专题21动量守恒定律(弹簧模型)-2019高考物理一轮复习专题详解(解析版)

1．动量守恒条件.
（1）系统不受外力或合外力为零时，动量守恒．
（2）若在某一方向合外力为0，则该方动量守恒．
2.规律方法
应用动量守恒定律解题的基本思路（1）分析题意，明确研究对象，确定所研究的系统是由哪些物体组成的．（2）对各阶段所选系统内的物体进行受力分析，区分系统内力和外力，在受力分析的基础上根据动量守恒定律条件判断能否应用动量守恒定律．
（3）明确所研究物体间的相互作用的过程，确定过程的初、末状态，即系统内各个物体的初动量和末动量．（4）规定正方向，确定初、末状态的动量的正、负号，根据动量守恒定律列方程求解．
3.在一个多过程、或者比较复杂的运动中，可能存在着同时满足动量守恒和能量守恒以及机械能守恒的问题，那么我们要根据题中的条件判断是否符合动量守恒和机械能守恒的条件，然后利用公式解题。

动量守恒的条件：系统不受外力或者所受合外力为零，则系统机械能是守恒的机械能守恒的条件：只有重力或系统内弹力做功，系统的机械能是守恒的。

动量守恒可以说某个方向上守恒，但机械能守恒不能说某个方向上守恒。

解动力学问题的三个基本观点（1）力的观点：运用牛顿定律结合运动学知识解题，可处理匀变速运动问题（2）能量观点：用动能定理和能量守恒观点解题，可处理非匀变速运动问题
（3）动量观点：用动量守恒观点解题，可处理非匀变速运动问题利用动量和能量的观点解题的技巧
（l ）若研究对象为一个系统，应优先考虑应用动量守恒定律和能量守恒定律（机械能守恒定律）.
（2）若研究对象为单一物体，且涉及功和位移问题时，应优先考虑动能定理
（3）因为动量守恒定律、能量守恒定律（机械能守恒定律）、动能定理都只考查一个物理过程的始末两个
状态有关物理量间的关系，对过程的细节不予细究，这正是它们的方便之处，特别对于变力做功问题，就更显示出它们的优越性
例题分析
典例 1 如图所示，轻弹簧的一端固定在竖直墙上，质量为m 的光滑弧形槽静止放在光滑水平面上，弧形槽底端与水平面相切，一个质量也为m 的小物块从槽高h 处开始自由下滑，下列说法正确的是（）
A ．在下滑过程中，物块的机械能守恒
B ．在下滑过程中，物块和槽的动量守恒
C ．物块被弹簧反弹后，做匀速直线运动
D．物块被弹簧反弹后，能回到槽高h 处
【答案】C
典例 2. 如图所示，木块 A 和 B 质量均为 2 kg，置于光滑水平面上． B 与一轻质弹簧一端相连，弹簧另一端
固定在竖直挡板上，当 A 以 4 m/s的速度向 B 撞击时，A、B 之间由于有橡皮泥而粘在一起运动，那么弹簧被压缩到最短时，具有的弹性势能大小为( )
A． 4 J B．8 J C．16 J D．32 J
【答案】B
【解析】 A 与 B 碰撞过程动量守恒，有m A v A＝(m A＋m B)v AB，所以v AB＝＝2 m/s.当弹簧被压缩到最短时，A、B 的动能完全转化成弹簧的弹性势能，所以E p＝(m A＋m B)v ＝8 J.
