换元法在初中数学中的应用

换元法在初中数学中的应用

换元法是数学中的一种常用的方法，它能起到化难为易．以简驭繁的目的，在初中数学中有广泛的应用．现将具体应用列举如下．

1．因式分解

例1 将（x2+2x＋4）（x2+2x+6）-8分解因式．

解设x2＋2x＋4=y，

则x2+2x+6=y＋2．

原式=y（y＋2）-8=y2＋2y-8

=（y＋4）（y－2）．

把y=x2+2x＋4代入上式

原式=（x2＋2x +4＋4）（x2＋2x＋4-2）

=（x2+2x+8）（x2＋2x+2）．

说明：利用换元法，可将原式转化为二次三项式，从而可用因式分解法分解．

2．一元二次方程

例2 解方程144x2＋6x-5=0．

解设6x=y，则原方程可化为

说明：利用换元法，可将系数的绝对值化小．从而使题目简单化．

3．分式方程

说明：利用换元法，可将分式方程化为整式方程或较为简单的分式方程．

4．无理方程

∴原方程可化为：k2-8＋k=64

解得k1=8．k2=-9（舍去）

∴x2+x+8=64 ∴x1=7，x2=-8

说明：利用换元法可将无理方程化为有理方程．

5．高次方程

例5 解方程

（x2＋5x+4）（x2＋5x+6）-8=0

解设x2+5x+4=y

则原方程可化为y（y＋2）- 8=0

解得y1=-4，y2=2

∴x2+5x＋4=-4或x2+5x＋4=2

解得

说明：通过换元法可将高次方程进行降次，使之转化为一元二次方程．

6．方程组

后两组不合题意舍去，解得

说明：通过换元，可使无理方程组或分式方程组化为有理方程组或整式方程组．