对偶单纯形、影子价格(1)

min i
{bi
~ bi
0}
对应变量xr 为换出基的变量
•确定换入基变量
min j
c
j
arj
z
j
arj
0
cs zs ars
ars 为主元素，xs 为换入基变量
例、用对偶单纯形法求解线性规划问
题：
min w 15 y 24 y 5y
1
2
3
s.t
6y y 2
2
3
5y 2y y 1
x1 x2 5
x1, x2 0
对偶问题最优解
y 0, y 1/ 4, y 1/ 2
1
2
3
• 几何解释：引例图解法分析。
6x1 2x2 24 （3，3）
6x1 2x2 25
（7/2，3/2），z=8.5 （15/4，5/4）,z=8.75
影子价格的经济意义
3．资源的影子价格实际上又是一种机 会成本. 在纯市场经济条件下,当第2种资 源的市场价格低于1/4时，可以买进 这种资源；相反当市场价格高于影子 价格时，就会卖出这种资源。随着资 源的买进卖出，它的影子价格也将随 之发生变化，一直到影子价格与市场 价格保持同等水平时，才处于平衡状 态。
价，这种估价不是资源的市场价格， 而是根据资源在生产中作出的贡献而 作的估价，为区别起见，称为影子价 格（shadow price)。
影子价格的经济意义
• 1．资源的市场价格是已知数，相
对比较稳定，而它的影子价格则有
赖于资源的利用情况，是未知数。
由于企业生产任务、产品结构等情
况发生变化，资源的影子价格也随
之改变。
企业
市场价格
影子价格
市场
影子价格的经济意义
• 2．影子价格是一种边际价格。
。
z * 在（y3i*Βιβλιοθήκη Baidu式中，bi
yi*
说明 的值b相i 当于在资源得到最
z
优利用的生产条件下， 每增加一个
单位时目标函数 的增量。
引例数学模型
max z 2x1 x2
s.t.
5x2 15
6x1 2x2 24
24 y2 1/ 4 5/ 4 1 0 1/ 4 1/ 4 5 y3 1/ 2 15/ 2 0 1 1/ 2 3/ 2
15 24 5 0 0
CB YB b
y1 y2 y3 y4 y5
例0、用y4对偶单2 纯形0法求解线6 性规1划问题1： 0
0
cj
y5
1
zj
5 2 1 15 24 5
1
2
3
y,y ,y 0
1
2
3
可作为 初初始始可可行行基基
mmaaxx ww 1155y11 24 y22 5y33 s.ts-.5t5yy11y1y6,221yyy,yy222y22,2,yyy,y333y3,5yy5y440yy0552211
min( 2,1) 2 y4 换出换出
例、性用规对划c偶问j 单题纯：形法求解线15 24 5
第三节 对偶单纯形法
对偶单纯形法的基本思路
用对偶原理求解原问题的一种方法，
继续
而不是求解对偶问题解的单纯形法
对偶单纯形法的计算步骤
返回
• 书：定理4 若B是原规划的最优基，则最优单纯形乘子 Y=CBB-1是其对偶规划的最优解。
当基变量为X B时，新的单纯形表
基变量
XB
CB X B B1b
I
cj zj
2/3 1/3 1
1 0
1
/4y42
换入0 1/ 4
1 1/ 2 3/ 2
例、用对偶单纯形法求解线性规划问题：
c j z j 15 24 5 0 0
CB YB b
y1 y2 y3 y4 y5
0 y4 2 0 6 1 1 0
0 y5 1 5 2 1 0 1
15 24 5 0 0
24 y2 1/ 3 0 1 1/ 6 1/ 6 0 0 y5 1/ 3 5 0 2 / 3 1/ 3 1 c j z j 15 0 1 4 0
0
非基变量
XN
Xs
B1N
B
CN CBB1N CBB1
当前基解 当前检验数
对偶单纯形法的基本思路
单纯形法的基本思路：
C-CBB-1A≤0
原问题基可行解
X~断b B1b 0
最优解判
j cj zj 0
对偶问题 最优解判断
对偶问题的可行解
对偶单纯形法 基本思路
实质：保证原问题可行的条件下 向对偶问题可行的方向迭代
在单纯形法的每步迭代中，
目标函数取值 z CBB1b ，
继续
和检验数 CN CBB1N 中都
返回
有乘子Y CBB1 ，那么它的
经济意义是什么？
• 书：定理4 若B是原规划的最优基，则最优单纯形乘子 Y=CBB-1是其对偶规划的最优解。
• 当线性规划原问题求得最优x*j ( j 1,,n)
解
0 0
1 0
24 y2 1/ 3 0 1 1/ 6 1/ 6 0 0 y5 1/ 3 5 0 2 / 3 1/ 3 1 c j z j 15 0 1 4 0
24 y2 1/ 4 5/ 4 1 0 1/ 4 1/ 4 5 y3 1/ 2 15/ 2 0 1 1/ 2 3/ 2 c j z j 15/ 2 0 0 7 / 2 3/ 2
最优解
• 对偶单纯形法的优点：
– 不需要人工变量；
– 当变量多于约束时，用对偶单纯形法 可减少迭代次数；
– 在灵敏度分析中，有时需要用对偶单 纯形法处理简化。
• 对偶单纯形法缺点：
– 对初始单纯形表形式要求较严格（在 对偶问题可行的前提下），普遍适用 性较差。
因此，对偶单纯形法一般不单独使用 。
第四节 影子价格
yi* (i 1,, m)
时，其对偶问题也得到最优解
，且z*代入各n 自cjx的*j目标m函数biy后i*有：w* （3）
j 1
i 1
bi ——是线性规划原问题约束条件的 右端项，它代表第 i 种资源的拥有量；
影子价格的定义
对偶变量yi* 的意义——代表在资源最
优利用条件下对单i 位第 种资源的估
0
0
CB YB b
y1
y2 y3
y4
y5
0 y4 2 0 6 1 1 0
0 y5 1 5 2 1 0 1 c j z j 15 24 5 0 0
24 y2 1/ 3 0 1 1/ 6 1/ 6 0
0 24
ymy52ijn11c/ /4ja3rj
5 zja51r/j54
000 1
5 y3 1/ 2 15/ 2 0
对偶单纯形法的计算步骤
• 线性规划问题
对偶问题
max z CX 的解可行
AX X
b 0
不妨设 B (P1, P2,, Pm )为对偶
初始可行基，即 j c j z 0 。
若
~ bi
0, i
1,2,, m，即表中原问题和
对偶问题均为最优解，否则换基。
换基方法：
•确定换出基变量
~ br
~