等差数列前n项和的函数特性

第二课时等差数列前n项和的函数特性

【选题明细表】

题号

知识点、方法

易中

a n与S n的关系1、3、4 6

等差数列前n项和的最值 2 7、8 等差数列前n项和的综合应用5、9

基础达标

1.(2011年高考江西卷)已知数列{a n}的前n项和S n满足:S n+S m=S n+m,且a1=1,那么a10等于( A )

(A)1 (B)9 (C)10 (D)55

解析:∵S n+S m=S n+m,且a1=1,∴S1=1.

令m=1,得S n+1=S n+1,∴S n+1-S n=1,

即当n≥1时,a n+1=1,

∴a10=1.

故选A.

2.已知数列{a n}为等差数列,S n为{a n}的前n项和,S6S9,则下列说法中错误的是( C )

(A)d<0 (B)a8=0

(C)S10>S6(D)S7和S8均为S n的最大值

解析:由题意知等差数列{a n}前n项和S n,当1≤n≤7递增,n≥8时递减,故应选C.

3.数列{a n}的前n项和为S n,点(n-1,)在直线x-y+1=0上,则数列的通项公式为( D )

(A)a n=2n-2 (B)a n=2n+2

(C)a n=4n (D)a n=2n

解析:由题意知(n-1)-+1=0,∴S n=n2+n.

当n=1时,a1=S1=2;当n≥2时,a n=S n-S n-1=n2+n-(n-1)2-(n-1)=2n,a1符合

a n的表达式,所以数列的通项公式为a n=2n.故选D.

4.已知无穷项等差数列{a n}中,它的前n项和为S n,且S7>S6,S7>S8,那么( C )

(A){a n}中a7最大 (B){a n}中a3或a4最大

(C)当n≥8时,a n<0 (D)一定有S3=S11

解析:S7>S6知a7>0,S7>S8知a8<0,故d<0,

∴当n≥8时,a n<0.故选C.

5.(2012丰台区高三期末考试)设S n是等差数列{a n}的前n项和,若

S5=a8+5,S6=a7+a9-5,则公差d= .

解析:∵S5+a6=S6,∴a6+a8+5=a7+a9-5,

∴(a7-a6)+(a9-a8)=10,即2d=10,∴d=5.

答案:5

6.若数列{a n}的前n项和是S n=n2-4n+2,则|a1|+|a2|+…

+|a10|= .

解析:当n=1时,a1=S1=1-4+2=-1;

当n≥2时,

a n=S n-S n-1=n2-4n+2-[(n-1)2-4(n-1)+2]=2n-5,

所以前两项为负数.

故|a1|+|a2|+…+|a10|=S10+2(|a1|+|a2|)=102-4×10+2+2×(1+1)=66. 答案:66

能力提升

7.(2012东城区高三期末试题)在等差数列{a n}中,若a6=2,a10=-10,则该数列前n项和的最大值为.

解析:设公差为d,则4d=a10-a6=-12,∴d=-3,

又由a6=2,得a1+5d=2,∴a1=17,

∴S n=17n+×(-3)=-(n-)2+,

∴当n=6时,S n取得最大值57.

答案:57

8.设等差数列{a n}的前n项和为S n,若a1>0,S4=S8,求S n取得最大值时n 的值.

解:等差数列前n项和S n最大值是在a1>0,d<0的情况下取到的,此时a n≥0,a n+1<0.

∵a1>0,S4=S8,∴d<0.

由S4=S8,得a1=- d.

∴a n=-d+(n-1)d=nd- d.

由得解得5

∴n=6时S n取得最大值.

9.在等差数列{a n}中,S n为等差数列{a n}的前n项和,已知

S7=7,S15=75,T n为数列的前n项和,求T n.

解:设等差数列{a n}的首项为a1,公差为d,

则S n=na1+ d.

因为S7=7,S15=75,所以解得

所以=a1+(n-1)d=-2+(n-1).

又因为-=,所以数列是等差数列,首项为-2,公差为,所以T n=n2-n.