典例 3 如图所示，物体 A 静止在光滑的水平面上， A 的左边固定有轻质弹簧，与 A 质量相等的物体 B 以速度v 向 A 运动并与弹簧发生碰撞，A、B 始终沿同一直线运动，则A、B 组成的系统动能损失最大的时刻是( )
A ． A 开始运动时
B． A 的速度等于v 时
C． B 的速度等于零时
D ． A 和 B 的速度相等时
答案】D
【解析】当 B 触及弹簧后减速， 而物体 A 加速， 当 A 、B 两物体速度相等时， A 、B 间距离最小， 弹簧 压缩量最大， 弹性势能最大， 由能的转化与守恒定律可知系统损失的动能最多， 故只有 D 正确 典例 4 (多选)如图甲所示，一轻弹簧的两端与质量分别为
m 1和 m 2的两物块 A 、B 相连接，并静止在光滑的
水平面上．现使 B 瞬时获得水平向右的速度 3 m/s ，以此刻为计时起点，两物块的速度随时间变化的规律如 图乙所示，从图象信息可得 ( )
A ． 在 t 1、t 3时刻两物块达到共同速度 1 m/s ，且弹簧都处于伸长状态
B ． 从 t 3到 t 4时刻弹簧由压缩状态恢复到原长
C ． 两物体的质量之比为 m 1∶ m 2＝1∶2
D ． 在 t 2时刻 A 与 B 的动能之比为
E k1∶E k2＝8∶1
【答案】 BD
专题练习
1 (多选 )如图所示， 两物块质量关系为 m 1＝2m 2；两物块与水平面间的动摩擦因数 μ2＝ 2μ1，两物块原来静
止，
轻质弹簧被压缩，若烧断细线后，弹簧恢复到原长时，两物块脱离弹簧且速率均不为零，则 ( )
A ．两物块在脱离弹簧时速率最大
C ．两物块的速率同时达到最大
D ．两物体在弹开后同时达到静止
【答案】 BCD
B ．两物块在刚脱离弹簧时速率之比为 v 1 1
v 2＝
2
【分析】 烧断细线后，对 m 1、m 2及弹簧组成的系统，在 m 1、m 2 运动过程中，都受到滑动摩擦力的作用， 其中 F 1＝ μ1m 1g ，F 2＝μ2m 2g ，根据题设条件，两摩擦力大小相等，方向相反，系统所受外力的合力为零，动 量守恒．两物块未脱离弹簧时，在水平方向各自受到弹簧弹力和地面对物体的摩擦力作用，其运动过程分 为两个阶段：先是弹簧弹力大于摩擦力，物块做变加速运动，直到弹簧弹力等于摩擦力时，物块速度达到 最大，此后弹簧弹力小于摩擦力，物块做变减速运动，弹簧恢复原长时，两物块与弹簧脱离．脱离弹簧后， 物块在水平方向只受摩擦力作用，做匀减速运动，直到停止．
【点评】 对于所研究的系统，只要所受外力的合力为零，无论有多少个过程，无论系统内各物体是否接 触，也无论系统内物体间相互作用力的性质如何，动量守恒定律都适用．解题中既可以。

学科
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2．(多选 )如图所示，在光滑水平面上有 A 、B 两个木块， A 、B 之间用一轻弹簧连接， A 靠在墙壁上，用力 F
向左推 B 使两木块之间的弹簧压缩并处于静止状态，若突然撤去力 F ，则下列说法正确的是 ( )
解析】：木块 A 离开墙壁前，由 A 、B 和弹簧组成的系统受墙壁的弹力，属于外力，故系统动量不守恒，
但机械能守恒，故选项 A 错， B 对；木块 A 离开墙壁后，由 A 、B 和弹簧组成的系统所受合外力为零，故 系统动量守恒，又没有机械能和其他形式的能量转化，故机械能也守恒，故选项
C 对，
D 错．
3．如图所示，静止在光滑水平面上的木板，右端有一根轻质弹簧沿水平方向且与木板相连，木板质量
M ＝
3 kg.质量为 m ＝1 kg 的铁块以水平速度 v 0＝
4 m/s ，从木板的左端沿板面向右滑行，压缩弹簧后又被弹回， 最
后恰好停在木板的左端．在上述过程中弹簧具有的最大弹性势能为 ( )
A ．
木块 A 离开墙壁前， A
、
B ． 木块 A 离开墙壁前， A 、
C ． 木块 A 离开墙壁后， A 、
D
． 木块 A 离开墙壁后， A
、
B 和弹簧组成的系统动量守恒，机械能也守恒 B 和弹簧组成的系统动量不守恒，但机械能守恒 B 和弹簧组成的系统动量守恒，机械能也守恒
B 和弹簧组成的系统动量不守恒，但机械能守恒 答案】：BC
【答案】：A
4．(多选 )如图 10－3所示，弹簧的一端固定在竖直墙上，质量为 m 的光滑弧形槽静止在光滑水平面上，底
部与水平面平滑连接，一个质量也为 m 的小球从槽上距水平面 h 处由静止开始自由下滑，则 ( )
