板球系统文档

0 0 0 0 0 0 1 0
0 0 0 1 B 0 0 0 0 C I 88
0 0 0 0 0 0 0 1
若参数取如下值
m 0.263kg g 9.8 rb 0.02m J b 4.2 10 5 kg m 2




(8)



对拉格朗日方程取如下 2 个变量：
q1 x , q2 y
相对应的外力分别为
(9) (10)
Q1 0 , Q2 0
将式(8)、式(9)和式(10)代入式(1)中，得
Jb 2 y m x x x x y mg sin x 0 m r2 b
1
0 mg 0 Jb m r2 b 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 1
0 0 0 0
0 mg 0 0 0 Jb m r2 b 0 0 0 0 0 0 0 0
z'
q1
z
球
h
yb
z '' z '
q2
板
球
y'
hቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
xb
板
y
x'
x ''
U Joint O
Figure. 3 (a) 旋转。
U Joint O
Figure. 3 (b)
Figure. 3 (a)为 YZ 平面，此时球盘绕 X 轴旋转，Figure. 3 (b)为 XZ 平面，此时球盘绕 Y 轴 可以证明， 在球盘倾角较小的情况下， q1 和 q2 与 X 轴电机转角 θm1 和 Y 轴电机转角 θm2 之间存在如下关系:
(1)
其中，qi 为系统的广义坐标，L 是系统的拉格朗日量，是动能 T 与势能 V 的差，即 L=T-V。
Tb
1 1 2 2 2 y 2 J b x mx y 2 2
rbx , y rb y x




(2)
由于小球在运动过程中没有滑动，则 (3)
将式(3)带入式(2)，有
三、板球系统的数学模型
3.1 板球系统的坐标系
板球系统的最终控制目标是小球在球盘上的位置， 要实现对小球位置的闭环控制， 必须 实时获取小球在球盘坐标系中的实际反馈位置值。 经过图像信息获取的过程， 控制系统可以 得到运动物体在图像坐标系中的坐标， 但运动物体的图像坐标仅仅提供了物体在二维空间位 置的信息，而没有物体的深度信息，控制系统无法根据这样的信息对小球加以控制。因此， 需要根据摄像机采集图像并进行在二维图像坐标系中图像处理的结果， 结合摄像机标定得到 摄像机的内外参数，以得到运动物体在世界坐标系中的真实位置。 由此可知，在板球系统中，要实现小球位置控制，必须明确系统所涉及的四个坐标系: 即世界坐标系，球盘坐标系，摄像机坐标系和图像坐标系。
四、演示算法：LQR 控制方法
在 Command Window 中输入 A=[0 1 0 0 0 0 0 0;0 0 -7 0 0 0 0 0;0 0 0 1 0 0 0 0;0 0 0 0 0 0 0 0;0 0 0 0 0 1 0 0 ;0 0 0 0 0 0 -7 0;0 0 0 0 0 0 0 1;0 0 0 0 0 0 0 0]; B=[0 0;0 0;0 0;1 0;0 0;0 0;0 0;0 1]; Q=[10 0 0 0 0 0 0 0;0 1 0 0 0 0 0 0;0 0 10 0 0 0 0 0;0 0 0 1 0 0 0 0;0 0 0 0 10 0 0 0;0 0 0 0 0 1 0 0;0 0 0 0 0 0 10 0;0 0 0 0 0 0 0 1]; R=[1 0;0 1]; K=lqr(A,B,Q,R) 得反馈矩阵 K = -3.1623 -4.1262 17.7371 6.0394 0 0 0 0 0 -3.1623 0 0 0 6.0394 -4.1262 17.7371






根据式(13)和式(14)可得到线性化后的状态空间方程如下：
AX Bu X Y CX
其中
X x1
YX u x u u y
x2
x3
x4
x5
x6
x7
x8
T
0 0 0 0 A 0 0 0 0
Jb 2 1 y 2 Tb m 2 x 2 rb


