Weibull分布寿命数据的参数估计
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华中科技大学 硕士学位论文 Weibull分布寿命数据的参数估计 姓名：雷刚 申请学位级别：硕士 专业：概率论与数理统计 指导教师：刘次华 20060401
华 中 科 技 大 学 硕 士 学 位 论 文
摘
要
对于工程界、生物医学界等许多领域的工作者，各种各样的与寿命、存活时间 或失效时间有关的数据的统计分析已发展成为一个重要的专题。寿命分布方法，从 产品的可靠性研究到涉及人类各种疾病的研究，都有着广泛的应用。本文重点讨论 了在可靠性试验中，产品寿命服从 Weibull 分布ห้องสมุดไป่ตู้的参数估计问题。 第一章简要介绍了选题的背景，包括寿命数据的特点、统计分析方法及 Weibull 分布。第二章主要讨论了完全样本情形下 Weibull 分布的参数估计问题，包括矩估 计、极大似然估计（MLE） 、Bayes 估计、图形方法及其它的一些统计方法。并重点 考虑了二参数情形下 Weibull 分布参数的矩估计问题。一直以来，对 Weibull 分布参 数的矩估计都是采用数值方法求解，本文利用 Gamma 函数的一些性质，得到了估 计的显式解，并从理论和数值模拟说明此种方法相比其它方法的优越性。 第三章针对截尾样本参数估计问题分三种情况进行了讨论。对定数截尾情形， 重点介绍了我做的工作：从（标准）极值分布入手，因为极值分布是 Weibull 分布 的一种变形，但同时它的两个参数为位置、尺度参数，相对 Weibull 分布的尺度、 形状参数研究起来方便多了。从这个思路出发给出了参数的估计式，还提出了一种 新的迭代算法，模拟结果显示：这种方法收敛速度快，且不受初值选取的限制。对 定时截尾和随机截尾，分别介绍了参数的 MLE 和 Bayes 估计。 第四章介绍了无失效数据的情形，因传统的方法到这里基本上都失效了，故而 都做了改进，提出了拟矩估计、修正极大似然估计，随后重点讨论了配分布曲线法 及最小二乘估计，其中最关键的是给出失效概率的合理估计，论文着重考虑了 Bayes 估计和多层 Bayes 估计。最后简要介绍了关于这类可靠性问题中待解决的问题及今 后的发展趋势。
, xn ，这种样本称为完全样本。如在可靠性试验中， n
个元件全部试验到失效为止，得到的就是完全样本。 然而在工程和生物医学等许多领域的研究中，由于种种条件的限制不可能获得 完全样本。例如，受试验时间、费用等的限制，不可能将寿命试验做到所有元件都 失效。在医学药物试验中，受试者可能中途失去观察（如迁往他地而失访） ，或者 由于对受试药物不适应而中途停止试验，也可能是受预定的试验时间的限制不能观 察到所有受试者的寿命。在诸如此类的情况下我们只能得到一组不完全样本。 不完全样本有如下几种基本类型： （1）定数截尾（Ⅱ型截尾）
In chapter three, we discuss the problem under censored data in three circumstances. To the Type- Ⅱ censored data we take it concerned from the Extreme distribution. Because the parameters in Extreme distribution are location & scale parameters, while in Weibull distribution are shape & scale parameters. Therefore, from the first we can discuss the problem easier. From this point, making use of some properties of the extreme value distribution and the fixed-point theorem, we also get the explicit solution. And a new algorithm is given, through some simulation results, we see that this algorithm converges fast and does not depend on any conditions.
