第3章 抽样误差与假设检验(2)

2、未知
通常未知，这时可以用其估计量 S 代替，
但
( X ) /( S / n )
已不再服从标准正态分布，而是
f (t )
服从 t 分布。
v
标准正态分布
v5 v 1
图4-2
不同自由度的 t 分布图
可信区间的计算:
计算可信区间的原理与前完全相同，仅仅是两
侧概率的界值有些差别。即
应用
供判断观察对象某项指标正常 与否（辅助诊断）
估计未知的总体均数所在范围
小 结

3.假设检验是依据样本提供的有限信息对总体 作推断的统计学方法，是在对研究总体的两种 对立的判断之间选择的决策程序。 4.假设检验的过程是：建立检验假设 计 算统计量 确定P值并与给定的a值比较 作出推断结论。


5.假设检验的基本逻辑是小概率事件在一次抽 样中不太可能出现。
准确度与精确度的关系：
四、 假设检验
（一）假设检验的思维逻辑

例 某商家宣称他的一批鸡蛋“坏蛋率为1％”。为了对 这批鸡蛋的质量（即坏蛋率是1％还是高于1％）作出判 断，顾客与商家约定，从中随机抽取5个做检查。结果为 4个“好蛋”，1个“坏蛋”。 根据这一结果，几乎任何一位顾客都会对“这批鸡蛋坏 蛋率为1％”的广告词发生怀疑。 在坏蛋率为1％的前提下，5个鸡蛋样品中出现一个坏蛋 的机会是很小的，发生机会很小的事件竟然在一次抽样 中就出现了，人们不禁怀疑前提条件（“坏蛋率为1％”） 的真实性。 这种问题需要通过假设检验来解决。
换句话说，做出市全体19岁男大学生身高均数
为171.3 -- 173.1cm的结论，说对的概率是95%， 说错的概率是5%。
Hale Waihona Puke Baidu
（2）t 分布 法
公式——x t /2, sx
应用条件—— 样本量 较小， 已知或可计算出 x 及 s x 例题 意义
例：某医生测得 25名动脉粥样硬化患者血浆纤 维蛋白原含量的均数为3.32 g/L，标准差为0.57


4．下结论

假设检验的推断结论是对“H0是否真实”作出判断。这种 判断是通过比较P值与检验水准a的大小来进行的。 在两个检验假设之间进行二者取一抉择（决策）的规则是： 如果 P ，意味着在H0成立的前提下发生了小概率事件， 根据“小概率事件在一次随机试验中不（大）可能发生” 的推断原理，怀疑H0的真实性，从而做出拒绝H0的决策。 因为 H1与H0是对立的，既然拒绝 H0 ，就只能接受 H1 。
第三章 抽样误差与假设检验
三、 参数估计
（一）参数估计的概念

参数估计： 是指用样本指标（统计量）估计总体指标（参 数）。

包括： 点估计（近似值） 区间估计（近似范围）
点估计：

用样本统计量直接作为总体参数的点估计值， 点估计的方法简单，但没有考虑抽样误差，无法评估估 计值与真值之间的差距。

2．计算统计量 （根据样本数据计算相应的统计量）
根据资料类型、研究设计方案和统计推断的目的，选择 适当的检验方法，不同检验方法各有其相应的检验统计 量及计算公式。许多假设检验方法是以检验统计量来命 名的，如 t 检验、z检验、F检验和 2 检验等。

在例6－1中，应计算t检验的统计量t 相应的自由度为 ＝n－l＝36－l＝35．
4.5 x 1.96sx 172.2 1.96 (171.3,173.1) 90
故该市2007年健康男大学生平均身高的95％置信区间 为（171.3，173.1）cm
意义： 虽然不能知道该市全体19岁男大学生身高均数
的确切数值，但有95%的把握说该市全体19岁男
大学生身高均数在171.3 -- 173.1cm之间。
*
*
*
模拟抽样成年男子红细胞数100次的95%可信区间示意图 ( 4.75， 0.39，n 140)
区间估计的准确度：说对的可能性大小， 用 (1-)
来衡量。99%的可信区间好于95%的可信区间
（n, S 一定时） 。
区间估计的精确度：指区间范围的宽窄，范围越
宽精确度越差。99%的可信区间差于95%的可信区 间（n, S 一定时） 。
练习题
1．正态曲线下，横轴上从一∞到µ+1.96σ的面积为 ( )。 A．95％ B．45％ C．97.5％ D．47.5％ E．不能确定 2. t分布与标准正态分布相比，( )。 A．均数要小 B．均数要大 C．标准差要小 D．标准差要大 E．均数和标准差都不同

练习题
有100个健康成年男子，用甲方法进行血钙值测定， 得平均数为10mg/100ml，标准差为1mg/100ml。 （1）现有一成年男子血钙值为9mg/100ml，问此人 血钙值是否正常（95％）？ （2）该地健康成年男子平均血钙值95％的范围是多 少？ （3）血钙值在8～12mg/100ml之间的约有几人？

无论做出哪一种推断结论（接受或是拒绝H0 ），
都面临着发生判断错误的风险。这就是假设检验
的两类错误。

以一个总体均数等于某一特定数值的推断为例，上述 步骤可以归纳为图6－1。
小 结

1.参数估计有两种方法：一是直接用样本统计 量估计总体参数，称为点估计。另一是区间估 计。即按一定的置信度估计总体参数所在范围，
g/L，试计算该种病人血浆纤维蛋白原含量总体
均数的95%可信区间。
下限： 上限：
X－t / 2 ( ) .S X 3.32 2.064 0.57 / 25 3.09 (g/L)
X t / 2 ( ) .S X 3.32 2.064 0.57 / 25 3.56 (g/L)

