2018年合肥一中自主招生考试数学试题及答案
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（1）求证： RQ 是⊙ O 的切线； （2）当 RA OA 时，试确定 B 的取值范围； （3）求证： OB2 PB PQ OP2 .
4/5
17.如图 1，在平面直角坐标系中，边长为 1 的正方形 OABC 的顶点 B 在 y 轴的正半轴 上， O 为坐标原点.现将正方形 OABC 绕点 O 按顺时针方向旋转，旋转角为 （ 0o 45o ）.
∴ x 10 是原分式方程的解．10 2 8 （元）
答：每个甲种零件的进价为 8 元，每个乙种零件的进价为 10 元．……5 分
（ 2 ） 设 购 进 乙 种 零 件 y 个 ， 则 购 进 甲 种 零 件 (3y 5) 个 由 题 意 得 ：
3y 5 y ≤ (12 8)(3y
95 5)
3
> <
x x
−3 + a 有且只有
4
个整数解，求实数
a
的取值范围.
2/5
15.某五金商店准备从该市机械厂购进甲、乙两种零件进行销售．若每个甲种零件的进价 比每个乙种零件的进价少 2 元，且用 80 元购进甲种零件的数量与用 100 元购进乙种 零件的数量相同．
（1）求甲、乙两种零件的进价； （2）若该五金商店本次购进甲种零件的数量比购进乙种零件的数量的 3 倍还少 5 个，购
1，2 ，1 11 2
，3，2 12
，1 ，4 ，3 312
，2 3
，1 4
，5，4 12
，3，2 34
，1 ，...,，则第 5
200 个分数是
.
二、解答题（第 14 题 12 分，第 15 题 14 分，第 16 题 23 分，第 17 题 23 分；共 72 分）
14.若关于
x
的不等式组{{2xx++2115
说明理由.
y
y
B
A
C
M A
B
N C
O
x
O
x
图1
图2
5/5
参考答案与评分标准
数学
一、填空题（每小题 6 分，共 78 分）
1、 4 3
2、7
3、0
4、4:9
5、15°或 75°
6、3
8、3 9、4029 10、3
5
2
11、2014 1 或写为 20152
2016
2016
二、解答题
14、（12 分）解：由不等式组得1 3a x 21……4 分
（1）当点 A 落到 y 轴正半轴上时，求边 BC 在旋转过程中所扫过的面积； （2）若线段 AB 与 y 轴的交点为 M （如图 2）,线段 BC 与直线 y x 的交点为 N .当
22.5 时，求此时 BMN 内切圆的半径； （3）设 MNB 的周长为 l ,试判断在正方形 OABC 旋转的过程中 l 值是否发生变化，并
点 P 为直径 AB 上任意一点，则 PC PD 的最小值是
.
C
D
A
OP
B
7.已知实数 a 满足 2014 a a 2015 a ，那么 a 20142 1 的值是 .
8.如图，正方形 ABCD 中， E 是 BC 边上一点，以点 E 为圆心、 EC 为半径的半圆与以
点 A 为圆心、 AB 为半径的圆弧外切，则 sin EAB 的值是
7、2016
12、(2, 8) 13、11 10
原不等式组只有四个整数解，故16 1 3a 17 ……5 分 解得 16 a 5 ……3 分
3 15、（14 分）解：（1）设每个乙种零件进价为 x 元，则每个甲种零件进价为 (x 2) 元．
依题意得： 80 100 ，解得 x 10 ．检验：当 x 10 时， x(x 2) 0 ， x2 x
进两种零件的总数量不超过 95 个，该五金商店每个甲种零件的销售价格为 12 元，每 个乙种零件的销售价格为 15 元，则将本次购进的甲、乙两种零件全部售出后，可使 销售两种零件的总利润（利润＝售价－进价）超过 371 元. 通过计算求出五金商店本 次从市机械厂购进甲、乙两种零件的所有方案．
3/5
16.如图， OA 和 OB 是⊙ O 的半径，并且 OA OB . P 是 OA 上任意一点， BP 的延长线交⊙ O 于点 Q ， 点 R 在 OA 的延长线上，且 RP RQ .