n 个独立元件从 t = 0 开始进行寿命试验，试验在第 r 个元件失效时刻终止（ r
为事先规定的正整数） 。此时我们获得的只是前 r 个元件的寿命数据
x(1) ≤ x(2) ≤
（2）定时截尾（Ⅰ型截尾）
≤ x( r )
与上相仿，试验在固定时刻 t0 终止，此时观察到的失效数是一个随机变量，若 在试验终止时观察到 r 个失效，则得数据
, Ln 独立，且 {Li } 与 { X i } 独立的情形。
上面讲的都是有失效数的情形。在对产品的可靠性进行检验和分析时，常使用 定时截尾试验方法，在定时截尾试验中，有时出现所有试样无一失效的情况，这是 我们得到的是“无失效数据” （zero－failure data） 。随着科学技术得进步，产品质 量在不断提高，产品得寿命越来越长，加上样本容量小、试验时间不允许很长等原 因，无失效数据越来越频繁的出现。因此，寻找在无失效数据条件下进行科学、有 效的可靠性分析方法，现以成为可靠性分析的一个新的十分重要的领域。在无失效 情况下如何对产品进行可靠性分析，对于建立在失效数据分析基础上的现有可靠性 理论来说，是一个有一定难度的问题。 第四届全国可靠性数学学术会议纪要中指出： “可靠性的研究领域在不断扩 大，特别是以往比较薄弱和空白的领域有了新的进展，如软件可靠性， ・ ・ ・ ，贮存可 靠性和无失效数据的分析等等，都有一些论文出现” 。因此对无失效数据问题的研 究的需要也日益迫切起来了，这项工作具有理论和实际应用价值。 对于无失效数据，在国外研究的最早的是 Martz 和 Waller（1979） ，在国内则是 茆诗松、罗朝斌（1989） ，张忠占、杨振海（1989） 。
,n
其中 Li 为截尾时间（常数） ，上式表明若 X i > Li ，则第 i 个元件在 Li 后失去观察。 除了上述基本类型外，还可以有种种推广。例如定数和定时相结合的截尾方式， 即试验做到 min{xr , t0 } 终止，其中 r 与 t0 是事先规定的失效数与定时截尾时间。对试 验中途失去观察的情形，可以推广到 L1 , L2 ,
保密□，在_____年解密后适用本授权书.
本论文属于
不保密□.
（请在以上方框内打“√” ）
学位论文作者签名： 日期： 年 月 日
指导教师签名： 日期： 年 月 日
华 中 科 技 大 学 硕 士 学 位 论 文
1 绪 论
1.1 选题背景及意义
1.1.1 寿命数据的特点 在医学、生物学和保险学中人们早就在研究各种各样的寿命数据及其统计分析 方法。到上世纪五十年代，急需提高工业产品的可靠性，吸引了许多统计学家和实 际工作者们研究各种类型的寿命数据。 通常，从总体中抽取容量为 n 的一个简单随机样本 X 1 , X 2 , 这 n 个样本的观测值 x1 , x2 , , X n 是指可以获得
II
华 中 科 技 大 学 硕 士 学 位 论 文
In chapter four, we introduce the zero-failure data. Because many traditional methods can not be used directly in this case, so some improvements have made. We get the quasimoment estimation, modified MLE. We pay more attention to the application of partition distribution curve method and least square estimation. In this problem the most important work is how to give the failure probability reasonably. We discuss the Bayesian estimators and hierarchical Bayesian estimators. At last, some unsolved problems have been listed.
In chapter one，the problem’s background is introduced，including the characteristics of lifetime data and analysis methods．In chapter two，we discussed the parameter estimation of Weibull distribution under complete sample．Including moment estimation、 maximum likelihood estimation(MLE)、Bayesian estimation、graph method．Numerical method has been used to solve the moment estimation for a long time． In this paper， taking advantage of some properties of Gamma function，we get the explicit solution. Some simulation results are also given in this paper。
x(1) ≤ x(2) ≤
≤ x( r ) ≤ t0
1
华 中 科 技 大 学 硕 士 学 位 论 文
（3）随机截尾（试验中途失去观察）的情形 设受试样品 X 1 , X 2 , , X n 独立同分布 F (t ) ，假定只能观察到：
Yi = min{ X i , Li } ， i = 1, 2,
关键词：寿命数据 Weibull 分布 极值分布 矩估计 MLE
Bayes 估计 无失效数据
I
华 中 科 技 大 学 硕 士 学 位 论 文
Abstract
To people who are engineers or work in biomedical field ， various data with lifetime、survive time or failure time have been concerned．And many statistical analysis methods have widely used in the reliability of product as well as in diseases research．In this paper，we concerned the parameter estimation in the reliability-test when the products life distribution is Weibull distribution．
学位论文作者签名： 日期： 年 月 日
学位论文版权使用授权书
本学位论文作者完全了解学校有关保留、使用学位论文的规定，即：学校有权 保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版，允许论文被查阅和借阅. 本人授权华中科技大学可以将本学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检 索，可以采用影印、缩印或扫描等复制手段保存和汇编本学位论文.
Key Words: Lifetime data Weibull distribution
Extreme distribution
MLE
Moment estimation
Bayesian estimation
Zero-failure data
III
独创性声明
本人声明所呈交的学位论文是我个人在导师指导下进行的研究工作及取得的研 究成果.尽我所知，除文中已经标明引用的内容外，本论文不包含任何其他个人或集 体已经发表或撰写过的研究成果.对本文的研究做出贡献的个人和集体，均已在文中 以明确方式标明.本人完全意识到，本声明的法律结果由本人承担.
