高中数学《师说》系列一轮复习 第一讲 集合的概念及其运算 理 新人教B版

∅⊆{∅}，∅∈{∅},0∈{0}，∅≠0，∅≠{0}．
(3)基本数集专用符号 常用的基本数集有正整数集 N*、自然数集 N、整数集 Z、有理 数集 Q、实数集 R 和复数集 C，它们之间满足的关系是 N* N Z Q R C.要认识清楚这些集合的意义．
(4)集合中元素的性质 集合的元素具有确定性、互异性、无序性． ①确定性：对于集合 A 和某一对象 x，有一个明确的判断标准， 要么 x∈A，要么 x∉A，二者必居其一． 如：“所有的高个子”、“学习成绩好的人”．这类对象没有 明确的标准，因此不能构成集合． ②互异性：集合中的相同元素只能算作一个，即集合中没有重 复的元素． 如：{x|x2－2x＋1＝0}＝{1}，而不能写成{1,1}． ③无序性：集合中的元素是无序的． 如：{1,2}与{2,1}是同一个集合． 两个集合相等：当且仅当它们的元素完全相同时，这两个集合 才相等．
(2)集合的分类
②空集：不含任何元素的集合叫做空集，通常用符号＝13
是
空
集
，
一
方
面
它
说
明
了
方
程
组
2x－y＝1 4x－2y＝3
无解，另一方面从解析几何的角度分析，说明了直线
2x－y＝1 与直线 4x－2y＝3 平行，没有公共点，因此由这两条直线
的公共点组成的集合是一个空集． 注意集合{∅}、空集∅、数字 0 和{0}的区别与联系：
如：不等式|x|≤1 的解集可以用描述法表示为： {x||x|≤1}． 大括号中“|”的前面是集合的代表元素，后面是元素所满足的 条件，即集合中所有元素共同具有的本质特性，有时“|”用“：” 代替，如{a＋ 2b：a∈Q，b∈Q}． 对于描述法需注意看清代表元素： 如集合{x|y＝ x－1}，表示函数 y＝ x－1的定义域，而集合{y|y ＝ x－1}则表示函数 y＝ x－1的值域．
11．补集与全集的性质分别为 (1)∁UU＝________；(2)∁U∅＝________； (3)∁U(∁UA)＝________；(4)A∪∁UA＝________； (5)A∩∁UA＝________.
答案 (1)∅ (2)U (3)A (4)U (5)∅
考点串串讲
1．集合的概念与表示 (1)集合与元素 一般地，某些指定的对象集在一起，就称为一个集合，也简称集．或 者说，符合某种条件(或具有某种性质)的全体就构成了一个集合． 通常用大写字母 A，B，C，…表示集合，集合中的每个对象叫做 这个集合的元素，通常用小写字母 a，b，c，…表示．
答案 一般地，由属于集合 A 且属于集合 B 的所有元素组 成的集合，称为 A 与 B 的交集 {x|x∈A，且 x∈B}
8．交集的五条运算性质分别为： (1)A∩B＝________(交换律)；(2)A∩A＝________；(3)A∩∅＝ ________；(4)A∩B 与 A 的关系为________；A∩B 与 B 的关系为 ________；(5)A∩B＝A 成立的等价条件为________．
4．常用的集合表示方法有：________、________和________．
答案 列举法 描述法 图示法
5．子集的定义为___________________________.
答案 一般地，如果集合 A 中任意一个元素都是集合 B 中 的元素，那么集合 A 叫做集合 B 的子集，记作 A⊆B(或 B⊇A)．
答案 (1)B∩A (2)A (3)∅ (4)A∩B⊆A，A∩B⊆B (5)A⊆B
9．并集的定义的文字语言表述为___________________. 符号语言表示为 A∪B＝________.
答案 一般地，由所有属于集合 A 或属于集合 B 的元素组 成的集合，称为集合 A 与 B 的并集 {x|x∈A，或 x∈B}
10．并集的五条运算性质分别为： (1)A∪B＝________(交换律)；(2)A∪A＝________；(3)A∪∅＝ ________；(4)A∪B 与 A 的关系为________；A∪B 与 B 的关系为 ________；(5)A∪B＝A 成立的等价条件为________．
答案 (1)B∪A (2)A (3)A (4)A⊆A∪B；B⊆A∪B (5)B⊆A
6．集合 A 与集合 B 相等的定义为___________________．
答案 一般地，如果集合 A 的每一个元素都是集合 B 的元 素，反过来，集合 B 的每一个元素也都是集合 A 的元素，那么 我们就说集合 A 等于集合 B，记作 A＝B.
7．交集的定义的文字语言表述为___________________. 符合语言表示为 A∩B＝_______________________.
(5)元素与集合的关系 ①元素与集合的关系是“属于”与“不属于”的关系，某个对 象 x 要么在集合 A 中，要么不在集合 A 中．如果 x 在 A 中，记为： x∈A，读作“x 属于 A”；如果 x 不在 A 中，记为：“x∉A”，读作 “x 不属于 A”． 如：3∈{3,5,8}，而 2∉{3,5,8}． ②元素与集合之间是个体与整体的关系． ③“∈”与“∉”不能随便用来表示集合与集合之间的关系，除 非某个集合是另一个集合中的“元素”！ 如：{1}∈{1,3,5}，{2}∉{1,3,5}，这样的写法是错误的，而{1}∈{{1}， {3}，{1,3}}这种写法是正确的，因为在这里集合{1}是集合{{1}，{3}， {1,3}}中的元素了．
(6)集合的表示法 集合的表示法有列举法，描述法，图示法(Venn 图法)． ①列举法：将集合中的所有元素一一列举出来，写在大括号内， 这种表示法叫做列举法． 列举法适用于元素为有限个的集合或自然数集或其子集． 如：Z＝{0，±1，±2，±3，…}，N＋＝{1,2,3，…}．
②描述法：用确定的条件表示某些对象是否属于这个集合的方 法叫做描述法．
教材面面观 1．集合中元素的特征具有________、________和________．
答案 确定性 互异性 无序性
2．空集是________，记为________．
答案 不含有任何元素的集合 ∅
3．数学中自然数集、正整数集、整数集、有理数集、实数集， 它们的记法分别为________．
答案 N N＋(N*) Z Q R