合肥一中 2018 年自主招生考试
数学
（满分：150 分，建议完成时间：110 分钟）
姓名
准考证号
初中校
一、填空题（1-13 题，每小题 6 分，共 78 分）
1.函数 y
1
的最大值是
.
1 x(1 x)
2.已知直角三角形的周长为 14，斜边上的中线长为 3.则直角三角形的面积是
.
3.方程 x2 | x | 12 0 的所有实数根之和等于
.
D
C
E
A
B
1/5
5
10
9.已知两个反比例函数 y x ， y x ，第一象限内的点 P1 、 P2、 P3、… 、 P2015 在反
10 比例函数 y x 的图象上，它们的横坐标分别为 x1 、 x2、 x3、…、 x2015，纵坐标
分别是 1、3 、5 、…，共 2015 个连续奇数，过 P1 、 P2 、 P3 、…、 P2015 分别作 y 轴
(15
10) y
，解得：
371
23
y
≤
25 ．
y 为整数， y 24 或 25 ．∴共有 2 种方案．分别是：
方案一：购甲种零件 67 个，乙种零件 24 个； 方案二：购甲种零件 70 个，乙种零件 25 个． ……9 分
1 2
+
Βιβλιοθήκη Baidu22
5
2
11 32
3
...
20152 2015 1 20152 2015
1 12.已知抛物线 y 2 x2 bx 经过点 A(4, 0) . 设点 C(1, 4) ，欲在抛物线的对称轴上确
定一点 D ,使得 AD CD 的值最大，则 D 点的坐标是
13.一列分数有规律地排列如下：
5 的平行线，与 y x 的图象交点依次为 Q1 (x1, y1) 、Q2 (x2 , y2 ) 、…、Q(x 2015, y 2015)
则 P Q 2015 2015 的长度是
.
10.已知方程组
x 1
y 2 5 ，则
(x 1)( y 2)
x y 20
11.观察下列各式：
……
计算：
.
4.一直角三角形的两直角边之比为 2∶3，若斜边上的高分斜边为两线段，则较小的一段
与较大的一段之比是
.
5.已知⊙O 的半径 OA 1，弦 AB 、 AC 的长分别是 2 、 3 ，则BAC 的度数
是
.
6.如图，已知圆 O 的面积为 3 ， AB 为圆 O 的直径， AOC 80 ， BOD 20 ，
4/5
17.如图 1，在平面直角坐标系中，边长为 1 的正方形 OABC 的顶点 B 在 y 轴的正半轴 上， O 为坐标原点.现将正方形 OABC 绕点 O 按顺时针方向旋转，旋转角为 （ 0o 45o ）.
∴ x 10 是原分式方程的解．10 2 8 （元）
答：每个甲种零件的进价为 8 元，每个乙种零件的进价为 10 元．……5 分
（ 2 ） 设 购 进 乙 种 零 件 y 个 ， 则 购 进 甲 种 零 件 (3y 5) 个 由 题 意 得 ：
3y 5 y ≤ (12 8)(3y
95 5)
3
> <
x x
−3 + a 有且只有
4
个整数解，求实数
a
的取值范围.
2/5
15.某五金商店准备从该市机械厂购进甲、乙两种零件进行销售．若每个甲种零件的进价 比每个乙种零件的进价少 2 元，且用 80 元购进甲种零件的数量与用 100 元购进乙种 零件的数量相同．
（1）求甲、乙两种零件的进价； （2）若该五金商店本次购进甲种零件的数量比购进乙种零件的数量的 3 倍还少 5 个，购
1，2 ，1 11 2
，3，2 12
，1 ，4 ，3 312
，2 3
，1 4
，5，4 12
，3，2 34
，1 ，...,，则第 5
200 个分数是
.
二、解答题（第 14 题 12 分，第 15 题 14 分，第 16 题 23 分，第 17 题 23 分；共 72 分）
14.若关于
x
的不等式组{{2xx++2115
说明理由.
y
y
B
A
C
M A
B
N C
O
x
O
x
图1
图2
5/5
参考答案与评分标准
数学
一、填空题（每小题 6 分，共 78 分）
1、 4 3
2、7
3、0
4、4:9
5、15°或 75°
6、3
8、3 9、4029 10、3
5
2
11、2014 1 或写为 20152
2016
2016
二、解答题
14、（12 分）解：由不等式组得1 3a x 21……4 分
（1）当点 A 落到 y 轴正半轴上时，求边 BC 在旋转过程中所扫过的面积； （2）若线段 AB 与 y 轴的交点为 M （如图 2）,线段 BC 与直线 y x 的交点为 N .当
22.5 时，求此时 BMN 内切圆的半径； （3）设 MNB 的周长为 l ,试判断在正方形 OABC 旋转的过程中 l 值是否发生变化，并
点 P 为直径 AB 上任意一点，则 PC PD 的最小值是
.