A ．下滑过程，小球和槽之间的相互作用力对槽不做功
B ．下滑过程，小球和槽组成的系统水平方向动量守恒
C ．被弹簧反弹后，小球和槽都做速率不变的直线运动
D ．被弹簧反弹后，小球能回到槽上距水平面 h 处
【答案】：BC
【解析】：在下滑过程中，小球和槽之间的相互作用力对槽做功，选项 A 错误；在下滑过程中，小球和槽组 成的系统在水平方向所受合外力为零，系统在水平方向动量守恒，选项 B 正确；小球被弹簧反弹后，小球 和槽在水平方向不受外力作用，故小球和槽都做匀速运动，选项 C 正确；小球与槽组成的系统动量守恒， 小球与槽的质量相等，小球沿槽下滑，与槽分离后，小球与槽的速度大小相等，小球被弹簧反弹后与槽的 速度相等，故小球不能滑到槽上，选项 D 错误．
5 、如图所示，光滑水平面上有质量均为 m 的物块 A 和 B ，B 上固定一轻弹簧． B 静止，A 以速度 v 0水平 向
右运动，通过弹簧与 B 发生作用．作用过程中，弹簧获得的最大弹性势能 E p 为( )
A ．3 J
B ．4 J D ．
20 J
解析】当两物块速度相同时，弹簧获得的弹性势能最大．根据动量守恒可知
mv 0＝ 2mv ， v ＝
所以最大弹性势能 E p ＝ mv － ×2mv ＝ mv ，故 C 正确．
位置静止释放，当 m 1与 m 2相距最近时 m 1 速度为 v 1，则求在以后的运动过程中 ( )
A ． m 1 的最小速度是 0
B ．m 1 的最小速度是 v 1
C ． m 2 的最大速度是 v 1
D ．m 2 的最大速度是
v 1
【答案】 BD
7．(2017 ·四川联考 )如题图所示， 弹簧的一端固定在竖直墙上， 质量为 m 的光滑弧形槽静止在光滑水平面
上， 底部与水平面平滑连接，一个质量也为 m 的小球从槽高 h 处开始下滑
()
A ． mv C ． mv
【答案】 C
B ． mv D ． mv
6.(多选 )如图所示，水平光滑轨道宽和弹簧自然长度均为 d.m 2 的左边有一固定挡板，已知 m 1≥m 2.m 1由图示
A ．在以后的运动过程中，小球和槽的动量始终守恒
B ．在下滑过程中小球和槽之间的相互作用力始终不做功
C ．被弹簧反弹后，小球和槽都做速率不变的直线运动
D ．被弹簧反弹后，小球和槽的机械能守恒，小球能回到槽高 h 处 【答案】 C
8. （2017 南·阳模拟 ）如图所示，两光滑且平行的固定水平杆位于同一竖直平面内，两静止小球
在两杆上，两球间连接一个保持原长的竖直轻弹簧， 现给小球 m 2 一个水平向右的初速度 则在此后的运动过程中 （ ）
解析】
m 1、m 2 分别穿
v 0
.如果两杆足够长，
A ．m 1、m 2 组成的系统动量守恒
B ．m 1、m 2 组成的系统机械能守恒
1 C ．弹簧最长时，其弹性势能为 2m 2v 0
2
D ．当 m 1 速度达到最大时， m 2 速度最小
答案】 A A 项， 由于两球竖直方向上受力平衡，系统水平方向无外力，系统的动量守恒，故
A 项正确；
B 项，对
于弹簧、 m 1、m 2 组成的系统机械能守恒， m 1、m 2 组成的系统机械能不守恒．故 B 项错误； C 项，当两球的 速度相等时，弹簧最长，弹簧的弹性势能最大，以向右为正方向，由动量守恒定律得： 解得 v ＝m m 1＋
2v m
2，由系统的机械能守恒得： 21m 2v 02
＝21（m 1＋m 2）v 2
＋E p ，解得：
E p
m 2
v 0
＝（
m 1
＋
m 2
）v ，
2
m 1m 2v 0
1 2 0
，故 C 项错
2（m ＋m ）
误； D 项，若 m 1> m 2，当弹簧伸长时， m 1 一直在加速，当弹簧再次恢复原长时 m 1速度达到最大．弹簧伸
长时m2先减速后，速度减至零后向左加速，最小速度为零．所以m1速度达到最大时，m2 速度不是最小，
故 D 项错误．学科* 网
9. （2017 昆·明二模）（多选）如图所示，质量为2m的物体
B 静止在光滑水平面上，物体 B 的左边固定有轻质弹簧，质量为m的物体 A 以速度v 向物体 B 运动并与弹簧发生作用，从物体 A 接触弹簧开始到离开弹簧的过程中，物体 A 、 B 始终沿同一直线运动，以初速度v 方向为正，则（）
A ．此过程中弹簧对物体
B 的冲量大小大于弹簧对物体 A 的冲量大小
12
B ．弹簧的最大弹性势能为3mv2
2
C．此过程弹簧对物体 B 的冲量为3mv
