等差数列前n项和的函数特性

第二课时等差数列前n项和的函数特性
【选题明细表】
题号
知识点、方法
易中
a n与S n的关系1、3、4 6
等差数列前n项和的最值 2 7、8 等差数列前n项和的综合应用5、9
基础达标
1.(2011年高考江西卷)已知数列{a n}的前n项和S n满足:S n+S m=S n+m,且a1=1,那么a10等于( A )
(A)1 (B)9 (C)10 (D)55
解析:∵S n+S m=S n+m,且a1=1,∴S1=1.
令m=1,得S n+1=S n+1,∴S n+1-S n=1,
即当n≥1时,a n+1=1,
∴a10=1.
故选A.
2.已知数列{a n}为等差数列,S n为{a n}的前n项和,S6<S7,S7=S8,S8>S9,则下列说法中错误的是( C )
(A)d<0 (B)a8=0
(C)S10>S6(D)S7和S8均为S n的最大值
解析:由题意知等差数列{a n}前n项和S n,当1≤n≤7递增,n≥8时递减,故应选C.
3.数列{a n}的前n项和为S n,点(n-1,)在直线x-y+1=0上,则数列的通项公式为( D )
(A)a n=2n-2 (B)a n=2n+2
(C)a n=4n (D)a n=2n
解析:由题意知(n-1)-+1=0,∴S n=n2+n.
当n=1时,a1=S1=2;当n≥2时,a n=S n-S n-1=n2+n-(n-1)2-(n-1)=2n,a1符合
a n的表达式,所以数列的通项公式为a n=2n.故选D.
4.已知无穷项等差数列{a n}中,它的前n项和为S n,且S7>S6,S7>S8,那么( C )
(A){a n}中a7最大 (B){a n}中a3或a4最大
(C)当n≥8时,a n<0 (D)一定有S3=S11
解析:S7>S6知a7>0,S7>S8知a8<0,故d<0,
∴当n≥8时,a n<0.故选C.
5.(2012丰台区高三期末考试)设S n是等差数列{a n}的前n项和,若
S5=a8+5,S6=a7+a9-5,则公差d= .
解析:∵S5+a6=S6,∴a6+a8+5=a7+a9-5,
∴(a7-a6)+(a9-a8)=10,即2d=10,∴d=5.
答案:5
6.若数列{a n}的前n项和是S n=n2-4n+2,则|a1|+|a2|+…
+|a10|= .
解析:当n=1时,a1=S1=1-4+2=-1;
当n≥2时,
a n=S n-S n-1=n2-4n+2-[(n-1)2-4(n-1)+2]=2n-5,
所以前两项为负数.
故|a1|+|a2|+…+|a10|=S10+2(|a1|+|a2|)=102-4×10+2+2×(1+1)=66. 答案:66
能力提升
7.(2012东城区高三期末试题)在等差数列{a n}中,若a6=2,a10=-10,则该数列前n项和的最大值为.
解析:设公差为d,则4d=a10-a6=-12,∴d=-3,
又由a6=2,得a1+5d=2,∴a1=17,
∴S n=17n+×(-3)=-(n-)2+,
∴当n=6时,S n取得最大值57.
答案:57
8.设等差数列{a n}的前n项和为S n,若a1>0,S4=S8,求S n取得最大值时n 的值.
解:等差数列前n项和S n最大值是在a1>0,d<0的情况下取到的,此时a n≥0,a n+1<0.
∵a1>0,S4=S8,∴d<0.
由S4=S8,得a1=- d.
∴a n=-d+(n-1)d=nd- d.
由得解得5<n≤6,
∴n=6时S n取得最大值.
9.在等差数列{a n}中,S n为等差数列{a n}的前n项和,已知
S7=7,S15=75,T n为数列的前n项和,求T n.
解:设等差数列{a n}的首项为a1,公差为d,
则S n=na1+ d.
因为S7=7,S15=75,所以解得
所以=a1+(n-1)d=-2+(n-1).
又因为-=,所以数列是等差数列,首项为-2,公差为,所以T n=n2-n.。