CH1随机过程及应用课件

1.5 条件数学期望
E 例 X1.22 xi Pi.
i
1 P1. 2 P2. 3 P3. 8 13 6 52 1 2 3 27 27 27 27
E ( X y j ) xi Pi| j
i
EX E E ( X Y ) E ( X y j ) P. j
e
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jv1 X1 jv2 X 2
e
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1.6 特征函数与概率母函数
4.
X1X2
Xk
v1, v2 ,
, vk X1X2
X k X k 1 X n
v1, v2 ,
, vk ,0 ,0
5.
v 0 1
X v E[e
jvX
] e jvx dF ( x)
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6
1.1 概率空间
概念的提升：事件域的准备
（3）
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7
1.1 概率空间
1.1 概率空间
概念的提升：概率
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1.1 概率空间
2. 概率的连续性：
概率连续性是其可列可加性的充要条件。
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1.1 概率空间
3. 基本公式：
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i j
例1.8.离散二维密度函数.
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1.2 随机变量
例1.13
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1.2 随机变量
例1.13
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1.2 随机变量
例7.
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27
1.2 随机变量
2. 条件随机变量、条件分布与密度函数：
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1.2 随机变量
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1.2 随机变量
2. 类型：
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1.2 随机变量
例1.7 均匀骰子实验。 定义随机变量X为骰子顶面的编号，取值为1,2,…,6。 显然X是离散型的，其概率特性通常用分布律描述最 为方便.
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1.2 随机变量
1. 多维随机变量、联合分布与密度函数：
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Properties of Riemann_Stieljes：
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1.4 数字特征
1. 概念：
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1.4 数字特征
2.矩：
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1.4 数字特征
3.线性无关、正交与独立：
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1.4 数字特征
4.切比雪夫不等式、柯西-许瓦兹不等式：
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课程介绍
5. 毛用才等，《随机过程》，西安电子科技大学出版社， 1998。 6. 李晓峰等，《随机信号分析》，电子工业出版社， 2007/1 7. 刘嘉焜，《应用随机过程》，科学出版社 8. 龚光鲁、钱敏平，《应用随机过程教程》，清华大学 出版社，2002/11 9. 《现代应用数学手册》（概率统计随机过程卷），清 华大学出版社，2000
例1.14.二维正态分布的条件分布.
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1.2 随机变量
3. 重要公式
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1.2 随机变量
例1.16 利用链式法则：
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1.2 随机变量
4. 独立性：
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CH1 概率论基础 1.3 随机变量的函数
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1.3 随机变量的函数
1.3 随机变量的函数
fZ ( z)


f X z u fY u du
1.3 随机变量的函数
例1.20：瑞利与莱斯分布
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1.3 随机变量的函数
例1.20：瑞利与莱斯分布（续）
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1.3 随机变量的函数
2 2 1 r a 2ra cos f XY x, y exp 2 2 2 2
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1.6 特征函数与概率母函数
3.性质：
X v E[e ] e jvx dF ( x)
jvX
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1.6 特征函数与概率母函数
证明： jvx (v) e f X ( x)dx '(v) ( jx)e jvx f ( x)dx

k 0
2 E X ( X 1) E X EX
k pk kpk (k 2 k ) pk X 2 1
2 k 0 k 0 k 0



1.6 特征函数与概率母函数
X z E ( z ) pk z k
X k 0

X
1
zz z kp 1 kp kk
kk 0 0

k k1 1
z 1
E , z Xk(k 1) pk z k 2 k X kp
2
k 0

Y D Y D
E X 是对所有 上 X 的加权平均，而 E X | Y y j
是局限于局部区域 : Y ( ) y j 上 X 的加权平均。
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1.5 条件数学期望
3.多元情形
E E[ g ( X 1 , X 2 , X 3 ) Y1 , Y2 ] E[ g ( X 1 , X 2 , X 3 )]
g 21 G g m1 g1 2 g22 gm2 ... g1 n ... g 2 n ... g m n
X1 X2 X X n
b1 b2 b b m
1.概念：
傅里叶变换



f ( x)e j x dx
e jv2 X 2
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1.6 特征函数与概率母函数
1.概念：特征函数是一种重要的变换分析方法：
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1.6 特征函数与概率母函数
2.例：
1 e u t , a0 a j
at
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1.2 随机变量
分布函数、密度函数、分布律、边缘分布/密度函数
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FXY ( x, y ) P X x, Y y pij u ( x xi , y y j )
1.2 随机变量
i
j
f XY ( x, y ) pij ( x xi , y y j )
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CH1 概率论基础 1.5 条件数学期望
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1.5 条件数学期望
1.概念：
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1.5 条件数学期望
R.V.
E ( X Y y) xf X |Y


