重庆大学《高等数学 Ⅱ-2》重修试题A0812月(答案)

重庆大学高等数学Ⅱ-2（重修）课程试卷

A卷

B卷

2009 ~2010 学年 第二学期

开课学院： 数理学院 课程号： 考试日期2010年6月

考试方式：

开卷闭卷 其他 考试时间：120 分

一、 填空题（每空3分，共15分）

⒈过点M （1，2，-3）且平行于直线

3

1

1

3

5

y

x z --=

=

的直线方程为

123

135

x y z --+==

。

2．已知22ln()z x y =，则(1,1)

dz

=22dx dy +。

⒊级数1

1

2n n ∞

=∑

的和为1 。 4．设积分区域D 是由曲线2,,1y x y x y ===围成的区域，则 2D

dxdy =⎰⎰1/2。 ⒌已知二阶常系数线性齐次微分方程的两个解分别为312,1x y e y ==，则该

微分方程为30y y '''-=。

二、 计算题（共18分）

⒈（9分）设y

x z e =，求z z x y

∂∂∂∂和及

dz ．

解：21()y

x y z z dz dx dy dx dy x y x x

e ∂∂=+

=-+∂∂

.

2．（9分）

求函数u xyz =在点(1,1,2)处沿从点

(1,1,2)到点(2,4,3)的方

向导数。

u

u

u

yz xz xy x y

z ∂∂∂===∂∂∂

(1,1,2)(1,1,2)(1,1,2)

22

1u u u x

y

z

∂∂∂===∂∂∂

{}1,3,1191l l ==++=cos cos cos αβγ=

=

=

cos cos cos 221u u u u

l x y x

αβγ∂∂∂∂=++∂∂∂∂=+=

三、 计算题（共18分）

1．（9分）求旋转抛物面22z x y =+在点15

(1,,)24

-处的法线方程和切平面方程．

解：抛物面2222z x y =+的法向量为(2,2,1)n x y =--，在点

15

(1,,)24

-处(2,1,1)n =-，

命

题人：

组题人：

审

题人：

命题时间：

教务处制

学院 专业、班 年级 学号 姓名

公平竞争、诚实守信、严肃考纪、拒绝作弊

封

线

密

法线方程为 15124211

y z x --+=

=-. 切平面方程：84410x y z -++=。

3．（9分）利用格林公式计算曲线积分232(1)23

L y x dx xy dy

++-⎰，

其中L 为正向圆周222y x x +=。

解：由格林公式

0)()(2222-+=-+=⎰⎰⎰⎰⎰

D

D

L

dxdy y x dxdy y y x

.2

3

224138cos 82

4

2

2

cos 20

3

3

ππθθθ

θππ

π

θ

=⋅⋅⋅⋅===

⎰⎰⎰⎰⎰-

d dr r d drd r D

用极坐标

四、 计算题（共49分）

1．（9分）求微分方程2(ln )

dy

y

y x dx =-的通解。

2(ln )22ln dx y x y x dy y y y

-==-+ 即

22ln dx y

x dy y y

+= 2

2

2ln ()dy

dy

y y y x e

e dy C y

-

⎰⎰=+⎰

2ln 2ln 222222

2222ln ()12ln ()1

(2ln )1

(ln ())1(ln )2

1(ln )

2y y

y e e dy C y

y y dy C y y y ydy C y yd y C y y y y C y C

y y

-=+=+=+=+=-+=-+⎰⎰⎰⎰

2．（9分），求过点)2,1,3(-且通过直线

1

2354z

y x =+=-的平面方程。

解：由已知点)0,3,4(),2,1,3(--B A 在平面上，直线的方向向量为

)1,2,5(=s 则)2,4,1(-=AB ，所求平面的法向量为)22,9,8(-=⨯=s AB n

平面直线的方程为0)2(22)1(9)3(8=+----z y x 即为0592298=---z y x

3．（9分）利用高斯公式计算曲面积分⎰⎰∑

-+-xdydz z y dxdy y x )()(，

其中Ω===+∑所围成的空间闭区域及平面为柱面3,0122z z y x 的整个边界曲面的外侧。

解：⎰⎰⎰⎰⎰Ω

∑

-=-+-dxdydz z y xdydz z y dxdy y x )()()(