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摘
要
对于工程界、生物医学界等许多领域的工作者，各种各样的与寿命、存活时间 或失效时间有关的数据的统计分析已发展成为一个重要的专题。寿命分布方法，从 产品的可靠性研究到涉及人类各种疾病的研究，都有着广泛的应用。本文重点讨论 了在可靠性试验中，产品寿命服从 Weibull 分布ห้องสมุดไป่ตู้的参数估计问题。 第一章简要介绍了选题的背景，包括寿命数据的特点、统计分析方法及 Weibull 分布。第二章主要讨论了完全样本情形下 Weibull 分布的参数估计问题，包括矩估 计、极大似然估计（MLE） 、Bayes 估计、图形方法及其它的一些统计方法。并重点 考虑了二参数情形下 Weibull 分布参数的矩估计问题。一直以来，对 Weibull 分布参 数的矩估计都是采用数值方法求解，本文利用 Gamma 函数的一些性质，得到了估 计的显式解，并从理论和数值模拟说明此种方法相比其它方法的优越性。 第三章针对截尾样本参数估计问题分三种情况进行了讨论。对定数截尾情形， 重点介绍了我做的工作：从（标准）极值分布入手，因为极值分布是 Weibull 分布 的一种变形，但同时它的两个参数为位置、尺度参数，相对 Weibull 分布的尺度、 形状参数研究起来方便多了。从这个思路出发给出了参数的估计式，还提出了一种 新的迭代算法，模拟结果显示：这种方法收敛速度快，且不受初值选取的限制。对 定时截尾和随机截尾，分别介绍了参数的 MLE 和 Bayes 估计。 第四章介绍了无失效数据的情形，因传统的方法到这里基本上都失效了，故而 都做了改进，提出了拟矩估计、修正极大似然估计，随后重点讨论了配分布曲线法 及最小二乘估计，其中最关键的是给出失效概率的合理估计，论文着重考虑了 Bayes 估计和多层 Bayes 估计。最后简要介绍了关于这类可靠性问题中待解决的问题及今 后的发展趋势。
, xn ，这种样本称为完全样本。如在可靠性试验中， n
个元件全部试验到失效为止，得到的就是完全样本。 然而在工程和生物医学等许多领域的研究中，由于种种条件的限制不可能获得 完全样本。例如，受试验时间、费用等的限制，不可能将寿命试验做到所有元件都 失效。在医学药物试验中，受试者可能中途失去观察（如迁往他地而失访） ，或者 由于对受试药物不适应而中途停止试验，也可能是受预定的试验时间的限制不能观 察到所有受试者的寿命。在诸如此类的情况下我们只能得到一组不完全样本。 不完全样本有如下几种基本类型： （1）定数截尾（Ⅱ型截尾）
In chapter three, we discuss the problem under censored data in three circumstances. To the Type- Ⅱ censored data we take it concerned from the Extreme distribution. Because the parameters in Extreme distribution are location & scale parameters, while in Weibull distribution are shape & scale parameters. Therefore, from the first we can discuss the problem easier. From this point, making use of some properties of the extreme value distribution and the fixed-point theorem, we also get the explicit solution. And a new algorithm is given, through some simulation results, we see that this algorithm converges fast and does not depend on any conditions.