1
D ．物体 A 离开弹簧后的速度为－3v
【答案】BD
10. （多选）如图所示，光滑水平地面上有一小车左端靠墙，车上固定光滑斜面和连有轻弹簧的挡板，弹簧处于原长状态，自由端恰在C点，总质量为M＝2 kg.小物块从斜面上 A 点由静止滑下，经过 B 点时无能量损
失．已知：物块的质量m＝1 kg，A 点到 B 点的竖直高度为h＝1.8 m，BC 长度为l＝3 m，BC 段动摩擦因数为0.3，CD 段光滑．g 取10 m/s2，则下列说法正确的是（）
A ．物块在车上运动的过程中，系统动量不守恒
B ．物块在车上运动的过程中，系统机械能守恒
C ．弹簧弹性势
能的最大值 3 J D ．物块第二次到达 C 点的速度为零 答案】 ACD
11．（2017 ·湖北模拟 ）（多选）如图所示， 质量 M ＝3 kg 的滑块套在水平固定着的轨道上并可在轨道上无摩擦
滑
动．质量为 m ＝2 kg 的小球（视为质点 ）通过长 L ＝ 0.75 m 的轻杆与滑块上的光滑轴 O 连接，开始时滑块静止，
轻杆处于水平状态．现给小球一个 v 0＝3 m/s 的竖直向下的初速度，取 g ＝10 m/s 2.则（
解析】可把小球和滑块水平方向的运动看作人船模型，设滑块
小球系统在水平方向动量守恒，有 m ＝ x ，解得： x ＝0.3 m ，A 项正确， B 项错误．根据动量守恒定律， M L － x
小球 m 相对于初始位置上升到最大高度时小球和滑块速度都为零，由能量守恒定律可知，小球 m 相对于初
始位
A ．小球 m 从初始位置到第一次到达最低点的过程中， 滑块 在水平轨道上向右移动了 0.3 m
B ．小球 m 从初始位置到第一次到达最低点的过程中，
滑块 在水平轨道上向右移动了 0.5 m
C ．小球 m 相对于初始位置可以上升的最大高度为 0.27 m
D ．小球 m 从初始位置到第一次到达最大高度的过程中，滑块
M 在水平轨道上向右移动了 0.54 m
答案】 AD
M 在水平轨道上向右运动了 x ，由滑块和
置可以上升的最大高度为0.45 m， C 项错误．根据动量守恒定律，在小球上升到最大高度时，滑块速
度为零，由系统的能量守恒定律可知，小球m 相对于初始位置可以达到的最大高度为h＝0.45 m，与水平面
的夹角为cosα ＝0.8，设小球从最低位置上升到最高位置过程上滑块M 在水平轨道上又向右运动了x′，
由滑块和小球系统在水平方向动量守恒，有m＝x′，解得x′＝0.24 m．小球m 从初始位置到第
M Lcosα －x′ 一次达到最大高度的过程中，滑块在水平轨道上向右移动了x ＋x′＝0.3 m＋0.24 m＝0.54 m．D 项正确．12．(2017 年江西重点中学盟校联考)如图所示，光滑水平面上有一长板车，车的上表面OA 段是一长为L 的水平粗糙轨道， A 的右侧光滑，水平轨道左侧是一光滑斜面轨道，斜面轨道与水平轨道在O 点平滑连接．车右端固定一个处于锁定状态的压缩轻弹簧，其弹性势能为E p，一质量为m 的小物体(可视为质点)紧靠弹簧，小物体与粗糙水平轨道间的动摩擦因数为μ，整个装置处于静止状态．现将轻弹簧解除锁定，小物体被弹出后滑上水平粗糙轨道．车的质量为 2 m，斜面轨道的长度足够长，忽略小物体运动经过O 点处产生的机械
能损失．不计空气阻力，求：
(1) 解除锁定结束后小物体获得的最大动能；
(2) 若小物体能滑到斜面轨道上，则小物体能上升的最大高度为多少？
(2) 设小物体上升的最大高度为h，此瞬间小物体相对车静止，由①式知两者有共同速度为零．根据系统能量守恒有
E p＝mgh＋μmgL
解得：h＝E p－μL
mg
13．(2017年大庆实验中学仿真模拟)如图甲所示，物块A、B的质量分别是m A＝4.0 kg和m B＝3.0 kg.用轻弹簧拴接，放在光滑的水平地面上，物块B右侧与竖直墙相接触．另有一物块 C 从t＝0时以一定速度向右运动，在t＝4 s时与物块A相碰，并立即与A粘在一起不再分开，物块C的v－t图象如图乙所示．求：
(1)物块 C 的质量；
(2)B 离开墙后的运动过程中弹簧具有的最大弹性势能E p.
【答案】m C＝ 2 kg. E p＝9 J.
【解析】(1)由图知，C与A碰前速度v1＝9 m/s，碰后速度v2＝3 m/s，C 与A碰撞过程动量守恒，以C的
初速度方向为正方向，由动量守恒定律得：m C v1＝(m A＋m C)v2，
解得：m C＝ 2 kg.