无效假设（null hypothesis），又称零假设，记为 H0。
备择假设（alternative hypothesis），记为 H1。
H1与 H0应该既有联系又相互对立。两个检验假设应该 包括两种（也是所有）可能的判断。研究者要按照假设 检验的规则在两个假设（即两种对立的判断）之间做出 抉择。
P (－t / 2 ( ) X－ t / 2 ( ) )＝ 1－ S/ n
可信区间：
( X－t / 2 ( ) .S X， X＋t / 2 ( ) .S X )
需要注意：在小样本情况下，应用这一公式的 条件是原始变量服从正态分布。在大样本情况下
（如n>100),也可以用 Z
/2
替换 t 近似计算。
/2
（二）可信区间的计算
——总体均数的可信区间
1.正态分布近似法（Z分布法） 2. t分布法
（1）u 分布 法
公式
应用条件: 例题 意义：与参考值范围进行比较
x 1.96sx
样本量较大， 已知或可计算出
x 及 sx

某市2007年随机测量了90名19岁健康男大学生的 身高，其均数为172.2cm，标准差为4.5cm，试估 计该市2007年健康男大学生平均身高的95％置信 区间。
区间估计： 指按预先给定的概率，计算出一个区间，使它 能够包含未知的总体均数。事先给定的概率1 称为可信度，通常取 1 0.95 。
(二)可信区间的计算
1、已知
Z X / n
X P 1.96 1.96 0.95 / n





需要通过假设检验来处理的问题一般具有两个 特点：
一是需要从全局的范围，即从总体上对问题作出判断； 二是不可能或者不允许对研究总体的每一个体均做观察。

例如，某工厂生产了一批炮弹，需要检测他们 的炮弹是否合格；某药厂生产了一批用安剖瓶 封装的注射药物，需要检测他们的质量是否合 格等等。 对这类问题只能从研究总体中抽取大小合适的 随机样本，然后应用假设检验的理论和方法， 依据样本提供的有限信息对总体做判断。
（三）模拟实验
模拟抽样成年男子红细胞数。设定:
4.75， 0.39，n 140
产生100个随机样本，分别计算其95%的可信区间，
结果用图示的方法表示。从图可以看出：绝大多数
可信区间包含总体参数 4.75，只有6个可信区间 没有包含总体参数（用星号标记）。
*
μ
*
*
图4-2
最常用的是95％置信区间和99％置信区间。由
于考虑了抽样误差的大小，区间估计比点估计 更有用。
小 结

2.总体均数的区间估计
根据资料已知的条件及样本含量n的大小，总 体均数置信区间的计算公式不同。实际工作中， 估计总体均数置信区间时，要注意与参考值范围 的区别。
参考值范围
意义 计算 绝大多数人某指标的数值范围 正态分布：

（二）假设检验的基本步骤

例6－1 已知北方农村儿童前囟门闭合月龄为
14.1月。某研究人员从东北某县抽取36名儿童， 得囟门闭合月龄均值为14.3月，标准差为5.08月。 问该县儿童前囟门闭合月龄的均数是否大于一般 儿童？
返回
1.选择检验方法，建立检验假设并确定检验水准；

根据研究目的、研究设计的类型和资料特点（变量种类、 样本大小）等因素选择合适的检验方法。
P X 1 . 96 X 1 . 96 0.95 n n
可信区间：
( X 1.96 X , X 1.96 X )
一般情况
( X u / 2 X , X u / 2 X )
其中
Z / 2 为标准正态分布的双侧界值。


如果 P ，在H0成立的假设下发生较为可能的事件，没 有充足的理由对H0提出怀疑。于是做出不拒绝H0的决策。

在例6－1中由于P>0.5，自然有P＞0.05 即a 这意味着，如果该县儿童前囟门闭合的平均月龄
为14.1月，观察到囟门闭合月龄均值为14.3月的
样本（以及均值更大的样本）的可能性还是比较 大的（概率大于0.5）；没有理由对H0提出怀疑， 于是做出不拒绝H0的推断结论。
3．确定P值

P值的意义是：如果总体状况和H0一致，统计量获得现有 数值以及更不利于H0的数值的可能性（概率）有多大？ 对于前述鸡蛋的例子，在5个鸡蛋样品中出现了 1个“坏 蛋”。那么更不利于广告词（即H0 ）的可能是5个鸡蛋样 品中出现2个、3个、4个甚至5个坏蛋。于是P值就是坏蛋 数 1 的概率。 对于例 6－1，统计量越大越不利于H0 ，所以这里的 P值 应取为自由度为 35的 t分布曲线下，大于0.236的尾端的 面积。查附表2（t界值表），单侧 t0.5(35) 0.682 ，于是 得知P＞0.5。
总体均数置信区间
按一定概率估计总体参数所在的可能范围 正态分布： 未知：
X Z /2 S （双侧）
X Z /2 S X
（双侧）
X Z S 或 X Z S （单侧）
X Z S X

或 X Z S X （单侧） （双侧）
已知：
X Z /2 X
X Z X 或 X Z X（单侧）

在例6－1中，根据资料的设计类型应选择t检验
＝14.l（月）， 为该县儿童前囟门闭合月龄总体 H0： 均数，意为“总体上该县儿童前囟门闭合月龄的平均水 平与一般儿童的平均水平相同”。

H1： ＞14.1（月），意为“该县儿童前囟门闭合月龄 的平均水平高于一般儿童的平均水平”。 检验水准（size of a test），用希腊字母 表示。实践 中常取0.05或 0.01等数值。它将小概率事件具体化， 即规定概率不超过 就是小概率。