n 个独立元件从 t = 0 开始进行寿命试验，试验在第 r 个元件失效时刻终止（ r
为事先规定的正整数） 。此时我们获得的只是前 r 个元件的寿命数据
x(1) ≤ x(2) ≤
（2）定时截尾（Ⅰ型截尾）
≤ x( r )
与上相仿，试验在固定时刻 t0 终止，此时观察到的失效数是一个随机变量，若 在试验终止时观察到 r 个失效，则得数据
, Ln 独立，且 {Li } 与 { X i } 独立的情形。
上面讲的都是有失效数的情形。在对产品的可靠性进行检验和分析时，常使用 定时截尾试验方法，在定时截尾试验中，有时出现所有试样无一失效的情况，这是 我们得到的是“无失效数据” （zero－failure data） 。随着科学技术得进步，产品质 量在不断提高，产品得寿命越来越长，加上样本容量小、试验时间不允许很长等原 因，无失效数据越来越频繁的出现。因此，寻找在无失效数据条件下进行科学、有 效的可靠性分析方法，现以成为可靠性分析的一个新的十分重要的领域。在无失效 情况下如何对产品进行可靠性分析，对于建立在失效数据分析基础上的现有可靠性 理论来说，是一个有一定难度的问题。 第四届全国可靠性数学学术会议纪要中指出： “可靠性的研究领域在不断扩 大，特别是以往比较薄弱和空白的领域有了新的进展，如软件可靠性， ・ ・ ・ ，贮存可 靠性和无失效数据的分析等等，都有一些论文出现” 。因此对无失效数据问题的研 究的需要也日益迫切起来了，这项工作具有理论和实际应用价值。 对于无失效数据，在国外研究的最早的是 Martz 和 Waller（1979） ，在国内则是 茆诗松、罗朝斌（1989） ，张忠占、杨振海（1989） 。
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其中 Li 为截尾时间（常数） ，上式表明若 X i > Li ，则第 i 个元件在 Li 后失去观察。 除了上述基本类型外，还可以有种种推广。例如定数和定时相结合的截尾方式， 即试验做到 min{xr , t0 } 终止，其中 r 与 t0 是事先规定的失效数与定时截尾时间。对试 验中途失去观察的情形，可以推广到 L1 , L2 ,
保密□，在_____年解密后适用本授权书.
本论文属于
不保密□.
（请在以上方框内打“√” ）
学位论文作者签名： 日期： 年 月 日
指导教师签名： 日期： 年 月 日
华 中 科 技 大 学 硕 士 学 位 论 文
1 绪 论
1.1 选题背景及意义
1.1.1 寿命数据的特点 在医学、生物学和保险学中人们早就在研究各种各样的寿命数据及其统计分析 方法。到上世纪五十年代，急需提高工业产品的可靠性，吸引了许多统计学家和实 际工作者们研究各种类型的寿命数据。 通常，从总体中抽取容量为 n 的一个简单随机样本 X 1 , X 2 , 这 n 个样本的观测值 x1 , x2 , , X n 是指可以获得
II
华 中 科 技 大 学 硕 士 学 位 论 文
In chapter four, we introduce the zero-failure data. Because many traditional methods can not be used directly in this case, so some improvements have made. We get the quasimoment estimation, modified MLE. We pay more attention to the application of partition distribution curve method and least square estimation. In this problem the most important work is how to give the failure probability reasonably. We discuss the Bayesian estimators and hierarchical Bayesian estimators. At last, some unsolved problems have been listed.
In chapter one，the problem’s background is introduced，including the characteristics of lifetime data and analysis methods．In chapter two，we discussed the parameter estimation of Weibull distribution under complete sample．Including moment estimation、 maximum likelihood estimation(MLE)、Bayesian estimation、graph method．Numerical method has been used to solve the moment estimation for a long time． In this paper， taking advantage of some properties of Gamma function，we get the explicit solution. Some simulation results are also given in this paper。
x(1) ≤ x(2) ≤
≤ x( r ) ≤ t0
1
华 中 科 技 大 学 硕 士 学 位 论 文
（3）随机截尾（试验中途失去观察）的情形 设受试样品 X 1 , X 2 , , X n 独立同分布 F (t ) ，假定只能观察到：
Yi = min{ X i , Li } ， i = 1, 2,
关键词：寿命数据 Weibull 分布 极值分布 矩估计 MLE
Bayes 估计 无失效数据
I
华 中 科 技 大 学 硕 士 学 位 论 文
Abstract
To people who are engineers or work in biomedical field ， various data with lifetime、survive time or failure time have been concerned．And many statistical analysis methods have widely used in the reliability of product as well as in diseases research．In this paper，we concerned the parameter estimation in the reliability-test when the products life distribution is Weibull distribution．
学位论文作者签名： 日期： 年 月 日
学位论文版权使用授权书
本学位论文作者完全了解学校有关保留、使用学位论文的规定，即：学校有权 保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版，允许论文被查阅和借阅. 本人授权华中科技大学可以将本学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检 索，可以采用影印、缩印或扫描等复制手段保存和汇编本学位论文.
Key Words: Lifetime data Weibull distribution
Extreme distribution
MLE
Moment estimation
Bayesian estimation
Zero-failure data
III
独创性声明
本人声明所呈交的学位论文是我个人在导师指导下进行的研究工作及取得的研 究成果.尽我所知，除文中已经标明引用的内容外，本论文不包含任何其他个人或集 体已经发表或撰写过的研究成果.对本文的研究做出贡献的个人和集体，均已在文中 以明确方式标明.本人完全意识到，本声明的法律结果由本人承担.