保险精算 利息理论解析

1.1实际利率和实际贴现率
习题：1. 已知：A(t)=2t+ t +5 ，求: （ 1 ） I 3, （ 2 ） i 4
解：
（1）I3=A(3)-A(2)=2+ 3 2 （2）i4=I4/A(3)=0.178
1.1实际利率和实际贴现率
2.若A(3)=100，in=0.01n，求：I5=? 解： I5/A(4)=i5=0.05 I5=0.05A(4) [A(4)-A(3)]/A(3)=i4=0.04， A(3)=100 A(4)=104 因此，I5=0.05A(4)=5.2
(2)当0 t 1 时, 有1 it (1 i )t 当t=1 时, 有1 it (1 i )t 当t 1 时, 有1 it (1 i )t
a (t )
复利 单利
(0,1)
(1.1+i) t
1
■
单利与复利的比较 从积累函数看 1、单个度量期（t=1）: 1+it=(1+i)t 结果相同 2、较长时期（t>1）: (1+i)t>1+it 复利产生更大积累值 3、较短时期（t<1）: (1+i)t<1+it 单利产生更大积累值
1、利息理论
吴睿
学习目标
认识利息 掌握计息方法
实际利率和实际贴现率 名义利率和名义贴现率 利息强度
利息 I (interest) 借贷关系中借 款人 （borrower) 为取得资金使 用权而支付给 贷款人的 （lender）报 酬(不必为货币，不一
定同类)
本质
资本经过一定时间的投资活动 后产生的价值增值 利息可以理解为租金的一种形 式
计算式 本利和 A(t)=P+P × i+ P(1+i) ×i+P(1+i) (1+i) × i+……
复利
A(t ) P (1 i)
n
1.1实际利率和实际贴现率
复利计息的特征: 1. 各期利息不同 It=A(t)-A(t-1) =k[(1+i)t-(1+i)t-1] =ki(1+i)t-1
单 增
习题：
t : 1. 已知：A(t)=2t+ +5 ，求 （1）对应的a(t)
解：（1）a(t)=A(t)/k k =A(0)=5 a(t)=A(t)/k=1+0.4t+ t / 5 已知A(t) ，求a(t)？ A(t)=k*a(t) a（0）=1
实际利率
某个度量期内得到的利息金额 与此度量期开始时投资的本金 之间的比率
计算利息的不同期限单位划分: 年利率(annual interest):以年为单位计 算利息时的利率，通常%表示。 月利率(monthly interest):以月为单位 计算利息时的利率，通常‰表示。 日利率(daily interest):以日为单位计算 利息时的利率，通常以‰0表示。
1.1实际利率和实际贴现率
1.1实际利率和实际贴现率
2. 实际利率递减
At At 1 it At 1 k[a(t ) a(t 1)] ka(t 1) i 1 i (t 1)
d it /d t<0 it关于t单调递减,也 就是说,常数的单利 意味着递减的实际 利率.
计息方法
初始本金P计算 出来的利息额再 加入本金，一并 计算利息的方法 （实务）
积累函数与总量函数
积累函数
本金为1单位， 且在任何时刻没 有追加或抽回资 本，在时刻t时 的积累值 a(t)
性 质
a(0)=? a(t)的单调性
常 数
单 减
单 增
积累函数与总量函数
总量函数
性
本金为k单位， 在时刻t时的积 累值 A(t)
A(0)=?
A(t)=k*a(t)
质
A(t)的单调性
常 数
单 减
1.1实际利率和实际贴现率
2. 实际利率恒定
At At 1 it At 1 k [ a (t ) a (t 1)] ka(t 1) i (1 i ) t 1 a (t 1) i
复利与单利的区别 (1)若利率水平为一常数,那么单利条件下的实际利率是时间的递 减函数;.而复利条件下的实际利率与时间无关,仍然等于常数的复利 的利率.
[例1．1．1] 某人到银行存入1000元，第一年年末的存款 余额为1020元，第2年年末的存款余额为1050元，问第1 年、第2年的实际利率分别是多少？ 解：A（0）=1000，A（1）=1020，A（2）=1050

I1 A(1) A(0) 20 I 2 A(2) A(1) 30 I1 i1 2% A(0) I2 i2 2.941% A(1)
利息率
interest rate
时间 （单位： 度量期）
积累值
■
第t期的利息（It）：
第1期
0 1
第2期
2 …..
第t期
t-1 t
It=At-At-1
■
从初始时刻到第t时刻的利息：
At-P=I1+I2+· · · +It
积累值（终值）AV
ACCUMULATED VALUE
：一笔业务本金为P，在投资期内没有追加或抽回一定数额的资 金，到投资期结束（t 时刻），投资者收到的总金额。一般用At 或A（t）表示。 A（t）总量函数
例题： 1.1 某银行以单利计息，年息为6%，某 人存入5000元，求5年后的积累值是多少？ A(5)=5000a(5)=5000(1+6% · 5)=6500(元) 1.2 如果该银行以复利计息，其他条件不 变，求5年后的积累值。 A(5)=5000a(5)=5000(1+6%)5=6691.13(元)
计息方法
利息（I） =本金×利率×期限 =P × i×t 积累值 A(t)=P+P×i×t = P（1+i×t）
单纯按初始本 金P计算出来 的利息进行计 息
单利
a(t)=1+it 单利情况下的实际利率?
1.1实际利率和实际贴现率
单利计息的特征: 1. 利息恒定 It=A(t)-A(t-1) =k[a(t)-a(t-1)] =k[1+it-1-i(t-1)] =k i
计算
在偿还借款时大于本金的那部 分金额。 It=A（t）— P
P：本金，初始资本 A(t)：积累值，经过t时间后的 总资本
利息理论
《白毛女》
借贷关 系实例
杨白劳 黄世仁 喜儿 借款人borrower
贷款人lender
本 金 +利 息
利息理论
影响利息大小的三要素
1
2
3
本金 P
principal
初始资本