课件】高等数学下册同济大学出版社经管类第2版第六章空间解几

设点M x, y, z 是空间内一点，向量OM 称为点 M 的
向径.过点 M 分别作与坐标轴垂直的平面，交 x, y, z轴与 P,Q, R（图 6-10），根据向量做线性运算，容易证明：
OM OP PA AM xi y j zk .
z R
z a
M
PO Qy
x 图6 - 10
O y
x
图6－11
M1M2 x2 x1 2 y2 y1 2 z2 z1 2
例1 求点Mx, y,z到三个坐标面的距离.
解 过点M作与xOy面垂直的直线，则垂足A的坐标为
Ax, y,0，且MA的长
MA xx2 y y2 z 02 z
就是点M到xOy面的距离. 同理可得，点 M 到yOz 面，zOx 面的距离分别为 x 和
向量a的大小又称为向量的模，记作 a .模为 1 的向 量叫做单位向量；模为零的向量叫做零向量.
两个向量a和b的大小相同，方向一致，就称向量 a 和b相等，记作a b.
将两个非零向量 a 和 b 平移到同一起点，它们所
在射线间的夹角 0 π称为向量 a与 b的夹角
（图
6-5），记作
a,b
.
例 1 已 知 平 行 四 边 形 ABCD 的 对 角 线 向 量 AB a， BD b ，试用向量a ,b 表示向量 AB和 DA.
解 设 AC ， BD的交点为 O（图 6-9），由于平行四 边形对角线互相平行，故
AO 1 AC 1 a，OD BO 1 BD 1 b，
2
2
2
2
根据三角形法则，有
表示为M x, y, z.
z
z
R
O Qy
P
x 图6－3
Leabharlann Baidu
y
x
图6－4
3 空间两点间的距离公式 设点
M1(1, 1, 2), M2 (1, 2,0), M3(1,3,1) 和 M2 x2, y2, z2 是空间
两点，从图 6-4 容易看到，长方体的对角线M1M2的长的 平方等于三条棱长的平方和，由此得点 M1和 M2间的 距离公式为
Ⅲz Ⅱ ⅣⅠ
O ⅧⅦ Ⅴ
Ⅵ
y
x
图6-2
2. 空间内一点的坐标 设点 M 是空间一点，过点 M 分别作与三条坐标轴垂直的平面，分别交 x 轴，y 轴，z 轴于 P，Q，R.设点 P，Q，R 在三条坐标轴的坐标依次为 x，y，z，虽然点 M 与有序数组 x，y，z 之间存在一一对 应的关系（图 6-3）.有序数组 x，y，z 称为点 M 的坐标， 又分别叫做横坐标，纵坐标，和竖坐标.点 M 可用坐标点
设 向 量 a M1M2 的 起 点 和 终 点 的 坐 标 分 别 为
反 ； 当 0时 ， 它 为 零 向 量 .它 的 模 为 aa.
向量的线性运算有以下性质： (1)交换律 abba；
(2)结合律abca bc ， a a ,是数；
(3)分配律 aaa
ab ab , 是数.
3 向量平行的充分必要条件
定理 向量b与非零向量a平行的充分必要条件
是，存在惟一的数，使 ba.
第六章 向量代数与空间解析几何
向量在数学、物理、力学和工程技术中有广泛 的应用.本章前一部分侧重学习如何用代数的方法表 示向量及怎样用代数的方法进行向量的运算.
空间解析几何这门学科，把代数方程与空间几 何图形联系起来，是数形结合的典范.本章第二部分， 学习一些空间解析几何的基本知识.
第一节 空间直角坐标系
AB AO OB AO BO
D
C
1ab 2
DA AD AO OD
O
A
B
1ab 2
图6 - 9
二、 向量的坐标表达式
1. 向量的坐标表达式
在空间直角坐标系中，记向量 i, j, k 分别为与 x, y, z轴 正向相同的单位向量，它们称为直角坐标系O xyz 的基 本单位向量.空间内任一向量都能用基本单位向量表示.
y.
例2在y轴上求与点A1,3,7和B5,7,5等距离的点. 解所求的点在y 轴上，可设为M0,y,0.根据题意有
MA MB，
即有
1023y2702 5027y2502 解得 y2，则所求的点为M0,2,0.
第二节 向量及其线性运算
一 向量及线性运算
1 向量的概念 既有大小，又有方向的量称为向量 或矢量.几何上常用的有向线段表示向量，有向线段的长 度表示向量的大小，有向线段的方向表示向量的方向， 有向线段的起点和终点分别叫做向量的起点和终点.以 点 A 为起点，点 B 为终点的向量记作 AB.向量也常用 一个字母表示，如a,b,c,i ，等.
四边形法则），或按图 6-7 的方法确定（称为三角形法则）.
向量a与b的差，按图 6-8 的方法确定.
B
C
b
oa A
a
b
C a -b B
Ob A
图6-6
图6-7
图6- 8
数 与 向 量 a的 积 a规 定 为 平 行 向 量 a 的 一 个 向 量 . 当 0时 ， 它 与 a方 向 相 同 ； 当 0时 ， 它 与 a 方 向 相
y 轴，z 轴的正向要遵循右手法则，
z
即以右手握住 z 轴，当右手的四个
手指从正向
x
轴以
π 2
角度转向正向
y
y 轴 时 ， 大 拇 指 的 指 向 是 z 轴 的 正 向 . x 图6—1
任意两条坐标轴确定的平面称 为坐标面.由x轴和y轴，y轴和z轴， z轴和x轴所确定的坐标面分别叫做 xOy面，yOz面和zOx面.三个坐标面 把空间分隔成八个部分，每个部分 称为一个卦限，依次叫第一至第八 卦限.
当
a,b
π
或
a,b
0时，就称
向量 a与 b平行，记作a // b；
当
a,b
π 2
时
，就称
a与b垂
直，记作a b.
a
a
θ b
图6－5
规定零向量 0与任意向量都平行或垂直.
2 向量的线性运算
向量的加法，数与向量的乘法，统称为向量的线性
运算.
向量a与b的和a b，按图 6-6 的方法确定（称为平行
一、 空间直角坐标系
1. 空间直角坐标系 在空间内取定一点 O，过点 O 作 三 条 具 有 相 同 长 度 单 位 ，且 两 两 互 相 垂 直 的 x 轴 ，y 轴 ， z 轴 ， 这 样 就 称 建 立 了 空 间 直 角 坐 标 系O xyz .点 O 称 为
坐 标 原 点 ，x 轴 ，y 轴 ，z 轴 统 称 为 坐 标 轴 ，又 分 别 叫 做 横 轴 ， 纵 轴 ， 和 竖 轴 .一 般 规 定 x 轴 ，