( x y )dx


xf XY ( x, y)dx fY ( y )

k k

1.6 特征函数与概率母函数
4.
EX k j X
0
母函数是概率分布律的“紧凑”表现形式，展开以后， 各个系数就是随机变量相应的概率取值。
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1.6 特征函数与概率母函数
XBaidu Nhomakorabea
z E( z
X
) pk z k
k 0

1.6 特征函数与概率母函数
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CH1 概率论基础 1.1 概率空间
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1.1 概率空间
1. 概念与术语： 基本概率论知识：
随机试验（Experiment）： 可重复进行，事先知道全部结果，每次试验结果无 法预知的试验 样本点ξi（Sample point）： 试验的单个可能结果 样本空间Ω（Sample space） ： 全部可能结果构成的集合 事件A,B,C（Event）： 试验中“感兴趣的结果”构成的集合 概率P（Probability）： 每个事件一个可能性的度量值
1.3 随机变量的函数
2 2 r a 2ra cos f XY x, y exp 2 2 2 2
1
1 2 x cos 0 x e d 0 2 修正零阶贝塞尔函数
CH1 概率论基础 1.4 数字特征
k (v ) k jvx ( j x ) e f ( x)dx k v
k (v ) k k k ( jx ) f ( x ) dx j E [ X ] k v v 0
1.6 特征函数与概率母函数
Y1 g11 3.性质（多元）： Y2 Y Y m
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1.4 数字特征
黎曼－斯蒂阶（Riemann-Stieltjes）积分：
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1.4 数字特征

b
a
n g ( x)dF ( x) lim S n (a, b) lim g (ui ) F ( xi ) n n n 0 n 0 i 1
j
Pi| j
Pij P j
E ( X 1) P1 E ( X 2) P2 E ( X 3) P3 13 7 28 15 11 5 52 7 27 15 27 5 27 27
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1.5 条件数学期望
2.数学解释
令示性函数:
1 I D (Y ) 0
随机过程及其应用
1
课程介绍
教材： 李晓峰、唐斌 等， 《应用随机过程》，电子工业出版社 2013/8
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2
课程介绍
参考书籍：
1. S. M. Ross著，龚光鲁译，《应用随机过程 概率模型 导论》，第9版，人民邮电出版社，2007 2. 林元烈，《应用随机过程》，清华大学出版社， 2002/11 3. A. 帕普里斯等著，保铮等译，《概率、随机变量与随 机过程》，第四版，西安交通大学出版社，2004 Davenport, Jr., Willian B., Probability and Random processes, McGraw-Hill, 1970 4. 陈良均等，《随机过程及应用》，高等教育出版社， 2004。
1. 概念：
Y y : g[ X ( )] y
Z z : g[ X1( ), X 2 ( ),
, X n ( )] z
g1[ X 1 ( ), Y ( )] u : g [ X ( ), Y ( )] v 2 1
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1.5 条件数学期望
3.性质：
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1.5 条件数学期望
1.5 条件数学期望
1.5 条件数学期望
例:
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1.5 条件数学期望
例1.24:
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CH1 概率论基础 1.6 特征函数与概率母函数
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1.6 特征函数与概率母函数
4. 条件与独立：
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1.1 概率空间
5. 其他公式：
P AB P A B P B
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1.1 概率空间
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CH1 概率论基础 1.2 随机变量
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1.2 随机变量
1. 定义：
随机变量：
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11
1.1 概率空间
例1.2：分析掷均匀骰子问题。
解：
由Ω的一切子集构成， 因此是一个σ-域。
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1.1 概率空间
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1.1 概率空间
例1.3：分析0～1（伏特）上的随机电压值，假定其取值 是等可能的。 解：
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Prof.李晓峰
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1.1 概率空间
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1.3 随机变量的函数
2. 一元函数：
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1.3 随机变量的函数
1.3 随机变量的函数
例1.17：一元绝对值函数
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1.3 随机变量的函数
3. 多元函数：
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1.3 随机变量的函数
例1.18：
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