14．一轻质弹簧竖直固定在地面上，上面连接一个质量为m1＝1 kg 的物体，平衡时物体离地面0.9 m，弹簧
所具有的弹性势能为0.5 J．现在距物体m1正上方高为0.3 m 处有一个质量为m2＝1 kg的物体自由下落后与弹簧上物体m1 碰撞立即合为一体，一起向下压缩弹簧．当弹簧压缩量最大时，弹簧长为0.6 m(g 取10
m/s2)．求：
(1)碰撞结束瞬间两物体的动能之和是多少；
(2)弹簧长为 0.6 m 时弹簧的弹性势能．
(2) m 1与 m 2共同下降的高度 Δh ＝ 0.3 m
由机械能守恒，得
12
( m 1＋ m 2)g Δh ＋ 2( m 1＋
m 2)v 2＝ ΔE p
解得 ΔE p ＝7.5 J
所以弹簧长为 0.6 m 时弹簧的弹性势能
E p ＝ ΔE p ＋ E p ＝ 8 J.
15． (2017 洛·阳二模 )如图甲所示，物块 A 、B 的质量分别是 m A ＝4.0 kg 和 m B ＝3.0 kg.用轻弹簧栓接， 光滑的水平地面上，物块 B 右侧与竖直墙相接触．另有一物块 C 从 t ＝0 时以一定速度向右运动，在
时与物块 A 相碰，并立即与 A 粘在一起不再分开，物块 C 的 v －t 图像如图乙所示．求：
(1) 物块 C 的质量 m C ；
(2)B 离开墙后的过程中弹簧具有的最大弹性势能 E p
【答案】 (1)2 kg (2)9 J
放在 t ＝ 4
s
16．(2017 ·淮南二模)某物理课外兴趣小组设计了如图所示装置，AB 段为一竖直圆管，BC 为一半径为R＝0.4 m 的半圆轨道， C 端的下方有一质量为M＝2 kg 的小车，车上有半径r＝0.2 m 的半圆轨道， E 为轨道最低点，左侧紧靠一固定障碍物，在直管的下方固定一锁定的处于压缩的轻质弹簧，弹簧上端放置一质量为m ＝1 kg 的小球(小球直径略小于圆管的直径，远远小于R、r)．小球到 B 端的距离为h1＝ 1.2 m，C、D 间竖直距离为h2＝ 1 m．某时刻，解除弹簧的锁定，小球恰好能通过BC 的最高点P，从 C 端射出后恰好从 D 端
并能从F端飞出．若各个接触面都光滑，重力加速度取g＝10 m/s2，则：小球由
E 上升到最高点过程中，小球与车组成的系统在水平方向动量守恒，系统机械能守
恒，以球的初速度方向为正方向，由动量守恒定律得：
mv E＝(M ＋m)v ，
由机械能守恒定律得：
3＝42(M＋m)v2＋mg(h＋r)，
1
2mv E
解得：v E＝ 6 m/s，
由机械能守恒定律得12mv20＝12×2mv2＋E p
4 求它们相互作用过程中弹簧获得的最大弹性势能E p；
(2)若 B 的质量变为2m，再使物体 A 以同样的速度通过弹簧与静止的物体 B 发生作用，求当弹簧获得的弹性势能也为E p时，物体 A 的速度大小．
【答案】E p＝41mv02
2
【解析】v1＝23v0 或v1＝0.
3
解：(1)当A、B 速度相同时，弹簧的弹性势能最大．
则由动量守恒定律得mv0＝2mv
代入数据联立解得：h＝1 m.
根据牛顿第三定律可知，小球对轨道的压力为190 N. 学科*网
17．在光滑的水平面上，静止的物体 B 侧面固定一个轻弹簧，物体 A 以速度v0 沿水平方向向右运动，通过弹簧与物体 B 发生作用，两物体的质量均为m.
解得E p＝14mv20
(1) 弹簧被释放前具有的弹性势能E p大小是多少？(2)小球从 F 点飞出后能上升的最大高度是多少？
(3) 小球下落返回到 E 点时对轨道的压力大小是多少？
【答案】(1)18 J (2)1 m (3)190 N
【解析】(1)由 A 到P 过程中，小球机械能守恒，由机械能守恒定律得：E p＝mg(h1＋R)＋21mv P2，
2 在P 点，由牛顿第二定律得：mg＝m v P，
R
解得：E p＝18 J，v P＝2 m/s.
(2)P 到 E 过程中，小球机械能守恒，由机械能守恒定律得：mg(R ＋h2＋r)＝21mv E2－21mv P2，。