变化率中自变量的改变量趋向 于 0 时的值，其作用是刻画函数值在 x0 点处变化的快慢．
2．对导数概念的理解 导数是在点 x＝x0 处附近ΔΔxy的极限，是一个局部概念，y＝f(x) 在 x＝x0 处的导数 f′(x0)是一个确定的数． 注意：(1)某点导数的概念包含两层含义： ①lim ΔΔxy存在(惟一确定的值)，则称函数 y＝f(x)在 x＝x0 处可 导， ②若 lim ΔΔxy不存在，则函数 y＝f(x)在 x＝x0 处不可导．
3．1.2 导数的概念
【课标要求】 1．通过对大量实例的分析，经历由平均变化率过渡到瞬时变化 率的过程，了解导数概念的实际背景． 2．了解导数的概念，知道瞬时变化率就是导数． 3．掌握函数在一点处导数的定义． 【核心扫描】 1．理解瞬时速度的意义，会求物体运动过程中某时刻 t0 的瞬时 速度． 2．理解函数在某点处的导数是本节的难点，正确理解这一概念 为进一步研究导数奠定基础．
(1)求函数的增量Δy＝f(x0＋Δx)－f(x0)；
(2)求平均变化率Δ Δyx＝f（x0＋ΔΔx）x－f（x0）；
(3)取极限，得导数 f′(x0)＝lim
Δy Δx.
【变式 2】 求 y＝2x2＋4x 在点 x＝3 处的导数． 解 Δy＝2(3＋Δx)2＋4(3＋Δx)－(2×32＋4×3)＝2(Δx)2＋16 Δx，ΔΔxy＝2Δx＋16， ∴lim ΔΔxy＝lim (2Δx＋16)＝16，即 y′|x＝3＝16.
自学导引 1．瞬时变化率 函数 y＝f(x)在 x＝x0 处的瞬时变化率是函数 f(x)从 x0 到 x0＋Δx 的平均变化率在Δx→0 时的极限，即
想一想：函数平均变化率的几何意义和物理意义是什么？ 提示 平均变化率的几何意义是表示函数 y＝f(x)图象上割线 P1P2 的 斜 率 ( 其 中 P1(x1 ， f(x1) ， P2(x2 ， f(x2)) ， 即 kP1P2 ＝ f（x2）x2－－fx（1 x1）＝f（x1＋ΔΔx）x－f（x1）； 物理意义是把位移 s 看成时间 t 的函数 s＝s(t)在时间段[t1，t2] 上的平均速度，即 v＝s（t2）t2－－st1（t1）.
(2)位移函数在某一时刻的瞬时变化率(导数)叫瞬时速度，即 v ＝lim ΔΔst＝lim s（t0＋ΔtΔ）t－s（t0）. (3)f′(x0)＝lim f（x）x－ －fx（0 x0）与定义中的 f′(x0)意义本质相同．
题型一 物体运动的瞬时速度 【例 1】 一质点按规律 s(t)＝at2＋1 作直线运动(位移单位：m， 时间单位：s)，若该质点在 t＝2 s 时的瞬时速度为 8 m/s，求常 数 a 的值． [思路探索] 求物体的瞬时速度，应先求出平均速度ΔΔst，再取极 限．