C
D
A
OP
B
7.已知实数 a 满足 2014 a a 2015 a ，那么 a 20142 1 的值是 .
8.如图，正方形 ABCD 中， E 是 BC 边上一点，以点 E 为圆心、 EC 为半径的半圆与以
点 A 为圆心、 AB 为半径的圆弧外切，则 sin EAB 的值是
7、2016
12、(2, 8) 13、11 10
原不等式组只有四个整数解，故16 1 3a 17 ……5 分 解得 16 a 5 ……3 分
3 15、（14 分）解：（1）设每个乙种零件进价为 x 元，则每个甲种零件进价为 (x 2) 元．
依题意得： 80 100 ，解得 x 10 ．检验：当 x 10 时， x(x 2) 0 ， x2 x
进两种零件的总数量不超过 95 个，该五金商店每个甲种零件的销售价格为 12 元，每 个乙种零件的销售价格为 15 元，则将本次购进的甲、乙两种零件全部售出后，可使 销售两种零件的总利润（利润＝售价－进价）超过 371 元. 通过计算求出五金商店本 次从市机械厂购进甲、乙两种零件的所有方案．
3/5
16.如图， OA 和 OB 是⊙ O 的半径，并且 OA OB . P 是 OA 上任意一点， BP 的延长线交⊙ O 于点 Q ， 点 R 在 OA 的延长线上，且 RP RQ .
合肥一中 2018 年自主招生考试
数学
（满分：150 分，建议完成时间：110 分钟）
姓名
准考证号
初中校
一、填空题（1-13 题，每小题 6 分，共 78 分）
1.函数 y
1
的最大值是
.
1 x(1 x)
2.已知直角三角形的周长为 14，斜边上的中线长为 3.则直角三角形的面积是
.
3.方程 x2 | x | 12 0 的所有实数根之和等于
.
D
C
E
A
B
1/5
5
10
9.已知两个反比例函数 y x ， y x ，第一象限内的点 P1 、 P2、 P3、… 、 P2015 在反
10 比例函数 y x 的图象上，它们的横坐标分别为 x1 、 x2、 x3、…、 x2015，纵坐标
分别是 1、3 、5 、…，共 2015 个连续奇数，过 P1 、 P2 、 P3 、…、 P2015 分别作 y 轴
(15
10) y
，解得：
371
23
y
≤
25 ．
y 为整数， y 24 或 25 ．∴共有 2 种方案．分别是：
方案一：购甲种零件 67 个，乙种零件 24 个； 方案二：购甲种零件 70 个，乙种零件 25 个． ……9 分
1 2
+
Βιβλιοθήκη Baidu22
5
2
11 32
3
...
20152 2015 1 20152 2015
1 12.已知抛物线 y 2 x2 bx 经过点 A(4, 0) . 设点 C(1, 4) ，欲在抛物线的对称轴上确
定一点 D ,使得 AD CD 的值最大，则 D 点的坐标是
13.一列分数有规律地排列如下：
5 的平行线，与 y x 的图象交点依次为 Q1 (x1, y1) 、Q2 (x2 , y2 ) 、…、Q(x 2015, y 2015)
则 P Q 2015 2015 的长度是
.
10.已知方程组
x 1
y 2 5 ，则
(x 1)( y 2)
x y 20
11.观察下列各式：
……
计算：
.
4.一直角三角形的两直角边之比为 2∶3，若斜边上的高分斜边为两线段，则较小的一段
与较大的一段之比是
.
5.已知⊙O 的半径 OA 1，弦 AB 、 AC 的长分别是 2 、 3 ，则BAC 的度数
是
.
6.如图，已知圆 O 的面积为 3 ， AB 为圆 O 的直径， AOC 80 ， BOD 20 ，