测量问题的数学模型

测量问题的数学模型

中图分类号：g62 文献标识码：a 文章编号：1007-0745（2008）08-0117-02

培养学生的数学应用意识是数学教学的重要目标之一。如何让学生更加了解抽象变幻、高深莫测的数学，并从中感受到数学发现、数学应用的乐趣，成为教学工作的一大难点。而传统教学中黑板加粉笔的简单传授模式已不能够激发学生数学学习的热情与兴趣，我们更加呼吁让学生走出课堂、应用数学的实践活动的到来！

解斜三角形是中学数学的重要内容。利用三角形的边角关系，来求出未知边长的长度，体现了数学转化的思想。下面，我们用几何画板作为教学工具，将实际问题转化为数学模型，培养学生的建模能力，并将其应用于实际测量。

多媒体课件的开发就充分做到把动画、声音、色彩、图形等具体感观信息结合一起，从而提高学生的知识获取率。而几何画板作为数学应用软件的一个重要组成部分，在教学中显得尤具魅力。下面就个人的具体教学案例阐述几何画板的简单应用。

一、几何画板介绍：几何画板是一个简易图形处理计算工具。它在立体几何与平面解析几何中有着广泛应用。本课程设计利用几何画板的图形处理功能与数据处理技巧，帮助学生提高理解与实践动手能力。

二、教学目标：培养学生利用正弦定理、余弦定理处理三角形边角关系的能力；提高学生数学应用能力增长数学应用意识，了解并

认识数学是一门实际应用科学。

三、教学设计：

引入：提出实际测量问题，并简单介绍测角仪的使用方法与原理。便于学生设计实际操作流程。

问题一：a、b两地被一座山隔开，你能使用测角仪与皮尺测出两地的间距吗？

学生设计：在平地上构建一点c，使得位于c点时能同时观望到a点与b点，并利用皮尺分别测出a、c与b、c的距离，利用测角仪测出∠acb的大小，利用余弦定理可求。如图二所示：

问题二：在峭壁上有棵大树，你能在地面上方便地测出树高吗？学生分小组讨论；

三所示：并测出=m，利用测角仪测出仰角α，β，利用如下方程组：

两式消去，即得= 图三

同理可测得树的底部到o点的距离。则树高h=

。

为了激发学生实际操作的热情，实地取景，并设置问题：

问题三：用什么方法可以测出临海市最高建筑——临海市城市建设规划大楼的高度？

问题四：如图四，你能测出位于两岸的ab两地距离吗？

学生再次分组讨论；

利用正弦定理即可求出a、b间的距离。

学生设计方案2：在a地立一标杆，在a、b连线上选择一点p，分别在b地与p地测出对标杆的仰角，利用问题2的解决方案，可算出a、b间距离。

补充说明：利用正弦曲线来制作流水动画，使得这个问题妙趣横生。只须建立初相参数φ，并使其以一定速度在0到2π间运动，则所有正弦曲线都动起来，形成流水。提升了课堂氛围。

问题五：在问题四的情形下，在a、b之间再隔了座山，使得位于b地时看不到a地，此时，又该如何测出两地距离？

这个问题较难；在教师的指导下，形成了以下方案：

如图所示：可在a、b同侧找寻较近两点c、d，并满足位于c、d 时均能看到a、b两地。测出c、d距离m，∠bca=α，∠acd=β，∠bdc=γ，∠adb=θ。下面求ab的距离。

在三角形bcd中，已知两角一边，可利用正弦定理求出：

同理，在三角形acd中，可求出：

最后，在三角形abd中，已知两边夹角，利用余弦定理，求出a、b的距离。这个问题实际上体现了用短距离来丈量远距离的思想方法。并且可以非常方便的绕过障碍，使得测量工作可以进行。

四、实践指导

通过制作简易测角仪与标杆等简单工具，实地测量并收集数据，通过计算并将测量结果与实际距离、实际高度作比较，分析误差并总结经验。

附：参加本次实践测量的共有49名同学，分为四队，一共测出4

组数据。上课时应用几何画板的数据处理功能，输入所有数据进行计算比较，展示了同学们的测量成果。

五、评价总结

数学既是一门理论科学，更是一门应用科学。在数学里，不仅仅只有抽象的阿拉伯数字与千奇百怪的数学符号，更包含各种各样的具体图形，可以处理形形色色的事物。小到丈量大楼、土地，大到量地球，量星星、量月亮，所使用的基本工具还是几何学。点、线、面、体，所使用的方法还是与测量大楼的高度差不多，只不过基线长了点，仪器做地更精确点，公式变得更复杂点。如何让学生从小养成应用数学的习惯，已经成了素质教育的重要目标。多媒体技术的研发，能够让学生从枯燥的纯抽象理论的课堂中脱离出来，身临其境地应用数学，学习真正的数学。通过这一节课的学习，学生更好地掌握了利用三角函数解三角形的基本方法，同时也大大地激发了学习的热情，完成了数学教学的任务。

注：本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以pdf格式阅读原文