我国第一颗人造地球卫星的椭圆轨道和周期动画
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( x c) 2 y 2 2 1 椭圆的方程为 2 a b
其参数方程为 x = acosθ - c，y = bsinθ
r1 v2 v1. r2
设卫星的质量为m，卫星在近地点的角 动量为L1 = mv1r1，在远地点的角动量为 L2 = mv2r2，根据角动量守恒定律可得
{范例3.9} 我国第一颗人造地球卫星的椭圆轨道和周期
方法一：用开普勒第二定律求周期。
行星运动的开普勒第二定律是：行星对太 阳的矢径在相等百度文库间内扫过相等的面积。
该定律也适用于卫星绕地球运行的情况dS/dt = C。
根据近地点的速度 dS 1 r12d 1 r1d 1 ds1 1 C r1 r1 r1v1 和距离可计算常数 dt 2 dt 2 dt 2 dt 2 当卫星运行一圈时，矢径扫过的面积就是椭 圆的面积，卫星运动的时间就是一个周期。 椭圆的短半轴可表示为 b (a c)(a c) r1r2 椭圆的面积为S = πab， 因此卫星的周期为
S π(r1 r2 ) r1r2 π(r1 r2 ) r2 T . C r1v1 v1 r1
{范例3.9} 我国第一颗人造地球卫星的椭圆轨道和周期
方法二：用开普勒第三定律求周期。
行星运动的开普勒第三定律是：行星公转周 期的平方与它的轨道长半轴的立方成正比。 该定律也适用于卫星绕地球运行的情况T2/a3 = C。
{范例3.9} 我国第一颗人造地球卫星的椭圆轨道和周期
我国第一颗人造卫星绕地球沿椭圆轨道运行，地球的中心 处于椭圆的一个焦点上。已知地球半径为RE = 6.378×106m， 人造卫星距地面的最近高度(即近地点)为h1 = 4.39×105m， 最远高度(即远地点)为h2 = 2.384×106m。卫星在近地点的 速度为v1 = 8.10×103m/s。具体描绘卫星运动的轨迹？求卫 星在远地点的速度v2和运动的周期T。 [解析]取地球中心为坐标原点， 卫星椭圆轨道的半长轴为 则表示地球圆周的参数方程为 a = (h1 + h2 + 2RE)/2 = (r1 + r2)/2 x = REcosθ，y = REsinθ 其中，r1 = RE + h1，r2 = RE + h2。 2 2 半短轴为 b a c 焦距为c = a - RE – h1 = (h2 - h1)/2，
如果卫星的轨道是圆形，长半轴就是圆的半径。 假设一颗卫星绕地球做半径为R0的匀 T02 C 3 速圆周运动，其周期为T0，则常数C为 R0
E 假设卫星的质量为m，在绕地球做匀 F mR0 2 G mM 2 R 0 速圆周运动时，根据向心力公式得
其中，G是万有引力常数，ME是地球质量。
我国第一颗人造地 由于ω = 2π/T0，所以常数为C = 4π2/GME。 球卫星的周期为 这是一个由地球质量决定的常数， 3 T Ca . 地球质量越大，常数就越小。
我国第一颗人造地球 卫星的轨迹是椭圆， 在近地点速度最大， 在远地点速度最小， 只有6.3km/s。
根据开普勒第二定律求 出卫星周期约为6850s， 根据开普勒第三定律求 出卫星周期约为6840s。
用两种方法计算的 周期有点差别，这 是因为计算中的数 值都是近似值。
其参数方程为 x = acosθ - c，y = bsinθ
r1 v2 v1. r2
设卫星的质量为m，卫星在近地点的角 动量为L1 = mv1r1，在远地点的角动量为 L2 = mv2r2，根据角动量守恒定律可得
{范例3.9} 我国第一颗人造地球卫星的椭圆轨道和周期
方法一：用开普勒第二定律求周期。
行星运动的开普勒第二定律是：行星对太 阳的矢径在相等百度文库间内扫过相等的面积。
该定律也适用于卫星绕地球运行的情况dS/dt = C。
根据近地点的速度 dS 1 r12d 1 r1d 1 ds1 1 C r1 r1 r1v1 和距离可计算常数 dt 2 dt 2 dt 2 dt 2 当卫星运行一圈时，矢径扫过的面积就是椭 圆的面积，卫星运动的时间就是一个周期。 椭圆的短半轴可表示为 b (a c)(a c) r1r2 椭圆的面积为S = πab， 因此卫星的周期为
S π(r1 r2 ) r1r2 π(r1 r2 ) r2 T . C r1v1 v1 r1
{范例3.9} 我国第一颗人造地球卫星的椭圆轨道和周期
方法二：用开普勒第三定律求周期。
行星运动的开普勒第三定律是：行星公转周 期的平方与它的轨道长半轴的立方成正比。 该定律也适用于卫星绕地球运行的情况T2/a3 = C。
{范例3.9} 我国第一颗人造地球卫星的椭圆轨道和周期
我国第一颗人造卫星绕地球沿椭圆轨道运行，地球的中心 处于椭圆的一个焦点上。已知地球半径为RE = 6.378×106m， 人造卫星距地面的最近高度(即近地点)为h1 = 4.39×105m， 最远高度(即远地点)为h2 = 2.384×106m。卫星在近地点的 速度为v1 = 8.10×103m/s。具体描绘卫星运动的轨迹？求卫 星在远地点的速度v2和运动的周期T。 [解析]取地球中心为坐标原点， 卫星椭圆轨道的半长轴为 则表示地球圆周的参数方程为 a = (h1 + h2 + 2RE)/2 = (r1 + r2)/2 x = REcosθ，y = REsinθ 其中，r1 = RE + h1，r2 = RE + h2。 2 2 半短轴为 b a c 焦距为c = a - RE – h1 = (h2 - h1)/2，
如果卫星的轨道是圆形，长半轴就是圆的半径。 假设一颗卫星绕地球做半径为R0的匀 T02 C 3 速圆周运动，其周期为T0，则常数C为 R0
E 假设卫星的质量为m，在绕地球做匀 F mR0 2 G mM 2 R 0 速圆周运动时，根据向心力公式得
其中，G是万有引力常数，ME是地球质量。
我国第一颗人造地 由于ω = 2π/T0，所以常数为C = 4π2/GME。 球卫星的周期为 这是一个由地球质量决定的常数， 3 T Ca . 地球质量越大，常数就越小。
我国第一颗人造地球 卫星的轨迹是椭圆， 在近地点速度最大， 在远地点速度最小， 只有6.3km/s。
根据开普勒第二定律求 出卫星周期约为6850s， 根据开普勒第三定律求 出卫星周期约为6840s。
用两种方法计算的 周期有点差别，这 是因为计算中的数 值都是近似值。