高中数学 9_4 分期付款问题中的有关计算同步练习 湘教版必修41

高中数学 9.4 分期付款问题中的有关计算同步练习湘教版必修4 1．某人从1月起，每月第1天存入100元，至12月最后一天取出全部本金及其利息，已知月利率是0.165%，那么实际取出多少钱？(按单利计算)

2．若职工小李年初向银行贷款2万元用于购房，购房贷款的年利率优惠为10%，按复利计算，若这笔借款要求分10次等额归还，每年1次，并从借款后次年初开始归还，问每年应还多少元(精确到1元)?

3．某工厂为提高产品质量，扩大再生产，需要大量资金，其中征地需40万元，新建厂房需100万元，购置新机器需60万元，旧设备改造及干部工人培训需15万元，该厂现有资金125万元，但流动资金需40万元，厂内干部30人，工人180人，干部每人投资4 000元，工人每人投资1 000元，若缺少的资金准备在今年年底向银行贷款，按年利率9%的复利计算，若从明年年底开始分5年等额分期付款，还清贷款及全部利息，求该厂每年还贷多少元？(精确到0.1万元)

4．银行按规定每经过一定时间结算存(贷)款的利息一次，结息后即将利息并入本金，这种计算利息的方法叫复利．现在某企业进行技术改造，有两种方案：甲方案：一次性贷款10万元，第一年便可获利1万元，以后每年比前一年增加30%的利润；乙方案：每年贷款1万元，第一年便可获利1万元，以后每年比前一年多获利5千元．两种方案，使用期限都是十年，到期一次性归还本息，若银行贷款利息按年息10%的复利计算，比较两种方案，哪个获利更多？(计算数据精确到千元，1.110≈2.594,1.310≈13.786)

参考答案

1. 答案：解：第1月存款利息为100×12×0.165%，

第2月存款利息为100×11×0.165%，

…

第11月存款利息为100×2×0.165%，

第12月存款利息为100×1×0.165%，

于是，应得到的全部利息为各期利息和：

S 12＝100×12×0.165%＋100×11×0.165%＋…＋100×1×0.165%＝100×0.165%×(1＋2＋3＋…＋12)＝100×0.165%×12132

⨯＝12.87， 所以实际取出100×12＋12.87＝1 212.87(元).

2. 答案：解：先把这个问题作一般化的处理，设某人向银行贷款M 0元，年利率为a ·10%，按复利计算(即本年的利息计入次年的本金生息)，并从借款后次年年初开始每次a 元等额归还，经N 次全部还清.那么，

一年后欠款数M 1＝(1＋a )M 0－a ，

两年后欠款数M 2＝(1＋a )M 1－a ＝(1＋a )·－a ＝(1＋a )2M 0－a ，

…

N 年后欠款数M N ＝(1＋a )M N －1－a ＝(1＋a )N M 0－a .

因为M N ＝0，所以(1＋a )N M 0＝[(1)1]N a a a

+-， 解得0(1)(1)1

N N a a M a a +=+-. 这就是每期归还额与贷款数额、贷款利率、归还年限之间的关系式.

对于上述购房问题，将a ＝0.1，M 0＝20 000，N ＝10代入得a ＝10

10200000.1 1.11.11

⨯⨯-≈3 255(元).

故每年应还3 255元.

3. 答案：解：因扩大生产急需的资金共有

40＋100＋60＋15＋40＝255(万元)；

已经筹集到的资金为

125＋0.4×30＋0.1×180＝155(万元)；

资金缺口为255－155＝100(万元).

设每次向银行还款x 万元，则贷款100万元，五年一次还清本金和利息共计100(1＋9%)5万元.

第一次还款到第五年的本利和为x (1＋9%)4万元；

第二次还款到第五年的本利和为x (1＋9%)3万元；

第三次还款到第五年的本利和为x (1＋9%)2万元；

第四次还款到第五年的本利和为x (1＋9%)万元；

第五次还款(无利息)为x 万元.

由题意得x ＋x (1＋9%)＋x (1＋9%)2＋x (1＋9%)3＋x (1＋9%)4＝100(1＋9%)5， 即5(1.091)1.091

x --＝100×1.095.∴x ≈25.7万元 4. 答案：解：方案甲：十年获利中，每年获利数构成等比数列，首项为1，公比为1＋30%，前10项和为S 10＝1＋(1＋30%)＋(1＋30%)2＋…＋(1＋30%)9.

所以S 10＝101.311.31

--≈42.62(万元). 又贷款本息总数为

10(1＋10%)10＝10×1.110≈25.94(万元)， 故甲方案净获利42.62－25.94≈16.7(万元).

乙方案每年获利数构成等差数列，首项为1，公差为12，前10项为T 10＝1＋112⎛⎫+ ⎪⎝⎭

＋1122⎛⎫+⨯ ⎪⎝⎭＋…＋1192⎛⎫+⨯ ⎪⎝

⎭＝1110122⎛⎫+ ⎪⎝⎭＝32.50(万元)， 而贷款本息总数为

1.1×

＝1.1×

10

1.11

1.11

-

-

≈17.53(万元)，

故乙方案净获利32.50－17.53≈15.0(万元).比较两方案可得甲方案获利较多