高一数学论文

二元一次方程根的分布

高一（6）班 王阿芷

结合二次函数的图像，了解函数的零点和方程根的联系，判断一元二次方程根的存在

性及根的个数是解决函数与方程这一类问题的很重要的方法。这次主要介绍的是有关一元二次方程根的分布的问题。

【引例】若方程kx ²－﹙2k ＋1﹚x －3=0在(﹣1,1)和（1，3）内各有一个实数根，求

实数k 的取值范围。

【解析】∵函数f(x)=kx ²－﹙2k ＋1﹚x －3的图像是连续曲线，由题意及勘根定理可知

f(﹣1) ·f(1) ＜0且f （1）·f(3) ＜0，

（3k －2）(-k －4) ＜0,

即

(-k －4)(3k －6) ＜0

k ＞23

或k ＜-4,

k ＞2或k ＜-4,

解得k ＜-4或k ＞2.

故所求的实数k 的取值范围是k ＜-4或k ＞2.

【探究一】若将上述条件改为“有一个根小于1，另一个根大于1”，情形如何？

Ⅰ.方法一：当k ＞0时，f （x ）的图像的开口方向向上，必存在两个数a 和b ，使a

＜1＜b ，且f （a ）＞0,f(b) ＞0.因而只需f （1）＜0即可，即-k-4＜0,即k ＞-4，

又k ＞0， ∴k ＞0.

类似的可得，当k ＜0时，有f （1）＝-k －4＞0，即k ＜﹣4.

所求的实数k 的取值范围为k ＜﹣4或k ＞0. Ⅱ.方法二：作f （x ）的大致图像如下图所示，由图可知kf （1）＜0，即k （﹣k －4）

＜0，解得k ＞0或k ＜﹣4.

故所求的实数k 的取值范围为k ＜﹣4或k ＞0.

【感悟】比较上述两种方法可知，方法一利用定理，理由充足，令人信服，但不及方法二简捷.在方法二中，利用二次函数图像

的直观形象及函数零点存在性定理很快得出符合根的分布所必须满足的条件，从而使问题顺利的解决.

【探究二】若将上述条件改为“在（﹣1，1）内有两个实根”，

情形如何呢？

做出符合根的分布的大致函数图像（如下图所示）.

要是图像与x 轴有交点，则有△≥0，由图可知，f （﹣1）， x

f （1）与k 的符号相同，且对称轴必须在（1，﹣1）内，即有

△＝（2k+1）²+12k ≥0，

Kf （﹣1）＝k （3k －2）＞0，

kf （1）＝k （﹣k －4）＞0，

﹣1＜2k+12k

＜1，

k ≥﹣2+√152 或k ≤﹣2－√152

， 即 k ＞23

或k ＜0，

﹣4＜k ＜0，

k ＜﹣14 . 解得﹣4＜k ≤﹣2－√152

即为所求.

【感悟】由此可知，利用二次函数图像的直观形象，可以快速地得到它所必须满足的条件，具体做法是：先作出符合根的分布的二次函数的函数图像，由图像的直观形象，可得到f （x ）在区间端点处的函数值和判别式的符号，以及对称轴的位置等情况，从而找到所需满足的条件.但应注意的是，由图像所得出的条件必须能推出符合题意的根的分布.如由图像得到f

△≥0， （x ）＝0在（﹣1，1）内有两根所满足的条件为 kf （﹣1）＞0，但不能推出f （x ）＝0

kf （1）＞0.

在（﹣1，1）内有两个实根.如图所示，显然满足上述三个条件，但两根均大于1.

【例】若二次函数y ＝﹣x ²＋mx －1的图像与两端

点为A(0,3),B （3，0）的线段AB 有两个不同的交点，

求m 的取值范围.

【点拨】先求出线段AB 的方程，之后将图像交点

问题转化为方程组解的问题，再将方程组解的问题转

化为二次函数在区间上有零点的问题，最后通过

不等式组求得m 的范围.

【解析】线段AB 的方程为x ＋y ＝3(0≤x ≤3),

由题意得方程组 x ＋y ＝3(0≤x ≤3), ①有两组实解.

y ＝﹣x ²＋mx －1 ②

①代入②得x ²－﹙m ＋1﹚x ＋4＝0(0≤x ≤3)有两个实根，

令f （x ）＝x ²－﹙m ＋1﹚x ＋4.

因此问题转化为二次函数f （x ）＝x ²－﹙m ＋1﹚x ＋4在x ∈[0，3]上有两个不同的实根，故有

△＝（m ＋1）²－16＞0,

0＜m ＋12 ＜3, 解得3＜m ≤103

. f(0) ＝4＞0,

f(3) ＝9－3(m ＋1) ＋4≥0,

故m 的取值范围是﹙3，103

]. 【点评】本题解法体现了函数与方程的思想：从列方程（组）开始，通过消元得到一元二次方程，对这个方程实根的研究转化为二次函数f （x ）在[0，3]上的实根，又转化为二次函数f （x ）在[0，3]上与x 轴有两个交点的问题，最后建立m 的不等式组求出m 的取值范围，整个解题过程是对函数，方程和不等式的研究和转化，充分体现了函数方程思想的应用。