(4)
平板的动能包括其自身的转动动能和小球绕平板支撑点的转动动能
Tp
由于
1 2 2 1 J mr 2 2 2 Jp x y b p x y 2 2




Qi 为系统沿广义坐标 qi 方向上的外力。 若做如下假设： (1) 任何情况下小球与平板都有接触； (2) 不考虑板的面积和旋转角度限制； (3) 球在板上没有滑动和绕其竖直中心轴的转动； (4) 平板在 x 轴和 y 轴方向上关于其支撑点对称； (5) 平板坐标系和大地坐标系原点重合; (6) 忽略所有摩擦力。 建模过程中用到的各参数如下 m —— 小球质量 rb —— 小球半径 x —— 小球在平板坐标系中 x 方向的位移 y —— 小球在平板坐标系中 y 方向的位移 θx —— 平板在 x 方向的转角 θy —— 平板在 y 方向的转角 r —— 小球在平板坐标系中与原点的距离 rp —— 小球在大地坐标系中与原点的距离 ωx —— 小球在平板坐标中 x 方向的旋转角度 ωy —— 小球在平板坐标中 y 方向的旋转角度 Jb —— 小球的转动惯量 Jp —— 平板的转动惯量 小球的动能包括其自身的转动动能和在平板上的平移动能
一、板球系统的特点
板球系统是一个多变量，非线性控制对象，是球杆系统的二维扩展。作为一个具有两个 自由度的机械系统， 板球系统通常用于对动态系统的研究和在实验室进行经典控制理论和现 代控制理论的控制过程研究。 其控制对象是具有两个相互垂直的旋转轴的板， 目的是让一个 自由滚动的小球能够平衡在平板上特定的位置， 或者沿一定的轨迹滚动。 板球系统涉及自动 控制、运动控制、数字图像处理、机器视觉等专业。对于经典控制理论、现代控制理论、计 算机图像处理等课程， 板球系统是良好的实验对象， 可以通过做实验来检验经典控制理论和 现代控制理论的很多问题， 包括根轨迹控制、 频率响应法， 也包括基于状态空间方程的 LQR 控制、极点配置、模糊控制等等。它能够帮助我们加深对书本中概念的理解。
(13)
Jb mg y 0 y m r2 b
若设定如下状态：
(14)
，x y，x y ， x7 y ， x8 ， x3 x ， x4 x1 x ， x2 x 5 6 y x
其中 x1 —— 小球在 x 方向上以初始位置为基准的位移 x2 —— 小球在 x 方向上的速度 x3 —— 平板在 x 方向上以水平面为基准的角位移 x4 —— 小球在 x 方向上的角速度
(5)
y y r 2 x 2 y 2 , rp2 r cos arctg arctg x x
则
y 2 x 1 1 2 x y 2 2 2 2 Tp J p J b x y mr y 2 2 2 2 x r x r 2 2 y 1 2 2 1 m x y 2 J p J b x y x y 2 2
L 球
r 板
O
球板中心支点
q
电机轴
O1
d

Figure. 4
这样就建立了板球在两个轴方向的旋转角度和电机转角之间的关系。
3.3 板球系统动力学分析
利用拉格朗日方程建立板球系统的模型，拉格朗日方程的一般形式如式(1)所示
d L L Qi , i 1,2,3,, n i dt q qi


(11)
Jb 2 x m y m y y x y mg sin y 0 2 r b


(12)
由于平板转动的角度范围不大，sinθx≈θx，sinθy≈θy 可将式(11)和式(12)简化为
Jb mg x 0 x m r2 b





(6)


平板势能为零，小球势能为
Vb mgx sin x y sin y
(7)
结合式(4)、式(6)和式(7)得到拉格朗日量为
L Tb Tp Vb Jb 2 1 1 2 2 y 2 J p m 2 x x y 2 rb 2 1 2 2 mg x sin y sin J b mrp2 x y x y 2
d1 m1 L1 d2 q2 m2 L2 q1
式中各量的含义如 Figure. 4 所示， d1 为 X 轴连杆与 X 轴电机转盘的连接点到 X 轴电机 轴之间的距离；L1 为 X 轴连杆与球盘的连接点到球盘中心支撑点之间的距离；d2 为 Y 轴 连杆与 Y 轴电机转盘的连接点到 Y 轴电机转轴之间的距离； L2 为 Y 轴连杆与球盘的连接点 到球盘中心支撑点之间的距离。
x5 —— 小球在 y 方向上以初始位置为基准的位移 x6 —— 小球在 y 方向上的速度 x7 —— 小球在 y 方向上以水平面为基准的角位移 x8 —— 小球在 y 方向上的角速度 两个输入量为平板在 x 方向的转角和在 y 方向的转角分别用 ux 和 uy 表示。则根据式(11)和 式(12)可得到如下的状态空间方程：
二、板球系统的结构和工作原理
Figure. 1
Figure. 2 板球系统主要由以下几部分组成，如图 Figure 1 和 Figure 2 所示。 包括底座、小球、 圆盘、顶部摄像头、支撑部分、两个电机等。小球可以在圆盘内自由的滚动，圆盘的中心通 过转轴支撑，两端有成 90 ° 的两根杆可以上下转动，通过控制直流伺服电机的位置，带动杆 上下运动， 就可以控制圆盘的倾斜角。 板球系统以摄像头采集的图像信息和角度编码器采集 的电机位置信号为反馈信息，采用视觉反馈和编码器反馈相结合的传感方式得到系统的反 馈，并以此为依据进行控制，通过转动平板，来控制小球的实际位置和运动轨迹。当圆盘偏 离水平的平衡位置后，在重力作用下，小球开始在圆盘上滚动。 我们的目的是设计一个控 制器，通过控制电机的转动，使小球稳定在圆盘上的某一平衡位置。
则状态空间方程参数变为
0 0 0 0 A 0 0 0 0
1 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 7 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 7 0 0 1 0 0 0
3.2 板球系统物理模型
由于板球系统 X,Y 轴相互垂直，为简化，可以将其看作两个互相垂直方向的球杆，即 球杆系统的二维扩展。 如图 3.1 所示，为简化的板球系统物理模型，其中 X-Y-Z 为与基座相连的世界坐标系， X"-Y"-Z"为固连在板球上的局部坐标系。球盘具有绕 X 轴旋转和绕 Y 轴旋转两个自由度， 对应于板绕 X 轴转动的倾角 q1 和绕 Y 轴转动的倾角 q2，图中角度以逆时针为正。
1 x2 x 1 2 x 2 m x1 x4 x5 x4 x8 mg sin x3 J b m 2 rb 3 x4 x x 4 u x x5 x6 1 2 6 m x5 x8 x1 x4 x8 mg sin x7 x Jb m 2 rb x 7 x8 8 u y x