一元二次方程和不等式的拓展技巧

2
bx a 0
有两根为 和
1
1
理由：
1 2 1 cx bx a a b c x 2 0 x x
2

2
bx a 0
1 1 有两根为 和
理由：由前可知 默认： 默认： 默认：
2 2 2
最有用的一点就是：由韦达定理
a 0 b a c a
可得到三个系数之间的等量关系！
3.
不等式 ax bx c 0 的解集为{x | x , 或 x } 不等式 ax bx c 0 的解集为 {x | x } 等式 ax bx c 0 的两个根为 和 ，且 a 0 以下结合 1.中的结论，可以得到很多！
2.
不等式 ax bx c 0 的解集为{x | x } 不等式 ax bx c 0 的解集为 {x | x , 或 x } 等式 ax bx c 0 的两个根为 和 ，且 a 0 以下结合 1.中的结论，可以得到很多！
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分析：方程 ( x a)( x bx c) 0 与方程 (ax 1)(cx bx 1) 0 的根一一对应正好互为“倒数” 但是 ( x a)( x bx c) 0 有根为零时， (ax 1)(cx bx 1) 0 中的根不可能为零，故会少一个！ 故 B 中的元素个数不可能比 A 中的多，只有④一定不正确！ 举例说明： 当 A {0} 时， B ，故①可能正确； 当 A {2,0} 时， B {1 } ，故②可能正确； 2 1 当 A {2,3,0} 时， B {1 , } ，故③可能正确. 2 3
高一数学：一个关于一元二次方程和不等式的小知识
1.
方程 ax 方程 ax

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2
有两根为 和 ，且 0 bx c 0 有两根为 和 理由： ax
bx c 0
2
bx c a ( x) 2 b( x) c 0
Fra Baidu bibliotek
方程 cx 方程 cx
2 2 2 2 2 2 2 2
2
2
解：原条件等价于： ax bx c 0 的两根是 2 和 3，且 a 0 c 故由韦达定理可知： b 2 3 5 ； 2 3 6 ，即 b 5a ， c 6a ，且 a 0 ； a a
2
从而不等式 bx ax c 0 等价于 5ax ax 6a 0 ，消去 a ； （ a 0） （也可不妨设 a 1 ） 得到： 5x x 6 0 ，解得： x 1 ，或 x 6 . 5 故：不等式 bx ax c 0 的解集为{x | x 1 ，或 x 6 } 5 （注 1：此法同样适用于上一题！ ） （注 2：上一题的方法也同样适用于本题！ ） 高级应用： 例：已知 A {x | ( x a)( x bx c) 0} ， B {x | (ax 1)(cx bx 1) 0} 问下列那个结论一定不正确（ ） ① card ( A) 1 ， card ( B) 0 ； ② card ( A) 2 ， card ( B) 1 ； ③ card ( A) 3 ， card ( B) 2 ； ④ card ( A) 2 ， card ( B) 3 ；
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默认： 默认： 默认：
最有用的一点就是：由韦达定理
a 0 b a c a
可得到三个系数之间的等量关系！
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初级应用： 1 1 (1) 已知不等式 ax bx 2 0 的解为 x , 求 a, b 的值. 2 3 1 x ，等价于 解：不等式 ax bx 2 0 的解为 1 2 3 1 1 1 b 1 1 2 方程 ax bx 2 0 的两根为 1 和 ，由韦达定理易知 : ， 2 3 2 3 a 2 3 a 解得： a 12 ， b 2 . 1 (2) 关于 x 的不等式 ax bx c 0 的解为 x 2 或 x ，求关于 x 的不等式 ax bx c 0 的解． 2 解：原条件等价于： ax bx c 0 的两根为 2 和 1 ，且 a 0 2 可知： ax bx c 0 的两根为 2 和 1 ，且 a 0 2 故不等式 ax bx c 0 的解集为{x | 1 x 2} （注：这种解法比较危险！推荐用下一题的解法！ ） 2 (3) 已知不等式 ax bx c 0( a 0) 的解是 x 2 或 x 3 ，求不等式 bx ax c 0 的解．